unitäre und orthogonale Gruppe < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Mi 25.04.2007 | | Autor: | verkackt |
| Aufgabe | Man zeige:
1.Jede Matrix X [mm] \in M_{n}(\IC) [/mm] lässt sich eindeutig schreiben als X=A +iB, mit A,B [mm] \in M_{n}(\IR) [/mm]
2. Mit A,B aus Teil 1). Sei X [mm] \in U_{n}, [/mm] dann ist [mm] \phi (X):=\pmat{ A & -B \\ B & A } \in O_{2n}
[/mm]
[mm] 3.\phi [/mm] definiert einen injektiven Gruppenhomomorphismus von [mm] U_{n} [/mm] nach [mm] O_{2n} [/mm] |
Hallo Leute,
Ich hab diese Aufgabe schon gemacht, allerdings bin ich mir an manchen Stellen nicht so ganz sicher.
Zu 1.Hier hab ich nur geschrieben, dass mit Hilfe von Matrizenaddition und Skalarmultiplikation mit einer Matrix man sagen kann, dass X=A+iB, denn
[mm] x_{i,j}= a_{i,j}+b_{i,j}.
[/mm]
Und zur Eindeutigkeit hab ich X als addition von zwei anderen Matrizen geschrieben, dann gilt: [mm] 0=X-X=A+iB-(C+iD)=a_{i,j}+b_{i,j}- (c_{i,j}+d_{i,j}) \Rightarrow a_{i,j}=c_{i,j}und b_{i,j}=d_{i,j} [/mm]
Kann man das so schreiben?
Zu 2. Hier hab ich X [mm] \in U_{n} [/mm] benutz und gezeigt, dass [mm] AA^{t}+BB^{t}=Einheitsmatrix
[/mm]
dann hab ich [mm] \phi (X)*\phi (X^{t}) [/mm] gemacht,wobei ich mir nicht sicher bin, wie [mm] \phi (X^{t}) [/mm] aussehen soll!!!!
vielleicht [mm] so:\pmat{A & B \\ -B & A } [/mm] oder [mm] \pmat{A^{t} & B ^{t}\\ -B^{t} & A ^{t}} [/mm] ?????Hilfe!!!!
Zu 3. Hierzu hab ich [mm] \phi [/mm] ( [mm] \lambda [/mm] X )= [mm] \lambda\phi [/mm] (X) und [mm] \phi (X)+\phi (Y)=\phi [/mm] (X+Y) gezeigt. Soll ich jetzt auch noch Zeigen, dass [mm] \phi (X)*\phi (Y)=\phi [/mm] (X*Y) ???
Und zur Injektivität hab ich nur gezeigt ,dass [mm] \phi [/mm] (X)Dann =0 ist ,wenn X=0 [mm] \Rightarrow [/mm] Ker=0 [mm] \Rightarrow [/mm] injektiv
richtig??????
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Zu 2. Hier hab ich X [mm]\in U_{n}[/mm] benutz und gezeigt, dass
> [mm]AA^{t}+BB^{t}=Einheitsmatrix[/mm]
> dann hab ich [mm]\phi (X)*\phi (X^{t})[/mm] gemacht,wobei ich mir
> nicht sicher bin, wie [mm]\phi (X^{t})[/mm] aussehen soll!!!!
> vielleicht [mm]so:\pmat{A & B \\ -B & A }[/mm] oder [mm]\pmat{A^{t} & B ^{t}\\ -B^{t} & A ^{t}}[/mm]
Also das was du als zweites angegeben hast [mm]\pmat{A^{t} & B ^{t}\\ -B^{t} & A ^{t}}[/mm]
ist richtig. Hoffe du kammst weiter.
TottiIII
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:42 Mi 25.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Ja danke dir.Das hab ich auch dann bemerkt, weiß allerdings nicht , wie man es beweisen kann, dass die Matrix so aussehen soll?
Ich bin bei der Aufgabe irgendwo stehen geblieben.Weiß nich, wie ich zeigen soll, dass [mm] -A^{t}B+B^{t}A=-AB^{t}+BA^{t}
[/mm]
Ich hab schon gezeigt ,dass [mm] -AB^{t}+BA^{t}=0 [/mm] ist
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:23 Mi 25.04.2007 | | Autor: | verkackt |
Ich weiß schon.Das war wirklich ne doofe Frage!!!!!!!!!!
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 07:31 Do 26.04.2007 | | Autor: | felixf |
> Ich weiß schon.Das war wirklich ne doofe Frage!!!!!!!!!!
Da du anscheinend selber gemerkt hast dass [mm] $0^t [/mm] = 0$ ist hab ich die Frage mal auf beantwortet gestellt :)
LG Felix
|
|
|
| |
|
hallo verkackt,
wie kommst du denn bei der 2. Aufgabe auf den Ansatz?
Liebe Grüße
tanzmaus
|
|
|
| |
|
Hallo Tanzmaus,
du musst ja zeigen, dass [mm] $^t\Phi(X)\Phi(X)=\mathbb{E}$ [/mm] ist.
Einfach mit der Darstellung von $X$ aus Aufgabe (a) aussrechnen
benutze auch, dass [mm] $X\in U_n$, [/mm] also [mm] $^t\overline{X}X=\mathbb{E}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Hallo verkackt,
zur (3):
also [mm] $U_n$ [/mm] und [mm] $O_{2n}$ [/mm] sind doch multilikative Gruppen,
du musst also nur zeigen, dass [mm] $\Phi(X\cdot{}Y)=\Phi(X)\cdot{}\Phi(Y)$ [/mm] gilt für beliebige [mm] $X,Y\in U_n$
[/mm]
Das mit dem [mm] \lambda [/mm] und + brauchste nicht
Noch'n Tipp: Erinnere dich, wie im letzten Semester die Multiplikation von Blockmatrizen erklärt wurde (2.Übung seinerzeit  )
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hallo!
wir haben ein großes Problem mit der 2 und 3 aufgabe.
bei der zweiten aufgabe haben wir als einträge in der blockmatix folgendes ergebnis:
[mm] AA^{t}+BB^{t} [/mm] als ersten eintrag.das muss ja die einheitsmatrix sein,aber warum ist das so? können das nicht daraus folgern.
und [mm] AB^{t}-BA^{t} [/mm] ist der [mm] x_{12} [/mm] eintrag.der muss ja null ergeben.doch auch hier können wir das nicht zeigen.
kann uns bitte jemand weiterhelfen??????
lg guido
|
|
|
| |
|
Hallo Peter,
hmm, ich erhalte als oberen linken Block $^tAA+^tBB$ und als unteren linken $^tAB-^tBA$
Was die Begründung angeht, so bedenke, dass [mm] $X\in U_n$ [/mm] , also [mm] $^t\overline{X}X=\mathbb{E}$
[/mm]
also mit [mm] $X=A+iB\Rightarrow ^t(\overline{A+iB})(A+iB)=\mathbb{E}\Rightarrow ^t(A-iB)(A+iB)=\mathbb{E}\Rightarrow (^tA-(^tiB))(A+iB)=\mathbb{E}\Rightarrow ^tAA+^tBB+i(^tAB-^tBA)=\mathbb{E}$
[/mm]
[mm] $\Rightarrow ^tAA+^tBB=\mathbb{E}\wedge ^tAB-^tBA=\mathbb{O}$ [/mm] wegen der Eind. der Matrixdarstellung
Hoffe, das hilft euch weiter
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
hey,
danke für deine antwort zu dieser späten stunde
haben alles soweit verstanden,nur leider immer noch nicht ganz warum das null ergibt. was besagt die eindeutigkeit der matrixdarstellung?
lg pete
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
also zwei Matrizen sind gleich, genau dann, wenn sie in [mm] \underline{jedem} [/mm] Eintrag übereinstimmen.
Hier haben wir [mm] $\left(^tAA+^tBB\right)+i\cdot{}\left(^tAB-^tBA\right)=\mathbb{E}$
[/mm]
da [mm] \mathbb{E} [/mm] nur Einsen auf der Diagonalen und sonst nur Nullen enthält, hat es insbesondere keine (rein) komlexen Einträge, also muss der ganze Käse hinter dem $i$ [mm] $=\mathbb{O}$ [/mm] sein.
Also ist [mm] $^tAA+^tBB+\mathbb{O}=^tAA+^tBB=\mathbb{E}$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
ach sooooooo!!!!!
jetzt haben wir das verstanden!
vielen dank!
gute nacht
lg peter
|
|
|
| |
|
Jau,
euch auch
Bis dann
schachuzipus
|
|
|
|
