unendliche Gruppen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 16:57 Di 10.08.2004 | | Autor: | Wombat |
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
hallo
ich habe hier eine Aufgabe mit der ich nicht zurecht komme ich hoffe mir kann einer dabei helfen.
* enthält G zwei verschiedene zyklische Untergruppen mit 4 Elementen , so ist G eine unendliche Gruppe.
Vielen dank schon mal im voraus Tina
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 10.08.2004 | | Autor: | Hanno |
Hi Tina.
Ich fände es gut, wenn du auch deine eigenen LÖsungsansätze posten würdest - sonst sieht das noch so aus als würden wir hier nur deine Hausaufgaben anfertigen.
Gruß,
Hanno
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Hm, die Aufgabe kommt mir seltsam vor... vermutlich übersehe ich etwas und werde mir im Nachhinein auf den Kopf schlagen, aber was ist mit:
$G := [mm] \langle [/mm] a, b : [mm] a^4 [/mm] = [mm] b^4 =aba^{-1}b^{-1} [/mm] = e [mm] \rangle$ [/mm] ?
Mit anderen Worten: $G$ wird von zwei Elementen der Ordnung 4 erzeugt und ist außerdem abelsch. Dann ist jedes Element von der Form [mm] $a^i b^j$ [/mm] mit $i,j [mm] \in \{0,1,2,3\}$ [/mm] mit Inversem [mm] $a^{4 - i}b^{4 - j}$ [/mm] und diese sind paarweise verschieden. Die von $a$ bzw. $b$ erzeugten Untergruppen sind zyklisch von der Ordnung 4 und verschieden... aber ich zähle nur 16 Elemente.
Also, wo habe ich mich verhauen? Keine Schonung, bitte...
Lars
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Hallo Gnometech,
Da hast du keinen Fehler gemacht. Die Gruppe, die du konstruiert hast, ist isomorph zur additiven Gruppe [mm] $\IZ/4\ZZ \times \IZ/4\IZ$. [/mm] Die hat genau die von dir angegebenen Eigenschaften. Darüber hinaus hat sie aber noch weitere zyklische Untergruppen der Ordnung 4. Wieviele? (ich weiss es, ich weiss es) 
Wenn im Starter ein "genau 2" gemeint war, trifft das Beispiel nicht auf die Aufgabe zu.
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 08:59 Mi 11.08.2004 | | Autor: | Gnometech |
Ah, das könnte natürlich sein, dass da ein "genau 2" gefehlt hat... klar gibt es in meinem Beispiel einen ganzen Haufen weiterer zyklischer Untergruppen der Ordnung 4, z.B.
[mm] $\langle [/mm] ab [mm] \rangle$, $\langle [/mm] a^2b [mm] \rangle$, [/mm] ...
Es ist klar, dass jedes Element der Gruppe höchstens Ordnung 4 hat. Alle Elemente der Ordnung genau 4 erzeugen eine zyklische Untergruppe der Ordnung 4. Sonst kommt natürlich nur die Ordnung 2 vor (jede vorkommende Ordnung teilt die Gruppenordnung) und zwar bei:
[mm] $a^2$, $b^2$, $a^2 b^2$.
[/mm]
Naja und $e$ hat Ordnung 1. Damit zähle ich 12 zyklische Untergruppen der Ordnung 4, nämlich alle diejenigen erzeugt von Elementen der Form $g [mm] \in [/mm] G [mm] \backslash \{ e, a^2, b^2, a^2b^2 \} [/mm] $. Nun muß man noch ein wenig aufpassen, weil einige dieser "12" Untergruppen tatsächlich gleich sind - z.B. [mm] $\langle [/mm] a [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle a^3 \rangle$. [/mm] Oder auch [mm] $\langle a^3 [/mm] b [mm] \rangle [/mm] = [mm] \langle [/mm] a [mm] b^3 \rangle [/mm] $.
Alles in allem komme ich also auf insgesamt 6 verschiedene Gruppen der Ordnung 4, erzeugt von $a$, $b$, $ab$, $a [mm] b^3$, $a^2 [/mm] b$ und $a [mm] b^2$. [/mm] Mit anderen Worten: je zwei der oben gefundenen 12 stimmen in Wahrheit überein.
Hm, wir haben in Algebra I die ganze Zeit nur mit Kategorien hantiert, daher habe ich solche Sachen vielleicht nie so bewußt gemacht... ich stutzte nur bei der Aufgabe, weil mir spontan [mm] $\IZ [/mm] / 4 [mm] \IZ \times \IZ [/mm] / 4 [mm] \IZ$ [/mm] einfiel... aber richtig, das "genau 2" könnte (und wird wohl) der Knackpunkt sein.
Gruß und danke,
Lars
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Hallo Tina,
Gnometechs Beispiel zeigt, dass die Aussage so wie sie da steht falsch ist.
Meinst du vielleicht eine Gruppe, die genau 2 zyklische Untergruppen der Ordnung 4 hat?
Liebe Grüsse,
Irrlicht
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