unendliche Reihen und ihr Wert < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:59 Di 18.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k-(\bruch{1}{3})^k [/mm] |
Hallo,
mein Problem ist folgendes:
Bei solchen unendlichen Reihen darf man ja nicht ohne weiteres aufteiln in [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}, [/mm] da die Reihe so unter Umständen umgeordnet werden könnte.
Wann darf ich das aber so auseinanderziehen? Denn dieser weg ist doch sehr einfach.
Muss die Reihe dazu zB absolut konvergent sein? Ist sie das in diesem Fall? Denn es kommt ja das richtige raus.
Normalerweise müsste man es ja dann so schreiben:
[mm] \limes_{n\rightarrow\infty}\summe_{k=1}^{n}(\bruch{1}{2})^k-(\bruch{1}{3})^k
[/mm]
Wie käme ich über diesen "sichereren Weg" zum Ziel? Ich muss die Summe ja irgendwie auseinandergezogen bekommen, um die Formel für geometrisch Reihen anwenden zu können.
Vielen Dank,
Tobi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt....
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:48 Di 18.03.2008 | | Autor: | pelzig |
Wenn die Reihe absolut konvergent ist, darfst du sie umordnen. Wenn die Reihe konvergent aber nicht absolut konvergent ist, gibt es zu jeder reellen Zahl $r$ eine Umordnung, die gegen $r$ konvergiert!
Zu deiner Reihe:
[mm] $$...=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k-\left(\frac{1}{3}\right)^k\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{2}\right)^k-\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{3}\right)^k\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{2}\right)^k-\lim_{n\rightarrow\infty}\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{3}\right)^k=...$$
[/mm]
Die letzte Gleichheit gilt nach den Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen, hier müsste man jedoch sozusagen "rückwärts lesen":
Da [mm] $\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{2}\right)^k$ [/mm] und [mm] $\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{3}\right)^k$ [/mm] beide konvergieren, konvergiert auch [mm] $\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{2}\right)^k-\sum_{k=1}^n\left(\frac{1}{3}\right)^k$, [/mm] und zwar indem man die grenzwerte einfach addiert/subtrahiert.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:01 Di 18.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
danke sehr!
Das heißt meine Reihe ist absolut konvergent? Sonst gilt deine erste Gleichsetzung meiner Reihe nicht.
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> Das heißt meine Reihe ist absolut konvergent?
Hallo,
sie ist's, aber das muß man natürlich zeigen. Du könntest das z.B. mit dem Majorantenkriterium tun:
Es ist [mm] |\bruch{1}{2^k}-\bruch{1}{3^k}| [/mm] = ... [mm] \le \bruch{1}{2^k}, [/mm] und somit konvergiert [mm] \summe(\bruch{1}{2^k}-\bruch{1}{3^k} [/mm] absolut.
Die Grenzwertberechnung ist dann ja keine große Kunst mehr, die hast Du (im Prinzip) bereits im Eingangspost.
Aber aufgepaßt: Deine Reihe läuft ab 1 und nicht ab 0, die Werte Deiner beiden geometrischen Reihen stimmen somit nicht richtig.
Gruß v. Angela
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:25 Di 18.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
perfekt, danke euch beiden!!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:21 Di 18.03.2008 | | Autor: | pelzig |
> Das heißt meine Reihe ist absolut konvergent? Sonst gilt
> deine erste Gleichsetzung meiner Reihe nicht.
Falsch...
Ich wollte das nochmal klarstellen. Die Gleichheit
[mm] $$\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{2}\right)^k-\left(\frac{1}{3}\right)^k\right]=\lim_{n\rightarrow\infty}\left[\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{2}\right)^k-\sum^n_{k=1}\left(\frac{1}{3}\right)^k\right]$$
[/mm]
ist einfach das Assoziativ- und Kommutativgesetz der Addition reeller Zahlen in Aktion. Dabei wird nix umgeordnet, weil es keine Reihe ist sondern eine (endliche) Summe! Es spielt also keine Rolle, ob die Reihe absolut konvergent ist oder nicht.
Die Umformungen von oben basieren allein auf den Rechenregeln konvergenter Zahlenfolgen, denn Reihen (oder vielmehr Partialsummenfolgen) sind auch Zahlenfolgen. (aber Zahlenfolgen sind auch Reihen (!), da sollte man mal eine Minute drüber nachdenken...)
Edit: Nur am Rande, selbst wenn ich umgeordnet hätte, und sich durch Zufall (!) nix am Grenzwert geändert hätte, würde noch nicht absolute Konvergenz folgen! Erst wenn es für jede Umordnung klappt, kann man unbedingte Konvergenz folgern...
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:25 Do 20.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
das erklärt dann auch die Terminologier der absoluten Konvergenz. Nämlich wenn es für jede Umordnung denselben Grenzwert gibt...
Das heißt Probleme kann diese Auftrennung der Summe erst dann machen, wenn ich meine Summenobergrenze direkt als unendlich wähle.
Die Wahl des Limes von n gegen unendlich ist wohl nur eine Umformung, um die Reihe erstmal so hinschreiben zu können?
Ich habe mich noch ein bisschen in das Thema eingelesen und ein Paar Aufgaben gerechnet.
Auch laut der Korrekturen meiner Übungen aus der Uni und dem Repetitorium der höheren Mathematik scheint es so zu sein, dass ich eine unendliche Reihe aufteilen kann in zwei unendliche Reihen (siehe obiges Beispiel), wenn [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^k [/mm] getrennt konvergieren.
also allgemein:
Sind [mm] \summe_{k=1}^{\infty}a_k=a [/mm] und [mm] \summe_{k=1}^{\infty}b_k=b [/mm] konvergente Reihen,
Dann [mm] \summe_{k=1}^{\infty}(a_k+b_k)=\summe_{k=1}^{\infty}a_k [/mm] + [mm] \summe_{k=1}^{\infty}b_k [/mm] = a+b
Eine zweite Bedingung, die ich fand ist die Rihenrestabschätzung nach Leibnitz. Implizit, wenn es sich um alternierdende Reihen handelt, die man ja wirklich nicht einfach auseinanderziehen darf.
Dann lautet die Abschätzung:
[mm] |\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_k [/mm] - [mm] \summe_{K=0}^{n}(-1)^k a_k [/mm] | [mm] \le a_n+1
[/mm]
An einem Beispiel:
Berechne den Reihenwert von:
[mm] 1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}++--.......
[/mm]
Das möche man gerne Umordnen zu
[mm] (1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{7}+-...)+\bruch{1}{2}(1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+-...)=\bruch{\pi}{4}+\bruch{1}{2}ln2
[/mm]
Das darf man aber nicht ohne Zusatzüberlegung.
[mm] |1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{7}+-...\pm \bruch{1}{2n-1}-\bruch{\pi}{4}| [/mm] <= [mm] \bruch{1}{2n+1}
[/mm]
und
[mm] |\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}+-...\pm \bruch{1}{2n}-\bruch{1}{2}ln2| [/mm] <= [mm] \bruch{1}{2n+2}
[/mm]
Und da diese Reihenreste also gegen 0 konvergieren für n gegen [mm] \infty [/mm] , darf man die angegebene Reihe auseinanderziehen.
Diese Aufgabe plus Lösung mit der Reihenrestabschätzung stammt von unserem Prof.
Ist nun die Reihenrestabschätzung eine stärkere Bedingung daran eine Reihe auseinanderziehen zu dürfen als die erste Bedingung(wenn die beiden Reihen nachm Auseinanderziehen je konvergieren, darf man die ursprüngliche Reihe auseinanderziehen)???
Allerbesten Dank für jegliche Anregungen!
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Do 20.03.2008 | | Autor: | pelzig |
> das erklärt dann auch die Terminologier der absoluten Konvergenz. Nämlich wenn es für jede Umordnung denselben Grenzwert > gibt...
Naja eigentlich ist nach Defintion eine Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] absolut konvergent genau dann, wenn [mm] $\sum_{k=0}^\infty|a_k|$ [/mm] konvergent ist. Das mit den Umordnungen ist äquivalent (die eine Richtung ist der "Riemannsche Umordnungssatz"), aber nicht so trivial wie es aussieht...
> Das heißt Probleme kann diese Auftrennung der Summe erst
> dann machen, wenn ich meine Summenobergrenze direkt als
> unendlich wähle.
> Die Wahl des Limes von n gegen unendlich ist wohl nur eine
> Umformung, um die Reihe erstmal so hinschreiben zu können?
Verstehe die Frage leider nicht ganz genau. Also die Schreibweise
[mm] $\sum_{k=n}^\infty a_k$ [/mm] bedeutet per Konvention zwei Dinge:
1) bezeichnet sie eine "Reihe", also eine Zahlenfolge und somit eine Abbildung [mm] $\IN\rightarrow\IR$ [/mm] (bzw. [mm] $\IC$ [/mm] o.ä.)
2) steht sie für eine Zahl, nämlich den Grenzwert der Reihe (falls dieser existiert), ist also eine Abkürzung für [mm] $\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{k=n}^n a_k$
[/mm]
Was gemeint ist muss aus dem Zusammenhang deutlich werden.
> Ich habe mich noch ein bisschen in das Thema eingelesen und
> ein Paar Aufgaben gerechnet.
> Auch laut der Korrekturen meiner Übungen aus der Uni und
> dem Repetitorium der höheren Mathematik scheint es so zu
> sein, dass ich eine unendliche Reihe aufteilen kann in zwei
> unendliche Reihen (siehe obiges Beispiel), wenn
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^k[/mm] getrennt
> konvergieren.
> also allgemein:
> Sind [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k=a[/mm] und
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}b_k=b[/mm] konvergente Reihen,
> Dann
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(a_k+b_k)=\summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] +
> [mm]\summe_{k=1}^{\infty}b_k[/mm] = a+b
Genau das ist, wie gesagt, eigentlich nur die Anwendung der Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen:
Sind [mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] konvergente Zahlenfolgen mit den Grenzwerten $a$ bzw. $b$, so konvergiert auch die Folge [mm] $(a_n+b_n)$, [/mm] und zwar gegen $a+b$.
[mm] $(a_n)$ [/mm] und [mm] $(b_n)$ [/mm] sind dann die zugehörigen Partialsummenfolgen deiner Reihen.
> Eine zweite Bedingung, die ich fand ist die
> Rihenrestabschätzung nach Leibnitz. Implizit, wenn es sich
> um alternierdende Reihen handelt, die man ja wirklich nicht
> einfach auseinanderziehen darf.
> Dann lautet die Abschätzung:
> [mm]|\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_k[/mm] - [mm]\summe_{K=0}^{n}(-1)^k a_k[/mm]
> | [mm]\le a_n+1[/mm]
Du meinst wohl [mm] $\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^ka_k - \sum_{k=0}^N(-1)^ka_k\right|\le\left|a_{N+1}\right|$
[/mm]
> An einem Beispiel:
> Berechne den Reihenwert von:
>
> [mm]1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}++--.......[/mm]
>
> Das möche man gerne Umordnen zu
>
> [mm](1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{7}+-...)+\bruch{1}{2}(1-\bruch{1}{2}+\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+-...)=\bruch{\pi}{4}+\bruch{1}{2}ln2[/mm]
> Das darf man aber nicht ohne Zusatzüberlegung.
> [mm]|1-\bruch{1}{3}+\bruch{1}{5}-\bruch{1}{7}+-...\pm \bruch{1}{2n-1}-\bruch{\pi}{4}|[/mm]
> <= [mm]\bruch{1}{2n+1}[/mm]
> und
>
> [mm]|\bruch{1}{2}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{8}+-...\pm \bruch{1}{2n}-\bruch{1}{2}ln2|[/mm]
> <= [mm]\bruch{1}{2n+2}[/mm]
>
> Und da diese Reihenreste also gegen 0 konvergieren für n
> gegen [mm]\infty[/mm] , darf man die angegebene Reihe
> auseinanderziehen.
Also dass was da steht ist doch im Grunde die Definiton von Konvergenz einer Zahlenfolge, womit wir wieder bei der "ersten" Bedingung wären...
> [...]
>
> Ist nun die Reihenrestabschätzung eine stärkere Bedingung
> daran eine Reihe auseinanderziehen zu dürfen als die erste
> Bedingung(wenn die beiden Reihen nachm Auseinanderziehen je
> konvergieren, darf man die ursprüngliche Reihe
> auseinanderziehen)???
So... jezz bin ich auch an dem Punkt wo ich mehr Fragen als Antworten im Kopf hab.
Ich verstehe nicht warum dein Prof diese Reihenrestabschätzung gemacht hat. Es ist doch:
[mm] $$1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}++--...=
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\left(\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\right)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{1}{2k-1}+(-1)^{k+1}\frac{1}{2k}=
[/mm]
[mm] \sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{1}{k}=\frac{\pi}{4}+\frac{\log2}{2}$$
[/mm]
mit den gleichen Argumenten wie im Beispiel oben (?). Vielleicht könnte sich mal jemand anders dazu äußern...
Gruß, Robert
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(Korrektur) oberflächlich richtig  | | Datum: | 18:38 Do 20.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > dem Repetitorium der höheren Mathematik scheint es so zu
> > sein, dass ich eine unendliche Reihe aufteilen kann in zwei
> > unendliche Reihen (siehe obiges Beispiel), wenn
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{2})^k[/mm] und
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(\bruch{1}{3})^k[/mm] getrennt
> > konvergieren.
> > also allgemein:
> > Sind [mm]\summe_{k=1}^{\infty}a_k=a[/mm] und
> > [mm]\summe_{k=1}^{\infty}b_k=b[/mm] konvergente Reihen,
> > Dann [mm]\summe_{k=1}^{\infty}(a_k+b_k) = \summe_{k=1}^{\infty}a_k[/mm] + [mm]\summe_{k=1}^{\infty}b_k[/mm] = a+b
>
> Genau das ist, wie gesagt, eigentlich nur die Anwendung der
> Rechenregeln für konvergente Zahlenfolgen:
> Sind [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] konvergente Zahlenfolgen mit den
> Grenzwerten [mm]a[/mm] bzw. [mm]b[/mm], so konvergiert auch die Folge
> [mm](a_n+b_n)[/mm], und zwar gegen [mm]a+b[/mm].
> [mm](a_n)[/mm] und [mm](b_n)[/mm] sind dann die zugehörigen
> Partialsummenfolgen deiner Reihen.
>
Richtig.
> > Eine zweite Bedingung, die ich fand ist die
> > Rihenrestabschätzung nach Leibnitz. Implizit, wenn es sich
> > um alternierdende Reihen handelt, die man ja wirklich nicht
> > einfach auseinanderziehen darf.
> > Dann lautet die Abschätzung:
> > [mm]|\summe_{k=0}^{\infty}(-1)^k a_k[/mm] - [mm]\summe_{K=0}^{n}(-1)^k a_k[/mm] | [mm]\le a_n+1[/mm]
>
> Du meinst wohl [mm]\left|\sum_{k=0}^\infty(-1)^ka_k - \sum_{k=0}^N(-1)^ka_k\right|\le\left|a_{N+1}\right|[/mm]
>
Hab ich noch nie von gehört. Kann nicht mal sagen, welche der beiden Versionen richtig ist (falls überhaupt eine).
Siehe ganz unten, da hab ich bissl mehr dazu geschrieben.
>
> So... jezz bin ich auch an dem Punkt wo ich mehr Fragen als
> Antworten im Kopf hab.
> Ich verstehe nicht warum dein Prof diese
> Reihenrestabschätzung gemacht hat. Es ist doch:
>
> [mm][/mm][mm] 1+\bruch{1}{2}-\bruch{1}{3}-\bruch{1}{4}+\bruch{1}{5}+\bruch{1}{6}-\bruch{1}{7}-\bruch{1}{8}++--...=[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\left(\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2k}\right)=\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{1}{2k-1}+(-1)^{k+1}\frac{1}{2k}=[/mm]
>
> [mm]\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{1}{2k-1}+\frac{1}{2}\sum_{k=1}^\infty(-1)^{k+1}\frac{1}{k}=\frac{\pi}{4}+\frac{\log2}{2}[/mm][mm][/mm]
>
> mit den gleichen Argumenten wie im Beispiel oben (?).
> Vielleicht könnte sich mal jemand anders dazu äußern...
>
> Gruß, Robert
Die Rechnung sieht richtig aus.
> >
> > Ist nun die Reihenrestabschätzung eine stärkere Bedingung
> > daran eine Reihe auseinanderziehen zu dürfen als die erste
> > Bedingung(wenn die beiden Reihen nachm Auseinanderziehen je
> > konvergieren, darf man die ursprüngliche Reihe
> > auseinanderziehen)???
Die Sache mit der Reihenrestabschätzung versteh ich nicht. Du hast sie selber nie in dem Beitrag benutzt. Ausserdem dachte ich, dass diese Abschätzung folgt, wenn die Reihe alternierend und konvergent ist. Dann erübrigt sich doch die Frage ob es stärker ist eigentlich.
Oder ich hab dich falsch verstanden. Dann schreib bitte deine Vermutung nochmal auf (so richtig mit Folgepfeilen, und vorallem: genau die Vorraussetzungen nennen).
Der Alex
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 20:07 Do 20.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
vielen Dank schonmal für das Auseinandersetzen mit dem Thema...
@pelzig:
ich denke du hast recht, die Reihenrestabschätzung ist tatsächlich nur eine andere Formulierung der Konvergenz.
An meinem Beispiel sagt mir diese Abschätzung ja lediglich, dass die beiden Reihen, in die ich die vorgegebene aufgeteilt habe, konvergieren. Nämlich, weil die Reihenreste je gegen 0 gehen.
Insofern ist diese Variante ja nichts anderes als die einfachere, erste Aussage. Nämlich dass die Reihe aufteilbar ist, wenn die aufgeteilten Reihen je konvergieren.
So wie ich es jetzt verstanden habe, gilt:
Reihe absolut konvergent => Reihe immer aufteilbar ohne dass sich der Reihenwert ändert. Sprich ich darf die Reihenfolge der Glieder vertauschen ohne etwas am Wert der Reihe zu rütteln (nur hinreichende Aussage)
andersrum gilt das nicht immer.
Sei nämlich meine Reihe nicht absolut konvergent, verursacht jede Umordnung, dh jede Aufteilung einen anderen Reihenwert.
Natürlich kann ich meine Reihe IMMER aufteilen nach den üblichen Rechengesetzen, das verstehe ich schon, aber die Frage ist: DARF ich das unter der Voraussetzung, dass der Reihenwert sich nicht ändert???
Siehe das vorige Beispiel:
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{2})^k-(\bruch{1}{3})^k
[/mm]
aufgeteilt in
[mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{2})^k [/mm] - [mm] \summe_{k=1}^{\infty} (\bruch{1}{3})^k [/mm] = [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}} [/mm] - [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{3}}
[/mm]
Ich glaube du, pelzig, hast ja schon gemeint, dass diese Reihe nicht absolut konvergent ist.
Hat diese Aufteilung und damit Umordnung denoch denselben Reihenwert wie die Ausgangsreihe??
Wenn ja liegt es nur daran, dass meine aufgesplitteten Reihen konvergieren? Ich denke nicht, denn das ist überhaupt immer Vorraussetzung dafür,dass ich aufteilen kann, ohne dass was verlohren geht...
Danke!!!
Gruß, Tobi
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:33 Do 20.03.2008 | | Autor: | pelzig |
So ich hab jetzt nochmal ein bischen darüber nachgedacht.
Also ganz wichtig ist der Unterschied zwischen dem "aufteilen" und "umordnen".
Dazu mal ein Beispiel:
Wir gehen mal von ner beliebigen Reihe [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_k$ [/mm] aus.
Eine Umordnung wäre das hier:
[mm] $$\text{(i)}\qquad a_2+a_1+a_4+a_3+...$$
[/mm]
denn, es gibt eine (unendliche) Permutation [mm] $\pi:\IN\rightarrow\IN$, [/mm] sodass ich [mm] $\text{(i)}$ [/mm] schreiben kann als [mm] $\sum_{k=0}^\infty a_{\pi(k)}$, [/mm] nämlich [mm] $\pi(k)=\begin{cases}k+1&\mbox{ für k ungerade}\\k-1&\mbox{ für k gerade}\end{cases}$.
[/mm]
Nun Betrachte
[mm] $$\text{(ii)}\qquad a_1+a_3+a_5+...+a_2+a_4+a_6+...$$
[/mm]
Diesmal handelt es sich nich um eine Umordnung, da es keien Permutation gibt, die erst alle ungeraden und dann alle geraden natürlichen Zahlen durchläuft (andernfalls gäbe es eine größte ungerade Zahl, Widerspruch.)
Wenn ich also Reihen irgendwie auf mehrere Reihen aufteile, ist das keine Umordnung. Das man es trotzdem machen darf ohne was kaputt zu machen ist nich selbstverständlich, in unseren Beispielen folgte es wie gesagt aus den Rechenregeln für konv. Zahlenfolgen, aber wenn man es irgendwie anders aufgeteilt hätte, wär es vielleicht nicht gegangen. Wenn du ne absolut konvergente Reihe hast darfst du sie beliebig umordnen und (das war mir auch neu) auch beliebig aufteilen, sogar auf unendlich viele Reihen (finde erstmal ne Zerlegung der natürlichen Zahlen in unendlich viele, unendliche Mengen...)! Das heißt dann übrigens großer Umordnungssatz.
Zurück zum Thema...
> [...] Insofern ist diese Variante ja nichts anderes als die
> einfachere, erste Aussage. Nämlich dass die Reihe
> aufteilbar ist, wenn die aufgeteilten Reihen je
> konvergieren.
Richtig.
> So wie ich es jetzt verstanden habe, gilt:
> Reihe absolut konvergent => Reihe immer aufteilbar ohne
> dass sich der Reihenwert ändert. Sprich ich darf die
> Reihenfolge der Glieder vertauschen ohne etwas am Wert der
> Reihe zu rütteln (nur hinreichende Aussage)
> andersrum gilt das nicht immer.
Hier musst du aufpassen wegen dem Unterschied von "vertauschen von Gliedern" [mm] ($\rightarrow$ [/mm] umordnen) und "Reihe aufteilen", siehe oben...
> Sei nämlich meine Reihe nicht absolut konvergent,
> verursacht jede Umordnung, dh jede Aufteilung einen anderen
> Reihenwert.
Dito. Außerdem muss sicher der Reihenwert einer konvergenten, aber nicht absolut konvergenten, Reihe bei einer Umordnung nicht zwangsläufig ändern. Aber er kann es, und er kann wie gesagt sogar jeden beliebigen Wert annehmen.
> Natürlich kann ich meine Reihe IMMER aufteilen nach den
> üblichen Rechengesetzen, das verstehe ich schon, aber die
> Frage ist: DARF ich das unter der Voraussetzung, dass der
> Reihenwert sich nicht ändert???
Auf die Weise wie wir es oben gemacht haben: JA. Der Beweis steht ja dort.
> [...] Ich glaube du, pelzig, hast ja schon gemeint, dass diese
> Reihe nicht absolut konvergent ist.
Über absolute Konvergenz hab ich nichts gesagt, weil ich sie nicht gebraucht habe.
> Hat diese Aufteilung und damit Umordnung denoch denselben
> Reihenwert wie die Ausgangsreihe??
Ja.
> Wenn ja liegt es nur daran, dass meine aufgesplitteten
> Reihen konvergieren?
Auf diese Weise aufgeteilt, ja.
So. Hoffe dir is wie mir nun auch ein Licht aufgegangen.
Is ja ein ganz interessanter Thread geworden 
Gruß, Robert
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:54 Fr 21.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
Hallo,
ja mir ist jetzt allerdings auch ein Licht aufgegangen!!!
Nochmal zum Verständnis:
> Wenn ich also Reihen irgendwie auf mehrere Reihen aufteile,
> ist das keine Umordnung. Das man es trotzdem machen darf
> ohne was kaputt zu machen ist nich selbstverständlich, in
> unseren Beispielen folgte es wie gesagt aus den
> Rechenregeln für konv. Zahlenfolgen, aber wenn man es
> irgendwie anders aufgeteilt hätte, wär es vielleicht nicht
> gegangen. Wenn du ne absolut konvergente Reihe hast darfst
> du sie beliebig umordnen und (das war mir auch neu) auch
> beliebig aufteilen, sogar auf unendlich viele Reihen (finde
> erstmal ne Zerlegung der natürlichen Zahlen in unendlich
> viele, unendliche Mengen...)! Das heißt dann übrigens
> großer Umordnungssatz.
1)
Der großte Umordnungssatz bezieht sich aber lediglich auf Umordnungen, wie es der Name schon sagt.
2)
Jetzt nur mal das Aufteilen einer Reihe betrachtet...man kann also kollektiv und immer sagen: Eine Aufteilung einer Reihe hat denselben Reihenwert, genau dann, wenn die aufgteilten Reihen je konvergieren. (siehe Rechengesetze für konvergente Zahlenfolgen)
Bei Aufteilungen muss man also nicht unbedingt wissen, ob die Reihe absolut konvergent ist. Es reicht die eben genannte Bedingung zu zeigen.
Was aber wäre ein Beispiel, wo sich der Reihenwert ändert nach einer Aufteilung?
Etwa, wenn eine oder beide der aufteteilten Reihen divergieren??
also:
absolut konvergent [mm] \Rightarrow [/mm] Reihe beliebig aufteilbar UND umordenbar ohne dass sich Reihenwert ändert
Aufteilung einer Reihe [mm] \Rightarrow [/mm] Reihenwert ändert sich nicht, wenn aufgeteilte Reihen konvergieren
Ferner bedeutet Summierbarkeit von Familien (entspricht eigentlich Folgen) doch gleich absolute Konvergenz, richtig?
Ja! Tatsächlich ein sehr informativer thread!
Gruß,
Tobi
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:50 Fr 21.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
einfachstes Beispiel von nicht umordenbar:
[mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] umordnen (in Paare zusammenfassen ergibt [mm] \summe_{i=1}^{\infty}0=0
[/mm]
die erste Summe konvergiert nicht (oszillieren zw. -1, 0,+1
Gruss leduart
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| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:08 Sa 22.03.2008 | | Autor: | tobbeu |
deine Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1)^i [/mm] ist ja ausgeschrieben = (-1)+1+(-1)+1+(-1)+1+(-1)
In was genau teilst du diese auf??
Wäre es nicht auch möglich sie aufzuteilen in [mm] \summe_{i=1}^{\infty}(-1) [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{\infty}1 [/mm] ??
Beide Reihen divergieren einmal gegen [mm] -\infty [/mm] und einmal gegen [mm] +\infty
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:35 Sa 22.03.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
um 0 rauszukriegen fasse ich immer 2 aufeinanderfolgende zusammen, Deine methode ist auch "richtig und genausowenig zulässig. es sollte ja ein Bsp. sein, wo man nicht umsummieren kann.
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 01:43 Sa 22.03.2008 | | Autor: | pelzig |
> Was aber wäre ein Beispiel, wo sich der Reihenwert ändert
> nach einer Aufteilung?
> Etwa, wenn eine oder beide der aufteteilten Reihen
> divergieren??
Ein zugegebenermaßen recht sinnloses Beispiel ^^
[mm] $$0=\sum_{k=0}^\infty0=\sum_{k=0}^\infty1-1\ne\sum_{k=0}^\infty1-\sum_{k=0}^\infty1$$
[/mm]
> Ferner bedeutet Summierbarkeit von Familien (entspricht
> eigentlich Folgen) doch gleich absolute Konvergenz,
> richtig?
Versteh ich nich...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:41 Mi 26.03.2008 | | Autor: | Merle23 |
> > Was aber wäre ein Beispiel, wo sich der Reihenwert ändert
> > nach einer Aufteilung?
> > Etwa, wenn eine oder beide der aufteteilten Reihen
> > divergieren??
>
> Ein zugegebenermaßen recht sinnloses Beispiel ^^
>
> [mm]0=\sum_{k=0}^\infty0=\sum_{k=0}^\infty1-1\ne\sum_{k=0}^\infty1-\sum_{k=0}^\infty1[/mm]
>
Der Reihenwert kann sich nicht nach einer Aufteilung ändern, denn um den neuen Reihenwert zu berechnen müssten ja nach der Aufteilung beide entstandenen Reihen immer noch konvergieren, dann aber kommt ja der Satz zum Tragen, dass man problemlos aufteilen kann wenn die entstehenden Reihen konvergieren.
Das obige Beispiel zeigt das einzige was passieren kann - dass nämlich nachm Aufteilen mindestens eine Reihe divergiert.
> > Ferner bedeutet Summierbarkeit von Familien (entspricht
> > eigentlich Folgen) doch gleich absolute Konvergenz,
> > richtig?
>
> Versteh ich nich...
Eine Familie ist per Definition genau dann summierbar, wenn bei jeder möglichen Anordnung der Summanden derselbe Wert rauskommt (denn jede andere Definition wäre unsinnig) - und das ist äquivalent zur absoluten Konvergenz.
Noch kurz was zu dem Beispiel weiter oben, bei dem die oszillierende Reihe [mm] (-1)^i [/mm] zusammengefasst wurde zu jeweils Null. Hierbei handelt es sich weder um eine Umordnung (denn es 'verschwinden' ja Summanden anstatt nur ihre Reihenfolge zu ändern) noch um eine Aufteilung (denn es werden ja nicht zwei Reihen draus), sondern um eine unendlich-fache Anwendung des Assoziativgesetzes (indem man immer zwei Aufeinanderfolgende Summanden zusammenfasst).
Das wird aber meist auch als 'Umordnung' bezeichnet, da dafür dieselben Gesetze gelten, denn es ist nämlich auch eine der Aussagen des großen Umordnungssatzes - bei absolut konvergenten Reihen ändert sich nix am Wert aber bei 'nur' normal konvergenten Reihen kann alles mögliche passieren.
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