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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:50 Do 23.10.2008 | | Autor: | Merinja |
| Aufgabe | Es sei P die Menge aller Primzahlen und N die Menge aller natürlichen Zahlen.
1. Beweisen sie, dass es keine größte Primzahl gibt.
2. Benutzen sie die letzte Aussage, um die folgende Behauptung zu beweisen:
∀n∈N ∃p∈P (p > n) . |
Hallo zusammen,
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe ein Mathematikstudium angefangen, um später an Gymnasien unterrichten zu können.
Leider sind fast keine Vorkenntnisse aus meiner Schulzeit vorhanden, so dass mir das Lösen der Übungsaufgaben sehr schwer fällt.
Schon bei der ersten Aufgabe habe ich überhaupt keine Ahnung wie man so etwas überhaupt ansetzt.
Ich würde mich sehr freuen, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.
Was ich weiß:
Angenommen es gäbe eine größte Primzahl, dann gibt es auch eine endliche Menge von Primzahlen.
Alle Primzahlen > 2 haben die Form 2k+1
und das war's auch schon!
Kann mir jemand erklären warum es deshalb keine größte Primzahl geben kann?
Und was ist ein Primteiler?
Grüße, Merinja
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:56 Do 23.10.2008 | | Autor: | Brazzo |
Hallo,
zu 1) bietet sich ein Widerspruchsbeweis an. Man nimmt also an, dass es eine größte Primzahl gibt und leitet daraus einen Widerspruch ab.
Also angenommen, es gäbe eine größte. Dann ist P offenbar endlich, d.h. [mm] P=\{p_1,...,p_k\}. [/mm] Betrachte nun [mm] n=p_1 p_2\cdots p_k+1. [/mm] Diese Zahl muss einen Primteiler p (das ist einfach ein Teiler, der eine Primzahl ist) haben (ich hoffe, du darfst voraussetzen, dass jede natürliche Zahl [mm] n\geq2 [/mm] eine Primfaktorzerlegung hat), also ist n=pa, mit a [mm] \in \mathbb{N}. [/mm] Wegen der Endlichkeit von P muss p also eines der [mm] p_1,\ldots,p_k [/mm] sein, z.B. [mm] p_1 [/mm] (es ist egal, welchen man wählt, da man auch einfach umnummerieren kann).
Daraus kannst du leicht einen Widerspruch herleiten, da du so zeigen kannst, dass 1 durch p teilbar wäre, was aber nicht sein kann. Diesen letzten Schritt überlasse ich mal dir.
2) Hier muss ich zugeben, dass die Aussage fast zu offensichtlich ist, um sie überhaupt zu beweisen. Außerdem weiß ich nicht, was du genau voraussetzen darfst. Aber ich versuch's mal so elementar we möglich.
Da P unendlich ist, gibt es zu jedem p [mm] \in [/mm] P ein p' [mm] \in [/mm] P mit p'>p.
Die Aussage würde ich dann mit vollständiger Induktion beweisen.
Für n=1 erfüllt u.a. p=2 die Aussage.
Sei die Aussage also wahr für beliebiges n, d.h. [mm] \exists [/mm] p [mm] \in [/mm] P mit p>n.
Für n+1 kann nun folgendes eintreten:
a) n+1=p, dann existiert aber eine Primzahl p'>p und damit ist p'>n+1 die gesuchte Zahl
b) n+1 < p, dann ist p selbst die gesuchte Zahl
(n+1>p kann nicht eintreten)
Das dürfte dann eigentlich schon reichen.
Ich hoffe, das konnte dir weiterhelfen.
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