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Hallo,
ich verzweifel nun schon seit dem Wochenende an folgender Aufgabe:
Betrachtet wird ein ungedämpftes Pendel mit Federkonstante k. Der Körper besitzt die Masse m und die Auslenkung wird mit x bezeichnet.
Die zeitliche Entwicklung wird dabei durch die Gleichung x'' = [mm] -w^2 [/mm] x beschrieben (w>0 ist die Resonanzfrequenz; [mm] w^2 [/mm] = [mm] \bruch{k}{m}.
[/mm]
Nun sollte ich zunächst zeigen, dass für alle [mm] c=(c_1, c_2) \in \IR^2 [/mm] die Fkt. [mm] x_c(t) [/mm] = [mm] c_1 [/mm] cos(wt) + [mm] c_2 [/mm] sin(wt) eine Lösung der Differentialgleichung ist.
Diesen Teil habe ich denke ich auch noch soweit hinbekommen. Also ich habe zunächst die ersten zwei Ableitungen bestimmt
[mm] x_c'= -c_1 [/mm] w sin(wt) + [mm] c_2 [/mm] w cos(wt)
[mm] x_c'' [/mm] = [mm] -c_1 w^2 [/mm] cos(wt) - [mm] c_2 w^2 [/mm] sin(wt) = [mm] -w^2 \underbrace{(c_1 cos(wt) + c_2 sin(wt) )}_{=x_c (t)}
[/mm]
Oder habe ich dabei irgendetwas falsch gemacht bzw. irgendwas wichtiges vergessen?
Probleme bereitet mit jedoch der zweite Teil der Aufgabe und zwar soll ich zeigen, dass die gegebene Differentialgleichung mit den Anfangswerten [mm] x(t_0)=x_0 [/mm] und [mm] x'(t_0)=x_1 [/mm] eine eindeutige Lösung auf [mm] \IR [/mm] besitzt.
Ich darf dabei jedoch nicht den folgenden Satz benutzen:
" Es sei J [mm] \subset \IR [/mm] ein nicht entartetes Intervall, G=J x [mm] \IR^n [/mm] und f: G [mm] \to \IR^n [/mm] sei stetig und genüge einer Lipschitz-Bedingung auf G mit Konstante L > 0. Dann hat für alle (a,b) [mm] \in [/mm] G das Anfangswertproblem y'= f(x,y), y(a)=b eine eindeutige Lösung, die auf ganz J existiert."
Was ich bisher als Tipp bekommen habe, ist, zwei Lösungen des AWP zu betrachten ( ich bezeichne sie mal als x und [mm] \overline{x}) [/mm] und mir dann die Funktion X=x - [mm] \overline{x} [/mm] anzugucken und dann zu zeigen, dass [mm] w^2 X^2 [/mm] + [mm] (X')^2 [/mm] konstant Null ist. Leider hilft mir dieser Tipp aber auch nicht so wirklich weiter...
Kann mir jemand bei diesem Aufgabenteil weiterhelfen?
Vielen Dank schon mal!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:16 Di 23.04.2013 | | Autor: | notinX |
Hallo,
> Hallo,
>
> ich verzweifel nun schon seit dem Wochenende an folgender
> Aufgabe:
>
> Betrachtet wird ein ungedämpftes Pendel mit Federkonstante
> k. Der Körper besitzt die Masse m und die Auslenkung wird
> mit x bezeichnet.
> Die zeitliche Entwicklung wird dabei durch die Gleichung
> x'' = [mm]-w^2[/mm] x beschrieben (w>0 ist die Resonanzfrequenz; [mm]w^2[/mm]
> = [mm]\bruch{k}{m}.[/mm]
>
> Nun sollte ich zunächst zeigen, dass für alle [mm]c=(c_1, c_2) \in \IR^2[/mm]
> die Fkt. [mm]x_c(t)[/mm] = [mm]c_1[/mm] cos(wt) + [mm]c_2[/mm] sin(wt) eine Lösung
> der Differentialgleichung ist.
> Diesen Teil habe ich denke ich auch noch soweit
> hinbekommen. Also ich habe zunächst die ersten zwei
> Ableitungen bestimmt
> [mm]x_c'= -c_1[/mm] w sin(wt) + [mm]c_2[/mm] w cos(wt)
> [mm]x_c''[/mm] = [mm]-c_1 w^2[/mm] cos(wt) - [mm]c_2 w^2[/mm] sin(wt) = [mm]-w^2 \underbrace{(c_1 cos(wt) + c_2 sin(wt) )}_{=x_c (t)}[/mm]
>
> Oder habe ich dabei irgendetwas falsch gemacht bzw.
> irgendwas wichtiges vergessen?
Nein, das sieht so gut aus.
>
> Probleme bereitet mit jedoch der zweite Teil der Aufgabe
> und zwar soll ich zeigen, dass die gegebene
> Differentialgleichung mit den Anfangswerten [mm]x(t_0)=x_0[/mm] und
> [mm]x'(t_0)=x_1[/mm] eine eindeutige Lösung auf [mm]\IR[/mm] besitzt.
> Ich darf dabei jedoch nicht den folgenden Satz benutzen:
> " Es sei J [mm]\subset \IR[/mm] ein nicht entartetes Intervall, G=J
> x [mm]\IR^n[/mm] und f: G [mm]\to \IR^n[/mm] sei stetig und genüge einer
> Lipschitz-Bedingung auf G mit Konstante L > 0. Dann hat
> für alle (a,b) [mm]\in[/mm] G das Anfangswertproblem y'= f(x,y),
> y(a)=b eine eindeutige Lösung, die auf ganz J existiert."
>
> Was ich bisher als Tipp bekommen habe, ist, zwei Lösungen
> des AWP zu betrachten ( ich bezeichne sie mal als x und
> [mm]\overline{x})[/mm] und mir dann die Funktion X=x - [mm]\overline{x}[/mm]
> anzugucken und dann zu zeigen, dass [mm]w^2 X^2[/mm] + [mm](X')^2[/mm]
> konstant Null ist. Leider hilft mir dieser Tipp aber auch
> nicht so wirklich weiter...
Ja, das geht in die richtigte Richtung.
Ich helf Dir mal ein bisschen:
Seien $x(t)$ und $y(t)$ zwei Lösungen der DGL mit denselben Anfangsbedingungen, also:
[mm] $x(t_0)=x_0$, $\dot x(t_0)=x_1$
[/mm]
[mm] $y(t_0)=x_0$, $\dot y(t_0)=x_1$
[/mm]
Nun definieren wir $z(t):=x(t)-y(t)$ daraus folgt sofort: [mm] $z(t_0)=\dot z(t_0)=0$
[/mm]
Da die DGL linear ist, ist auch z ein Lösung von:
[mm] $\ddot z+\omega^2z=0$ [/mm] (I)
Bis hierhin wirst Du mir vermutlich ohne Zögern zustimmen. Jetzt kommt der Trick: Multipliziere Gleichung (I) mit [mm] $2\dot [/mm] z$
[mm] $2\dot z\ddot z+\omega^22z\dot [/mm] z=0$
Das kann man umschreiben:
[mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2}=0$
[/mm]
Jetzt bist Du wieder dran. Schau mal, ob Du damit was anfangen kannst.
>
> Kann mir jemand bei diesem Aufgabenteil weiterhelfen?
>
> Vielen Dank schon mal!
>
Gruß,
notinX
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Hallo notinX,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
> Hallo,
>
> > Hallo,
> >
> > ich verzweifel nun schon seit dem Wochenende an folgender
> > Aufgabe:
> >
> > Betrachtet wird ein ungedämpftes Pendel mit Federkonstante
> > k. Der Körper besitzt die Masse m und die Auslenkung wird
> > mit x bezeichnet.
> > Die zeitliche Entwicklung wird dabei durch die
> Gleichung
> > x'' = [mm]-w^2[/mm] x beschrieben (w>0 ist die Resonanzfrequenz; [mm]w^2[/mm]
> > = [mm]\bruch{k}{m}.[/mm]
> >
> > Nun sollte ich zunächst zeigen, dass für alle [mm]c=(c_1, c_2) \in \IR^2[/mm]
> > die Fkt. [mm]x_c(t)[/mm] = [mm]c_1[/mm] cos(wt) + [mm]c_2[/mm] sin(wt) eine Lösung
> > der Differentialgleichung ist.
> > Diesen Teil habe ich denke ich auch noch soweit
> > hinbekommen. Also ich habe zunächst die ersten zwei
> > Ableitungen bestimmt
> > [mm]x_c'= -c_1[/mm] w sin(wt) + [mm]c_2[/mm] w cos(wt)
> > [mm]x_c''[/mm] = [mm]-c_1 w^2[/mm] cos(wt) - [mm]c_2 w^2[/mm] sin(wt) = [mm]-w^2 \underbrace{(c_1 cos(wt) + c_2 sin(wt) )}_{=x_c (t)}[/mm]
>
> >
> > Oder habe ich dabei irgendetwas falsch gemacht bzw.
> > irgendwas wichtiges vergessen?
>
> Nein, das sieht so gut aus.
Super, danke :)
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> > Probleme bereitet mit jedoch der zweite Teil der Aufgabe
> > und zwar soll ich zeigen, dass die gegebene
> > Differentialgleichung mit den Anfangswerten [mm]x(t_0)=x_0[/mm] und
> > [mm]x'(t_0)=x_1[/mm] eine eindeutige Lösung auf [mm]\IR[/mm] besitzt.
> > Ich darf dabei jedoch nicht den folgenden Satz
> benutzen:
> > " Es sei J [mm]\subset \IR[/mm] ein nicht entartetes Intervall,
> G=J
> > x [mm]\IR^n[/mm] und f: G [mm]\to \IR^n[/mm] sei stetig und genüge einer
> > Lipschitz-Bedingung auf G mit Konstante L > 0. Dann hat
> > für alle (a,b) [mm]\in[/mm] G das Anfangswertproblem y'= f(x,y),
> > y(a)=b eine eindeutige Lösung, die auf ganz J existiert."
> >
> > Was ich bisher als Tipp bekommen habe, ist, zwei Lösungen
> > des AWP zu betrachten ( ich bezeichne sie mal als x und
> > [mm]\overline{x})[/mm] und mir dann die Funktion X=x - [mm]\overline{x}[/mm]
> > anzugucken und dann zu zeigen, dass [mm]w^2 X^2[/mm] + [mm](X')^2[/mm]
> > konstant Null ist. Leider hilft mir dieser Tipp aber auch
> > nicht so wirklich weiter...
>
> Ja, das geht in die richtigte Richtung.
> Ich helf Dir mal ein bisschen:
> Seien [mm]x(t)[/mm] und [mm]y(t)[/mm] zwei Lösungen der DGL mit denselben
> Anfangsbedingungen, also:
> [mm]x(t_0)=x_0[/mm], [mm]\dot x(t_0)=x_1[/mm]
> [mm]y(t_0)=x_0[/mm], [mm]\dot y(t_0)=x_1[/mm]
>
> Nun definieren wir [mm]z(t):=x(t)-y(t)[/mm] daraus folgt sofort:
> [mm]z(t_0)=\dot z(t_0)=0[/mm]
> Da die DGL linear ist, ist auch z ein
> Lösung von:
> [mm]\ddot z+\omega^2z=0[/mm] (I)
> Bis hierhin wirst Du mir vermutlich ohne Zögern
> zustimmen.
Bis hierhin versteh ich das soweit denke ich!
> Jetzt kommt der Trick: Multipliziere Gleichung
> (I) mit [mm]2\dot z[/mm]
> [mm]2\dot z\ddot z+\omega^22z\dot z=0[/mm]
> Das
> kann man umschreiben:
>
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2}=0[/mm]
Den Schritt des Umschreibens versteh ich noch nicht so hundertprozentig. Wie genau komme ich darauf?
[mm] \ddot{z} [/mm] ist doch im Grunde [mm] \bruch{d}{dt} \dot{z}, [/mm] oder?
Ich verstehe daher nicht so ganz wohin die 2 nach dem Umschreiben verschwindet...?
>
> Jetzt bist Du wieder dran. Schau mal, ob Du damit was
> anfangen kannst.
Ich bin mir noch nicht ganz sicher ob bzw. was ich damit anfangen kann. Aber ich versuchs mal! Also durch das umschreiben kann ich ja nun sehen, dass [mm] \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2} [/mm] genau dann Null wird, wenn
[mm] \dot z^2 [/mm] = 0 ist und [mm] z^2 [/mm] = 0 ist, da w ja laut Aufgabenstellung >0.
Und z ist ja genau dann null, wenn x=y, die Lösung der DGL also eindeutig ist.
Habe ich das so richtig verstanden?
>
> >
> > Kann mir jemand bei diesem Aufgabenteil weiterhelfen?
> >
> > Vielen Dank schon mal!
> >
>
> Gruß,
>
> notinX
Liebe Grüße,
Isabelle
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 17:50 Mi 24.04.2013 | | Autor: | notinX |
> Bis hierhin versteh ich das soweit denke ich!
>
> > Jetzt kommt der Trick: Multipliziere Gleichung
> > (I) mit [mm]2\dot z[/mm]
> > [mm]2\dot z\ddot z+\omega^22z\dot z=0[/mm]
> >
> Das
> > kann man umschreiben:
> >
> >
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2}=0[/mm]
>
> Den Schritt des Umschreibens versteh ich noch nicht so
> hundertprozentig. Wie genau komme ich darauf?
Entweder grübelt man ziemlich lange herum und findet es dann raus oder man hat es schonmal gesehen.
> [mm]\ddot{z}[/mm] ist doch im Grunde [mm]\bruch{d}{dt} \dot{z},[/mm] oder?
Das stimmt, bringt uns aber nicht weiter.
> Ich verstehe daher nicht so ganz wohin die 2 nach dem
> Umschreiben verschwindet...?
Die verschwindet im Exponent. Im Prinzip macht man sowas ähnliches wie eine Integration. Man kennt die Stammfunktion von $ [mm] 2\dot z\ddot [/mm] z$ und schreibt stattdessen [mm] $\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}$ [/mm] hin. Durch Ableiten unter Beachtung der Kettenregel kannst Du Dich davon überzeugn, dass es stimmt.
>
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> >
> > Jetzt bist Du wieder dran. Schau mal, ob Du damit was
> > anfangen kannst.
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> Ich bin mir noch nicht ganz sicher ob bzw. was ich damit
> anfangen kann. Aber ich versuchs mal! Also durch das
> umschreiben kann ich ja nun sehen, dass
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2}[/mm]
> genau dann Null wird, wenn
> [mm]\dot z^2[/mm] = 0 ist und [mm]z^2[/mm] = 0 ist, da w ja laut
> Aufgabenstellung >0.
> Und z ist ja genau dann null, wenn x=y, die Lösung der
> DGL also eindeutig ist.
> Habe ich das so richtig verstanden?
Die Argumentation geht in die richtige Richtung, ich bin mir aber gerade nicht sicher ob nicht noch ein Schritt fehlt. Ich würde noch integrieren von 0 bis zu einer Zeit [mm] $\tau$. [/mm] Also:
[mm] $\int_{0}^{\tau}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2}\right)\,\mathrm{d}t=\dot{z}^{2}(\tau)+\omega^{2}z^{2}(\tau)=0$
[/mm]
Und diese Gleichung ist nur identisch erfüllt wenn [mm] $z=\dot [/mm] z=0$ gilt.
Da ich mir nicht sicher bin, ob der letzte Schritt nötig ist lass ich mal halboffen.
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> >
> > >
> > > Kann mir jemand bei diesem Aufgabenteil weiterhelfen?
> > >
> > > Vielen Dank schon mal!
> > >
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
>
> Liebe Grüße,
> Isabelle
>
Gruß,
notinX
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Vielen Dank, die Antworten haben mir sehr weiter geholfen!
Damit hätte ich ja nun die Eindeutigkeit gezeigt. Müsste ich genaugenommen noch die Existenz zeigen? Eigentlich nicht, oder? Das habe ich ja im Grunde schon mit dem ersten Teil getan, oder?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:45 Fr 26.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Vielen Dank, die Antworten haben mir sehr weiter geholfen!
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> Damit hätte ich ja nun die Eindeutigkeit gezeigt. Müsste
> ich genaugenommen noch die Existenz zeigen? Eigentlich
> nicht, oder? Das habe ich ja im Grunde schon mit dem ersten
> Teil getan, oder?
Ja
FRED
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:14 Do 25.04.2013 | | Autor: | fred97 |
> Hallo notinX,
>
> vielen Dank für deine schnelle Antwort!
>
> > Hallo,
> >
> > > Hallo,
> > >
> > > ich verzweifel nun schon seit dem Wochenende an folgender
> > > Aufgabe:
> > >
> > > Betrachtet wird ein ungedämpftes Pendel mit Federkonstante
> > > k. Der Körper besitzt die Masse m und die Auslenkung wird
> > > mit x bezeichnet.
> > > Die zeitliche Entwicklung wird dabei durch die
> > Gleichung
> > > x'' = [mm]-w^2[/mm] x beschrieben (w>0 ist die Resonanzfrequenz; [mm]w^2[/mm]
> > > = [mm]\bruch{k}{m}.[/mm]
> > >
> > > Nun sollte ich zunächst zeigen, dass für alle [mm]c=(c_1, c_2) \in \IR^2[/mm]
> > > die Fkt. [mm]x_c(t)[/mm] = [mm]c_1[/mm] cos(wt) + [mm]c_2[/mm] sin(wt) eine Lösung
> > > der Differentialgleichung ist.
> > > Diesen Teil habe ich denke ich auch noch soweit
> > > hinbekommen. Also ich habe zunächst die ersten zwei
> > > Ableitungen bestimmt
> > > [mm]x_c'= -c_1[/mm] w sin(wt) + [mm]c_2[/mm] w cos(wt)
> > > [mm]x_c''[/mm] = [mm]-c_1 w^2[/mm] cos(wt) - [mm]c_2 w^2[/mm] sin(wt) = [mm]-w^2 \underbrace{(c_1 cos(wt) + c_2 sin(wt) )}_{=x_c (t)}[/mm]
>
> >
> > >
> > > Oder habe ich dabei irgendetwas falsch gemacht bzw.
> > > irgendwas wichtiges vergessen?
> >
> > Nein, das sieht so gut aus.
>
> Super, danke :)
>
> >
> > >
> > > Probleme bereitet mit jedoch der zweite Teil der Aufgabe
> > > und zwar soll ich zeigen, dass die gegebene
> > > Differentialgleichung mit den Anfangswerten [mm]x(t_0)=x_0[/mm] und
> > > [mm]x'(t_0)=x_1[/mm] eine eindeutige Lösung auf [mm]\IR[/mm] besitzt.
> > > Ich darf dabei jedoch nicht den folgenden Satz
> > benutzen:
> > > " Es sei J [mm]\subset \IR[/mm] ein nicht entartetes
> Intervall,
> > G=J
> > > x [mm]\IR^n[/mm] und f: G [mm]\to \IR^n[/mm] sei stetig und genüge einer
> > > Lipschitz-Bedingung auf G mit Konstante L > 0. Dann hat
> > > für alle (a,b) [mm]\in[/mm] G das Anfangswertproblem y'= f(x,y),
> > > y(a)=b eine eindeutige Lösung, die auf ganz J existiert."
> > >
> > > Was ich bisher als Tipp bekommen habe, ist, zwei Lösungen
> > > des AWP zu betrachten ( ich bezeichne sie mal als x und
> > > [mm]\overline{x})[/mm] und mir dann die Funktion X=x - [mm]\overline{x}[/mm]
> > > anzugucken und dann zu zeigen, dass [mm]w^2 X^2[/mm] + [mm](X')^2[/mm]
> > > konstant Null ist. Leider hilft mir dieser Tipp aber auch
> > > nicht so wirklich weiter...
> >
> > Ja, das geht in die richtigte Richtung.
> > Ich helf Dir mal ein bisschen:
> > Seien [mm]x(t)[/mm] und [mm]y(t)[/mm] zwei Lösungen der DGL mit
> denselben
> > Anfangsbedingungen, also:
> > [mm]x(t_0)=x_0[/mm], [mm]\dot x(t_0)=x_1[/mm]
> > [mm]y(t_0)=x_0[/mm], [mm]\dot y(t_0)=x_1[/mm]
>
> >
> > Nun definieren wir [mm]z(t):=x(t)-y(t)[/mm] daraus folgt sofort:
> > [mm]z(t_0)=\dot z(t_0)=0[/mm]
> > Da die DGL linear ist, ist auch
> z ein
> > Lösung von:
> > [mm]\ddot z+\omega^2z=0[/mm] (I)
> > Bis hierhin wirst Du mir vermutlich ohne Zögern
> > zustimmen.
>
> Bis hierhin versteh ich das soweit denke ich!
>
> > Jetzt kommt der Trick: Multipliziere Gleichung
> > (I) mit [mm]2\dot z[/mm]
> > [mm]2\dot z\ddot z+\omega^22z\dot z=0[/mm]
> >
> Das
> > kann man umschreiben:
> >
> >
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2}=0[/mm]
>
> Den Schritt des Umschreibens versteh ich noch nicht so
> hundertprozentig. Wie genau komme ich darauf?
> [mm]\ddot{z}[/mm] ist doch im Grunde [mm]\bruch{d}{dt} \dot{z},[/mm] oder?
> Ich verstehe daher nicht so ganz wohin die 2 nach dem
> Umschreiben verschwindet...?
Allgemein: ist f eine differenzierbare Funktion , so auch [mm] f^2. [/mm] Mit der Kettenregel ist
$ ( [mm] f^2)'= [/mm] 2*f*f'$
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> > Jetzt bist Du wieder dran. Schau mal, ob Du damit was
> > anfangen kannst.
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> Ich bin mir noch nicht ganz sicher ob bzw. was ich damit
> anfangen kann. Aber ich versuchs mal! Also durch das
> umschreiben kann ich ja nun sehen, dass
> [mm]\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\dot{z}^{2}+\omega^{2}\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}z^{2}[/mm]
> genau dann Null wird, wenn
> [mm]\dot z^2[/mm] = 0 ist und [mm]z^2[/mm] = 0 ist, da w ja laut
> Aufgabenstellung >0.
> Und z ist ja genau dann null, wenn x=y, die Lösung der
> DGL also eindeutig ist.
> Habe ich das so richtig verstanden?
Ganz so einfach ist es nicht
Wir setzen [mm] v(t)=\dot z^2(t)+w^2*z(t)^2
[/mm]
und wissen $v'(t)=0 $ für alle t. Damit ist v konstant. Wegen [mm] v(t_0)=0 [/mm] , ist v konstant =0, damit ist z=0
FRED
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> > >
> > > Kann mir jemand bei diesem Aufgabenteil weiterhelfen?
> > >
> > > Vielen Dank schon mal!
> > >
> >
> > Gruß,
> >
> > notinX
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> Liebe Grüße,
> Isabelle
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:40 Fr 26.04.2013 | | Autor: | Isabelle90 |
Vielen Dank! Die Antworten haben mir sehr weitergeholfen!
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