uneigentliches integral < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
| Aufgabe | Das Integral ist analytisch zu lösen:
[mm] $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4*e^{\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx}$
[/mm]
tip: Substitution : $z = [mm] x^{-1}= \bruch{1}{x}$
[/mm]
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ich kann wie üblich dem Prof nicht vollgen ... :-(
ok das hier ist ein uneigetliches Integral ...
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So bin ich vorgegangen
$z = [mm] x^{-1}= \bruch{1}{x} \Rightarrow$ [/mm] dx = [mm] \bruch{dz}{-1*x^{-2}} [/mm]
=> [mm] $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4*e^{z}}{x^{2}} * \bruch{dz}{-1*x^{-2}} }$ \gdw [/mm] $ -4 [mm] *\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{z}* x^{2}}{x^{2}} * dz }$ \gdw [/mm] $ -4 [mm] *\integral_{0}^{\infty}{e^{z}* dz }$
[/mm]
nun [mm] e^{z} [/mm] aufleiten, und GW bestimmen...
$ -4 * [mm] \limes_{z\rightarrow\infty}e^{z} [/mm] = -4 * [mm] \infty [/mm] = [mm] -\infty$ [/mm] ???
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user Prof meint (schriftlich) das nach der substitution das hier rauskommt:
$ -4 [mm] *\integral_{\infty}^{0}e^{-z}* [/mm] dz$ = $-4 * [mm] \limes_{\alpha\rightarrow\infty} \integral_{\alpha}^{0}e^{-z}* [/mm] dz$ = +4* [mm] \limes_{\alpha\rightarrow\infty} [e^{-z}] [/mm] (in grenzen von [mm] \alpha [/mm] bis 0) = 4(1-0) = 4
aber ich verstehe das überhaupt nicht, da werden:
1. Integral grenzen wurden vertauscht
2. potenz vorzeichen umgekehrt => [mm] e^{-z} [/mm] = [mm] \bruch{1}{e^{z}}
[/mm]
3. und voher kommt das [mm] \alpha [/mm] beim Limes und dem Integral?
kann mir einer bitte helfen, und sagen was der Prof da gemacht hat ?
mfg
masa
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:46 Di 04.03.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo masa-ru!
> aber ich verstehe das überhaupt nicht, da werden:
> 1. Integral grenzen wurden vertauscht
Mit der Substitution musst Du auch die entsprechenden Integrationsgrenzen vertauschen:
$z(0) \ = \ [mm] \bruch{1}{0} [/mm] \ = \ [mm] \infty$
[/mm]
[mm] $z(\infty) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0$
> 2. potenz vorzeichen umgekehrt => [mm]e^{-z}[/mm] = [mm]\bruch{1}{e^{z}}[/mm]
Das ist die Anwendung eines  Potenzgesetzes.
> 3. und voher kommt das [mm]\alpha[/mm] beim Limes und dem
> Integral?
Das ist die Vorgehensweise bei uneigentlichen Integralen, indem man die "uneigentliche Integrationsgrenze" durch eine Variable ersetzt und die entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführt.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:05 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
Hallo Loddar ,
> > aber ich verstehe das überhaupt nicht, da werden:
> > 1. Integral grenzen wurden vertauscht
> Mit der Substitution musst Du auch die entsprechenden > Integrationsgrenzen vertauschen:
> $ z(0) \ = \ [mm] \bruch{1}{0} [/mm] \ = \ [mm] \infty [/mm] $
> $ [mm] z(\infty) [/mm] \ = \ [mm] \bruch{1}{\infty} [/mm] \ = \ 0 $
Ok, habe ich nicht gewust das nacht der subst. man das machen mus...
> > 2. potenz vorzeichen umgekehrt => $ [mm] e^{-z} [/mm] $ = $ [mm] \bruch{1}{e^{z}} [/mm] $
> Das ist die Anwendung eines MBPotenzgesetzes.
das ist mir auch klarmit dem Gesetzt.
ich meine dass das VORZEICHEN der Potanz umgekert wurde ... es war Positiv nun ist es negativ ???
> > 3. und voher kommt das $ [mm] \alpha [/mm] $ beim Limes und dem
> > Integral?
> Das ist die Vorgehensweise bei uneigentlichen Integralen, indem man die "uneigentliche Integrationsgrenze" durch eine Variable ersetzt und die > entsprechende Grenzwertbetrachtung durchführt.
kraz kraz ^^
kannst du wenigstens das mitm vorzeichen erklären?
mfg
masa
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Nun, genau ist doch das Gesetz.
[mm] x^{-a} [/mm] = [mm] \bruch{1}{x^a}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
sorry aber ich mache erst seid paar tagen mit Integrallen rum, mir das nicht so ganz klar :-(
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:11 Di 04.03.2008 | | Autor: | Marcel |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo,
weil mir gerade unklar ist, was Dir nun unklar ist, vll. einfach nochmal zurück zur ursprünglichen Frage:
> So bin ich vorgegangen
> $ z = x^{-1}= \bruch{1}{x} \Rightarrow $ dx = $
> \bruch{dz}{-1\cdot{}x^{-2}} $
> => $ \integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{z}}{x^{2}} \cdot{} \bruch{dz}{-1\cdot{}x^{-2}} } $ $ \gdw $ $ -4 \cdot{}\integral_{0}^{\infty}{\bruch{e^{z}\cdot{} x^{2}}{x^{2}} \cdot{} dz } $ $ \gdw $ $ -4 \cdot{}\integral_{0}^{\infty}{e^{z}\cdot{} dz } $
denke bitte mal über den Sinn der $\gdw$-Zeichen nach. Wenn man substituiert, dann schreibt man da "="-Zeichen hin, denn $\gdw$ macht überhaupt keinen Sinn, da dort an keiner Stelle auch nur eine Aussage steht!
> nun $ e^{z} $ aufleiten, und GW bestimmen...
> $ -4 \cdot{} \limes_{z\rightarrow\infty}e^{z} = -4 \cdot{} \infty = -\infty $ ???
> ---------------
> user Prof meint (schriftlich) das nach der substitution das hier
> rauskommt:
> $ -4 \cdot{}\integral_{\infty}^{0}e^{-z}\cdot{} dz $ = $ -4 \cdot{} \limes_{\alpha\rightarrow\infty} \integral_{\alpha}^{0}e^{-z}\cdot{} dz > $ = +4* $ \limes_{\alpha\rightarrow\infty} [e^{-z}] $ (in grenzen von $ \alpha $ bis 0) = 4(1-0) = 4
Machen wir es Schritt für Schritt:
Gesucht ist der Wert des Integrals $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{-\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx}$, falls dieses existiert.
1.) Du substituierst $z=z(x)=-\frac{1}{x}$. Dann ist $z: (0, \infty) \to (-\infty,0)$ bijektiv. Ferner gilt: Ist $x > 0$ und $x \to 0$, so folgt $z=z(x) \to -\infty$ sowie für $x \to \infty$ folgt $z=z(x) < 0 $ und $z \to 0$.
Außerdem $\frac{dz}{dx}=\frac{dz(x)}{dx}=\frac{1}{x^2}$ liefert:
$\int_{0}^{\infty}{\frac{4*e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}dx}=\int_{x=0}^{x=\infty}{\frac{4*e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}dx}=\int_{z=-\infty}^{z=0}{4*e^{z}\underbrace{dz}_{=\frac{1}{x^2}dx}}$
Wegen $\int_r^s=-\int_s^r$ folgt damit mit der Substitution $r=r(z)=-z$:
$\int_{0}^{\infty}{\frac{4*e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx}=\int_{-\infty}^{0}{4*e^{z}dz}=\int_{r=\infty}^{r=0}{4*e^{-r}\underbrace{(-1)dr}_{=dz}}=\int_{r=0}^{\infty}{e^{-r}dr}$
(Edit: Ich hätte halt besser von Anfang an $z=\frac{1}{x}$ substituieren sollen, aber nun gut, es geht auch so, wenngleich über unnötigen Umweg  .)
Und jetzt kannst Du sagen:
$\int_{0}^{\infty}{\frac{4*e^{-\frac{1}{x}}}{x^2}dx}$ existiert genau dann, wenn $\int_0^\infty{4*e^{-r}dr}$ existiert und, im Falle der Existenz, haben die beiden Integrale den gleichen Wert.
2.) Schönerweise ist $r \mapsto -4*e^{-r}$ eine (sogar auf ganz $\IR$ stetig differenzierbare) Stammfunktion von $r \mapsto 4*e^{-r}$. $(\*)$
Per Definitionem ist (für $\alpha > 0$)
$\int_0^\infty {f(t)dt}=\lim_{\alpha \to \infty}\int_0^\alpha {f(t)dt}$, sofern $\int_0^\alpha {f(t)dt}$ für jedes $\alpha > 0$ existiert und auch der Limes rechterhand existiert.
Deswegen macht den Prof nun folgendes:
Nach dem Hauptsatz der Integralrechnung gilt zunächst für jedes $\alpha > 0$:
$\int_{0}^\alpha {4*e^{-r}dr}=\left[-4*e^{-r}\right]_{r=0}^{r=\alpha}=-4*(e^{-\alpha}-e^0)=-4*(e^{-\alpha}-1)$
Wegen $e^{-\alpha} \to 0$ und damit $e^{-\alpha}-1 \to -1$ bei $\alpha \to \infty$ folgt daher:
$\int_0^\alpha {4*e^{-r}dr}=\lim_{\alpha \to \infty}\int_0^\alpha {4*e^{-r}dr}=\lim_{\alpha \to \infty}{-4*(e^{-\alpha}-1)}=-4*\lim_{\alpha \to \infty}(e^{-\alpha}-1)=-4*(-1)=4$
Soviel erst mal zu der Vorgehensweise Deines Profs..
Bei Deiner Vorgehensweise ist das ganze im Prinzip nur verkürzt, die obige Argumentation ist sozusagen "ausführlichster" Natur.
P.S.:
Was übrigens wichtig ist:
Lautet die Aufgabe wirklich:
$\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx}$
Denn die obige Rechnung ist die Rechnung für $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{\red{-}\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx}$. Wenn man wirklich $\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx}$ zu berechnen hat, so ist das wirklich (Rechnung kurz angedeutet):
$\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx}=\integral_{\infty}^0{4*e^{z}*(-1)dz}=\integral_{0}^\infty{4*e^{z}dz}=4*\left[e^z\right]_{z=0}^{z=\infty}=\infty$
(Genauer: Das gilt, weil $\int_0^\alpha {e^z dz}=e^\alpha-1 \to \infty$ bei $\alpha \to \infty$.)
Denn wie Du meiner obigen Rechnung entnimmst, habe ich mich an der Lösung Deines Profs. orientiert, und demnach sollte die Aufgabe eigentlich lauten:
$ \integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{\red{-}\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx} $
(Beachte das rote Minus-zeichen!)
Es könnte auch sein, dass sie lautete:
$\int_{-\infty}^0 {\frac{4*e^{\frac{1}{x}}}{x^2}}dx}$, denn es gilt (wie man anhand einer einfachen Substitution erkennt):
$\int_{-\infty}^0 {\frac{4*e^{\frac{1}{x}}}{x^2}}dx}=\integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{\red{-}\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx}$
P.P.S.:
Zu Deiner Frage im letzten Post:
Dort kann man nur schreiben (den konstanten Faktor $4$ spare ich mir mal, da man den eh vor das Integral ziehen kann):
$\int_0^\infty {\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx}=\int_{\infty}^0 {e^z *(-1)dz}=\int_{0}^\infty {e^z dz}$
Wie gesagt, ich nehme einfach mal an, dass man bei der Aufgabe anstatt $\frac{1}{x}$ im Exponenten von $e$ halt wirklich $\red{-}\frac{1}{x}$ gemeint hatte, denn nur so macht die Rechnung Deines Profs. Sinn und da liegt vermutlich auch der Hund begraben, warum Du bei dem Integral den Wert $\infty$ erhälst: Denn das ist Wert des Integrals $\int_0^\infty {\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2}dx}$, und Dein Prof. erhält den Wert $4$, weil das eben der Wert des Integrals $\int_0^\infty {\frac{e^{\red{-}\frac{1}{x}}}{x^2}dx}$ ist. Und daher stört Dich auch das plötzlich auftretende Minuszeichen in der Rechnung Deines Profs.
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:38 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
Hallo Marcel,
DANKE! Hammer antwort muss erstmal verdauen  ...
die Aufgabenstellung ist mir selbst unklar (mehrmals kopiert...)
[Dateianhang nicht öffentlich]
da hier der Bruchstrich etwas länger gezogen ist denke das die aufgabenstellung $ [mm] \integral_{0}^{\infty}{\bruch{4\cdot{}e^{\red{-}\bruch{1}{x}}}{x^{2}} dx} [/mm] $ lautet.
> weil mir gerade unklar ist, was Dir nun unklar ist, vll. einfach nochmal zurück zur ursprünglichen Frage:
genau das war mir unklar :
Wegen $ [mm] \int_r^s=-\int_s^r [/mm] $ folgt damit mit der Substitution [mm] \green{r=r(z)=\red{-}z}
[/mm]
> (Edit: Ich hätte halt besser von Anfang an $ [mm] z=\frac{1}{x} [/mm] $ substituieren sollen
was auch richtig ist! warum einfach wenn es kompliziert geht
mit den grenzübergängen bei Integralen bin ich immo überfordert... brauche etwas lesestoff
werde mal nochmal mit "normalen" Integralen bzw einfachen beispilen üben komme später darauf zurück.
und danke nochmal!
mfg
masa
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: jpg) [nicht öffentlich]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:08 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
$ [mm] \int_{r}^s {f(t)dt}+\int_{s}^r {f(t)dt}=\int_{r}^r [/mm] {f(t)dt}=0 $
he ? wenn ich das nur so überlege ich integriere in ein einem bestimmten bereich, daruas kriege ich eine fläche.
dann integriere ich zurück und zähle dieses dazu, so müsste doch was doppeltes raus kommen ?
im sinne $ [mm] \int_{r}^s [/mm] {f(t)dt}= [mm] \int_{s}^r [/mm] {f(t)dt}$
ich verstehe das so
$ [mm] \int_{r}^s {f(t)dt}+\int_{s}^r {f(t)dt}=2*\int_{r}^s [/mm] {f(t)dt} = [mm] 2*\int_{s}^r [/mm] {f(t)dt}$
aber bin Anfänger nicht schlagen :-(
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:34 Di 04.03.2008 | | Autor: | masa-ru |
würde mich jetzt interessieren
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:39 Di 04.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hi Masa-ru,
hatte ich übersehen, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]")
lg
Herby
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:42 Di 04.03.2008 | | Autor: | Herby |
Hallo,
werden die Grenzen vertauscht, kehrt sich das Vorzeichen um, reicht das als Antwort?
Liebe Grüße
Herby
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