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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 14:10 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
ich beschäftige mich mit dem Begriff " unterhalb halbstetig" und habe auch, denke ich die Definition verstanden, dennoch habe ich Probleme eine Bemerkung dazu nachzuvollziehen. Ich hoffe, dass mir jemand dabei behilflich sein kann.
DEFINITION:
Eine Funktion [mm] f : \mathbb R^n \to \mathbb R \cup \{ \infty \} [/mm] heißt
unterhalb halbstetig in [mm] \overline{x} [/mm], falls
[mm] \liminf_{ x \to \overline{x} } f(x) \ge f( \overline{x} ) \in \mathbb R \cup \{ \infty \} [/mm].
Wenn ich das richtig sehe, dann bedeutet dies, dass die Funktionswerte nicht nach unten springen für Punkte in einer Umgebung von x.
Richtig?
Dann kommt diese Bemerkung:
f ist unterhalb halbstetig
[mm] \Leftrightarrow \{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \ | \ y \ge f(x) \ ist \ abgeschlossen \ \}[/mm]
[mm] \Leftrightarrow \{ x \in \mathbb R^n \ | \ f(x) \le a \} [/mm] ist für jedes [mm] a \in \mathbb R [/mm] abgeschlossen
Ich versteh nicht die Äquivalenzen. Warum sind diese Mengen abgeschlossen? Und warum gilt denn bei der zweiten menge das für jedes a?
Schon mal vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:22 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
> Hallo alle zusammen!
>
> ich beschäftige mich mit dem Begriff " unterhalb
> halbstetig" und habe auch, denke ich die Definition
> verstanden, dennoch habe ich Probleme eine Bemerkung dazu
> nachzuvollziehen. Ich hoffe, dass mir jemand dabei
> behilflich sein kann.
>
> DEFINITION:
>
> Eine Funktion [mm]f : \mathbb R^n \to \mathbb R \cup \{ \infty \}[/mm]
> heißt
> unterhalb halbstetig in [mm]\overline{x} [/mm], falls
> [mm]\liminf_{ x \to \overline{x} } f(x) \ge f( \overline{x} ) \in \mathbb R \cup \{ \infty \} [/mm].
>
> Wenn ich das richtig sehe, dann bedeutet dies, dass die
> Funktionswerte nicht nach unten springen für Punkte in
> einer Umgebung von x [mm] $\blue{\overline{x}}$. [/mm]
> Richtig?
Ich denke, so grob gesagt passt das. Vgl. auch ![[]](/images/popup.gif) Wiki: Halbstetigkeit, insbesondere das Bildchen für eine unterhalbstetige Funktion.
Wie das ganz genau mit den Umgebungen mathematisch zu formulieren wäre, erkennst Du an der Charakterisierung aus dem Wiki-Link:
Ist $f$ nicht unterhalb halbstetig in [mm] $\overline{x}\,,$ [/mm] so gibt es ein [mm] $\epsilon [/mm] > [mm] 0\,,$ [/mm] so dass für jede Umgebung $U$ von [mm] $\overline{x}$ [/mm] ein $x [mm] \in [/mm] U$ existiert mit... (hier kannst Du auch schreiben:... [mm] $\epsilon [/mm] > 0$ so, dass für alle [mm] $\delta [/mm] > 0$ gilt: es existiert ein $x [mm] \in U_{\delta}(\overline{x}):=\{y \in \IR^n: \|y-\overline{x}\| < \delta\}$ [/mm] mit...).
> Dann kommt diese Bemerkung:
>
> f ist unterhalb halbstetig
>
> [mm]\Leftrightarrow \{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \ | \ y \ge f(x) \ ist \ abgeschlossen \ \}[/mm]
Du meinst es so:
[mm]\Leftrightarrow \{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \ | \ y \ge f(x)\}[/mm] ist abgeschlossen
> [mm]\Leftrightarrow \{ x \in \mathbb R^n \ | \ f(x) \le a \}[/mm]
> ist für jedes [mm]a \in \mathbb R[/mm] abgeschlossen
>
> Ich versteh nicht die Äquivalenzen. Warum sind diese
> Mengen abgeschlossen? Und warum gilt denn bei der zweiten
> menge das für jedes a?
Wie wäre es, wenn Du selbst versuchst, das ganze zu beweisen? Behauptet wird dort doch eine Äquivalenz:
$a) [mm] \gdw [/mm] b) [mm] \gdw [/mm] c)$
Probiere halt z.B., den folgenden Ringschluß zu beweisen:
$a) [mm] \Rightarrow [/mm] b) [mm] \Rightarrow [/mm] c) [mm] \Rightarrow [/mm] a)$
Das bringt Dir mehr, als wenn wir Dir hier alles vorkauen (das würde ich vll. auch machen, aber momentan fehlt mir die Zeit dazu). Und da wird sich hier sicher jemand finden, der das kontrollieren kann 
Gruß,
Marcel
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 23:48 Mi 28.01.2009 | | Autor: | Irmchen |
Guten Abend!
Ich habe jetzt probiert diese Bemerkung zu zeigen und habe eine Richtung leider nicht zeigen können, aber die anderen beiden habe ich probiert und bin mir aber nicht ganz sicher, ob das so in Ordnung geht. Ich wäre sehr dankbar, wenn man mir eine Rückmeldung gibt, inwiefern meine Lösungen richtig sind und wie die andere Richtung zu zeigen ist.
Bemerkung:
(a) f ist unterhalb halbstetig
(b) [mm]\Leftrightarrow \{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \ | \ y \ge f(x)\}[/mm]
ist abgeschlossen
(c) [mm]\Leftrightarrow \{ x \in \mathbb R^n \ | \ f(x) \le a \}[/mm]
ist für jedes [mm]a \in \mathbb R[/mm] abgeschlossen
Beweis:
(b) [mm] \Rightarrow [/mm] (c)
Zu zeigen:
[mm]\Leftrightarrow \{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \ | \ y \ge f(x)\}[/mm]
ist abgeschlossen [mm] \Rightarrow [/mm][mm] mm]\Leftrightarrow \{ x \in \mathbb R^n \ | \ f(x) \le a \}[/mm] [/mm]
ist für jedes [mm]a \in \mathbb R[/mm] abgeschlossen
Annahme:
[mm] \exists \ a_0 \ : \ M_0 := \{ x \in \mathbb R^n \ | \ f(x) \le a_0 \} [/mm] ist nicht abgeschlossen.
Das bedeutet, dass [mm] M_0^{c} [/mm] ist nicht offen!
[mm] \exists x_0 \in M_0^{c} : \ B(x_0, \epsilon ) \cap M_0 \ne \emptyset \ \forall \epsilon > 0 [/mm] und
[mm] ( x_0, a_0 ) \in M^{c} \Rightarrow B((x_0, a_0 ), \epsilon ) \cap M_0 \times \{ a_0 \} \ne \emptyset \ \forall \epsilon > 0 [/mm]
Dies ist aber ein Widerspruch, denn M ist abgeschlossen!
Zu zeigen:
(c) [mm] \Rightarrow [/mm] (a)
Angenommen: [mm] \exists x_0 : \liminf_{x_n \to x_0 } f(x_n ) < f(x_0) [/mm].
Wähle nun [mm] a_1 [/mm] mit
[mm] [mm] \liminf_{ x_n \to x_0 } f(x_n) [/mm] < [mm] a_1 [/mm] < [mm] f(x_0)[/mm] [mm]
[mm] \Rightarrow (x_n)_{n \in\mathbb N } \in M_1, \ x_n \to x_0 [/mm] aber [mm]x_0 \ne M_1 [/mm]
[mm] \Rightarrow M_1 [/mm] ist nicht abgeschlossen, und dies ist ein Widerspruch!
[mm] \Rightarrow [/mm] f ist unterhalb halbstetig!
Sind denn meine Lösungsvorschläge so in Ordnung???
Leider kann ich die Richtung von a) nach b) nicht zeigen... Ich wäre sehr dankbar, wenn mir das jemand erklären könnte!
Vielen Dank im voraus!
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:53 Do 29.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> (b) [mm]\Rightarrow[/mm] (c)
Hab ich mir nicht genau angesehen.
> (c) [mm]\Rightarrow[/mm] (a)
Der Beweis ist richtig.
zu a => b: Nehme eine konvergente Folge [m](x_n,y_n)\to(x,y)[/m]. Was folgt nun für den Liminf zum einen aus der Vorraussetzung, zum anderen weil die Folgenmitglieder in dem M sind?
SEcki
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:47 Do 29.01.2009 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
> zu a => b: Nehme eine konvergente Folge [m](x_n,y_n)\to(x,y)[/m].
> Was folgt nun für den Liminf zum einen aus der
> Vorraussetzung, zum anderen weil die Folgenmitglieder in
> dem M sind?
Wenn wir so eine konvergente Folge [mm] ](x_n,y_n)\to(x,y)[/mm] betrachten , dann würde ich sagen, dass für den Liminf aus der Voraussetzung der unterhalb Halbstetigkeit, dass
[mm] \liminf_{ x_n \to x } f( x_n) \ge f(x) [/mm] ....Aber widerspricht das nicht der Menge aus b) ???
Wenn die Folgemitglieder und auch der Grenzwert in M ist, dann ist das doch gerade die Eigenschaft abgeschlossener Mengen, oder sehe ich das falsch?
Viele Grüße
Irmchen
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:45 Do 29.01.2009 | | Autor: | SEcki |
> > zu a => b: Nehme eine konvergente Folge [m](x_n,y_n)\to(x,y)[/m].
> > Was folgt nun für den Liminf zum einen aus der
> > Vorraussetzung, zum anderen weil die Folgenmitglieder in
> > dem M sind?
>
> Wenn wir so eine konvergente Folge [mm]](x_n,y_n)\to(x,y)[/mm]
> betrachten , dann würde ich sagen, dass für den Liminf aus
> der Voraussetzung der unterhalb Halbstetigkeit, dass
> [mm]\liminf_{ x_n \to x } f( x_n) \ge f(x)[/mm] ....Aber
> widerspricht das nicht der Menge aus b) ???
Häh? Wieso sollte es das? Wo siehst du den Widerspruch? Das ist der eine Schritt - es gibt aber noch eine zweite Gleichung: es gilt noch [m]f(x_n)\le y_n[/m] - was folgt nun für den Liminf?
> Wenn die Folgemitglieder und auch der Grenzwert in M ist,
> dann ist das doch gerade die Eigenschaft abgeschlossener
> Mengen, oder sehe ich das falsch?
Ja, sicher - das versuchen wir doch zu beweisen!
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 13:10 Do 29.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo Irmchen,
nur kurz eine formale Sache:
> Bemerkung:
>
> (a) f ist unterhalb halbstetig
>
> (b) [mm]\Leftrightarrow \{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \ | \ y \ge f(x)\}[/mm]
> ist abgeschlossen
>
> (c) [mm]\Leftrightarrow \{ x \in \mathbb R^n \ | \ f(x) \le a \}[/mm]
> ist für jedes [mm]a \in \mathbb R[/mm] abgeschlossen
Das ist falsch notiert. Die Aussage (b) ist nicht [mm] "$\gdw [/mm] ...$", dass [mm] $\gdw$ [/mm] macht bei (b) keinen Sinn. Die Aussagen (a), (b) und (c) lauten:
(a) f ist unterhalb halbstetig
(b) [mm]\{ (x,y) \in \mathbb R^n \times \mathbb R \ | \ y \ge f(x)\}[/mm] ist abgeschlossen
(c) [mm]\{ x \in \mathbb R^n \ | \ f(x) \le a \}[/mm] ist für jedes [mm]a \in \mathbb R[/mm] abgeschlossen
Dieser Hinweis meinerseits kann unwichtig sein, weil Du vll. nicht drauf geachtet hast und es nur als Flüchtigkeitsfehler zu verbuchen ist. Aber es kann auch darauf hindeuten, dass Du irgend etwas "aus der Sprache der Logik" missverstehst. Deswegen der Hinweis meinerseits.
Und behauptet wird nun (a) [mm] $\gdw$ [/mm] (b) [mm] $\gdw$ [/mm] (c), wobei Du den Beweis dieser Behauptung aber anscheinend doch richtig angehst (nach nur einem flüchtigen Blick meinerseits).
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 00:20 Fr 06.02.2009 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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