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| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=o}^{\infty} [/mm] k*0.3^|k| |
Schönen guten Abend!
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte, muss diese Aufgabe lösen, um einen Schein in Stochastik zu bekommen. Muss einen Erwartungswert berechnen und daraus folgt obige Aufgabe.
Ich habe keine Ahnung, ob es einen Grenzwert gibt und wenn ja, wie man ihn brechnet. Man müsste eine Majorante finden um zu zeigen, dass es keinen Grenzwert gibt, aber ich wüsste nicht welche...
Wäre super, wenn jemand helfen könnte.
danke, jenny
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:02 Di 20.02.2007 | | Autor: | Jorgi |
Huhu :)
meinst du diese Reihe : [mm]\summe_{k=0}^{\infty}k\cdot(0.3)^k[/mm] ?
wenn ja, dann würd ich sagen Wurzelkriterium benutzen, um zu zeigen, dass sie kovergiert
[mm]\wurzel[k]{a_k} = \wurzel[k]{k\cdot(0.3)^^k} = \wurzel[k]{k} \cdot \wurzel[k]{(0.3)^k} = \wurzel[k]{k}\cdot (0.3) \longrightarrow 1 \cdot 0.3 < 1[/mm]
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Hallo!
Danke schonmal für den Tipp, das heißt, es gibt einen Limes, jetzt brauche ich nur noch den genauen Wert dazu.
danke, jenny
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Hallo jennylein_18,
> [mm]\summe_{k=o}^{\infty}[/mm] k*0.3^|k|
In meiner Formelsammlung steht für [mm]\left|x\right| < 1[/mm]:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}{kx^k}=\frac{x}{(1-x)^2}[/mm]
Wie man auf diese Formel kommt? Na ja, Man benutzt hierbei Methoden der Ableitung. Hab's jetzt mal versucht und komme auch auf die Formel, allerdings stört mich dabei ein Gleichheitszeichen:
Wir wissen, daß folgendes für [mm]\left|x\right| < 1[/mm] gilt:
[mm]\sum_{k=0}^{\infty}{x^k} =\frac{1}{1-x}.[/mm]
Leitet man auf beiden Seiten ab, erhält man:
[mm]\sum_{k=1}^{\infty}{kx^{k-1}} = \sum_{k=0}^{\infty}{(k+1)x^k}\mathop \mathrel{\textcolor{red}{=}}\left(\sum_{k=0}^{\infty}{kx^k}\right)+\sum_{k=0}^{\infty}{x^k}\gdw\sum_{k=0}^{\infty}{kx^k}=\frac{1}{(1-x)^2}-\frac{1}{1-x}=\frac{x}{(1-x)^2}[/mm]
Aber beim roten Gleichheitszeichen stört es mich, daß man unendliche Reihen doch nicht so einfach umordnen kann, sofern man nicht ausschließt, daß [mm]x[/mm] negativ werden kann? Außerdem stört es mich auch ein wenig, daß man hier beim ersten Schritt eine unendliche Reihe als eine Funktion betrachtet, die man ableiten kann. Aber bei dir ist ja [mm]x=0.3[/mm], also spielt da das rote Gleichheitszeichen keine Rolle.
Viele Grüße
Karl
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oh, super, das hat mir schon viel geholfen. danke sehr
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