unendlich oft differenzierbare funktionenfolge < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:01 Mi 26.05.2004 | | Autor: | lisa22 |
Ich habe schon einige Zeit herumprobiert, finde aber keinen Ansatz, der mich wirklich weiterbringt. zu folgender Aufgabe:
Zeige, es gibt eine Folge von Funktionen aus C°°(R->R) (raum der unendlich oft differenzierbaren funktionen) mit phi(n)(x)=0 fuer lxl >n+1 und lxl <n-1 so dass
Summe n=1 bis oo phi(n)(x)=1. ist fuer alle x aus R.
Ich habe in der aufgabe zuvor bereits gezeigt, dass es eine funktion gibt, die unendlich oft differenzierbar ist und fuer die gilt, dass sie =0 ist fuer lxl>=2 und groesser 0 fuer lxl<2. ich denke, das sollte ich evtl weiterverwenden.
vielen dank fuer eure hilfe.
gruss, lisa
P.S. warum funktioniert es nicht, die mathematischen Symbole die unter dem Postingfenster zu sehen sind einzufuegen, wenn ich sie anklicke???
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:27 Do 27.05.2004 | | Autor: | Marc |
Hallo lisa22,
> Zeige, es gibt eine Folge von Funktionen aus C°°(R->R)
> (raum der unendlich oft differenzierbaren funktionen) mit
> phi(n)(x)=0 fuer lxl >n+1 und lxl <n-1 so dass
>
> Summe n=1 bis oo phi(n)(x)=1. ist fuer alle x aus R.
>
> Ich habe in der aufgabe zuvor bereits gezeigt, dass es eine
> funktion gibt, die unendlich oft differenzierbar ist und
> fuer die gilt, dass sie =0 ist fuer lxl>=2 und groesser 0
> fuer lxl<2. ich denke, das sollte ich evtl
> weiterverwenden.
Das nennt man dann eine [mm] $C^\infty$-differenzierbare [/mm] Partition der Eins</i>.
Das ist tatsächlich etwas trickreich, und ich weiß auch noch nicht, ob es so funktioniert.
Sowohl die einzelnen Funktion [mm] $\phi_h$, [/mm] also auch die Funktion $f$ (so nenne ich sie jetzt einfach mal) in der Aufgabe zuvor haben ja ein Intervall der Länge 2, auf dem sie nicht verschwinden (sollen).
Dann stelle ich fest, dass für [mm] $x\not\in\IZ$ [/mm] es genau zwei Funktionen von [mm] $(f_n)_{n\in\IN}$ [/mm] gibt für die gilt: [mm] $(f_n)(x)\not=0$, [/mm] und zwar sei n die größte Zahl mit $m<|x|$. Dann ist offenbar [mm] $f_m(x)\not=0$ [/mm] und [mm] $f_{m+1}(x)\not=0$.
[/mm]
Falls [mm] $x\in\IZ$, [/mm] dann gibt es genau eine Funktion der Folge mit [mm] $f_{m}(x)\not=0$, [/mm] nämlich für $m=|x|$.
Meine Idee ist nun folgende:
Mit der Funktion $f$ aus der vorherigen Aufgabe bastle ich eine neue Funktion [mm] $\tilde [/mm] f$, und zwar so:
[mm]\tilde f(x):=\left\{\begin{array}{ll}
\bruch{f(x)}{f(1)}, & \mbox{wenn } 0
Anschaulich nehme ich über dem Intervall $(0,1]$ für [mm] $\tilde [/mm] f$ die Funktion [mm] $\bruch{f(x)}{f(1)}$, [/mm] und für die zweite Hälfte dann jeweils die Differenz zu Eins der ersten Intervallhälfte.
Warum ich das mache? Weil dann nämlich gilt:
[mm] $\tilde [/mm] f(1)=1$ und
[mm] $\tilde f(x)+\tilde [/mm] f(x+1)=1$ für $0<x<1$
Zu zeigen ist jetzt nur noch, warum [mm] $\tilde [/mm] f$ an der Stelle $x=1$ unendlich diffbar ist, dazu habe ich mir noch keine Gedanken gemacht.
Nun repliziere ich [mm] $\tilde [/mm] f$, indem ich [mm] f_n [/mm] auf genau seinem gewünschten Träger (also dem Intervall, wo [mm] f_n [/mm] nicht verschwindet) die Werte von [mm] $\tilde [/mm] f$ annehmen lasse:
[mm]f_n(x):=\left\{\begin{array}{ll}
\tilde f(x-n+1), & \mbox{wenn } n-1
oder kürzer:
[mm] $f_n(x):=\tilde [/mm] f(x-n+1)$, [mm] $x\in\IR$
[/mm]
Ich hoffe das stimmt alles soweit, besonders das mit der Diffbarkeit an der Stelle 1 von [mm] $\tilde [/mm] f$, dazu bin ich jetzt zu müde.
Jetzt überlege dir noch, warum meine Funktionenfolge die gewünschten Eigenschaften hat...
> P.S. warum funktioniert es nicht, die mathematischen
> Symbole die unter dem Postingfenster zu sehen sind
> einzufuegen, wenn ich sie anklicke???
Weil diese Symbole nicht automatisch eingefügt werden, sondern erst in dieser Textzeile angezeigt werden. Die dort angezeigten Befehle kann man dann abtippen oder in Textfenster kopieren.
Technisch ist nämlich nur das automatische Anfügen am Ende des Textes im Textfenster möglich, was sehr irritierend ist.
Viele Grüße,
Marc
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