unitäre Vektorräume < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 10:03 Do 08.07.2004 | | Autor: | Markus |
Hallo
Komme bei folgender Aufgabe leider nicht weiter:
Es seien (V,f),(W,g) unitäre Vektorräume endlicher Dimension. Auf V [mm] \otimes [/mm] W werde durch
[mm] F(x_{1} \otimes y_{1}, x_{2} \otimes y_{2}):= f(x_{1}, x_{2})g(y_{1},y_{2})
[/mm]
für zerfallende Tensoren eine Abbildung in [mm] \IC [/mm] definiert. Zeigen Sie, dass sich F zu einem unitären Skalarprodukt auf ganz V [mm] \otimes [/mm] W fortsetzen lässt.
Wäre toll, wenn mir jemand helfen könnte.
Ich habe diese Frage in keinem weiteren Forum gestellt.
Gruß Markus
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:21 Do 08.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Markus!
Wenn ich eine auf $(V [mm] \otimes [/mm] W) [mm] \times [/mm] (V [mm] \otimes [/mm] W)$ definierte Abbildung auf Basiselementen vorgebe, ist klar, dass ich sie sesquilinear fortsetzen kann:
Einfach mittels:
[mm] $\bar{F} \left(\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i ( x_1^{(i)} \otimes y_1^{(i)}) , \sum\limits_{j=1}^m \mu_i ( x_2^{(j)} \otimes y_2^{(j)}) \right) [/mm] = [mm] \sum\limits_{i=1}^n \sum\limits_{j=1}^m \lambda_i \overline{\mu_j} [/mm] F( [mm] x_1^{(i)} \otimes y_1^{(i)}, x_2^{(j)} \otimes y_2^{(j)})$,
[/mm]
Dann ist ja [mm] $\bar{F}$ [/mm] nach Konstruktion eine Sesquilinearform auf $V [mm] \otimes [/mm] W$.
Zu zeigen bleibt, dass es sich um ein unitäres Skalarprodukt handelt (siehe SirJectives Antwort), also die Symmetrie (bis auf Konjugiertheit) und die positive Definitheit
Liebe Grüße
Julius
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Hallo Markus.
Soweit ich das sehe, hat julius richtig gerechnet. Er benutzt nur die Definition von F auf einer Basis von V [mm] \otimes [/mm] W, du musst also noch zeigen, dass sein [mm] \bar{F} [/mm] tatsächlich eine Fortsetzung ist. Die Bilinearität ist klar nach Konstruktion. Die Symmetrie folgt aus der Symmetrie von f und g. Fehlt noch die positive Definitheit zu zeigen.
Gruss,
SirJective
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:43 Fr 09.07.2004 | | Autor: | Julius |
Hallo Markus!
Da es aufgrund meiner zahlreichen Verbesserungen in meinem Beitrag zu Konfusionen gekommen sein könnte, hier noch einmal alles im Blick:
Sesquilinearität (nicht: Bilinearität)
folgt nach Konstruktion
hermitesch (nicht: symmetrisch)
Da $f$ und $g$ hermitesch sind, ist offenbar auch $F$ hermitesch, d.h. es gilt:
$F(a,b) = [mm] \overline{F(b,a)}$
[/mm]
für alle $a,b [mm] \in [/mm] V [mm] \otimes [/mm] W$.
positiv definit
ist noch zu zeigen
Liebe Grüße
Julius
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