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unendliche Reihe: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:33 Mi 06.12.2006
Autor: phys1kAueR

Aufgabe
Zeigen Sie das folgende Reihe die angegegebene Summe hat:
[mm] \summe_{=1}^{\infty}\bruch{1}{n*(n+1)(n+2)}=\bruch{1}{4} [/mm]

Ich habe mittels PBZ folgendes erhalten:
[mm] \bruch{1}{2n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2(n+2)} [/mm]

Ich habe außerdem festgestellt, das sich die ungeraden glieder von [mm] -\bruch{1}{n+1} [/mm] mit [mm] \bruch{1}{2n}- [/mm] zu Null addieren, leider hat mir das bis jetzt noch nicht genützt. ;(

Bitte helft mir!

grüße

phys1kauer

        
Bezug
unendliche Reihe: zerlegen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 14:57 Mi 06.12.2006
Autor: Loddar

Hallo phys1kAueR!


Zerlege das Ergebnis Deiner Partiabruchzerlegung noch weiter:

[mm] $\bruch{1}{2*n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{2*(n+2)}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{1}{2*n}-\bruch{2}{2*(n+1)}+\bruch{1}{2*(n+2)}$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1+1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}\right)$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}\right)$ [/mm]

$= \ [mm] \bruch{1}{2}*\left(\red{\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}} \ + \ \blue{\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+1}}\right) [/mm] $


Erkennst Du nun die beiden Teleskopsummen?


Gruß
Loddar


Bezug
                
Bezug
unendliche Reihe: Richtig aufgeschrieben?
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 19:47 Mi 06.12.2006
Autor: phys1kAueR

Danke für deinen Hinweis, jetzt hab ich's hinbekommen. Kannst du bitte mal einen kurzen Blick riskieren, ob ich alles mathematisch exakt genau aufgeschrieben hab?!

[mm] \bruch{1}{2}\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+1})=\bruch{1}{2}\limes_{n\rightarrow\infty}[\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1})+\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n+2}-\bruch{1}{n+1})] [/mm]

Damit ich die Teleskopsummen besser sehe führe ich einen weiteren Summationsindex m ein:

[mm] \bruch{1}{2}[\limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{n=1}^{\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\limes_{m\rightarrow\infty}\summe_{m=3}^{\infty}(\bruch{1}{m}-\bruch{1}{m-1})] [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}[\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n}-\bruch{1}{n+1}+\limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{1}{m}-\bruch{1}{m-1})] [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}[1-\limes_{n\rightarrow\infty}(\bruch{1}{n+1})+\limes_{m\rightarrow\infty}(\bruch{1}{m})-\bruch{1}{2}] [/mm]

[mm] \bruch{1}{2}[1-\bruch{1}{2}]=\bruch{1}{4} [/mm]


Danke

Phys1kauer

P.S: Kannst du nochmal einen Blick in meinen anderen Thread werfen (https://matheraum.de/read?t=205618). Da komme ich nicht weiter.

Bezug
                        
Bezug
unendliche Reihe: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:20 Fr 08.12.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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