v. Induktion exp(n) = e^n < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Darker |
Hi,
bräuchte ne idee wie ich [mm] exp(n)=e^{n} [/mm] durch vollständige induktion beweisen kann.
als hinweiss ist gegeben zur aufgabe: Verwenden Sie die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion. [mm] e^{0}:= [/mm] 1
ich habe hier stehen das exp(x)= [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{x^{n}}{n!} [/mm] ist. dass bedeutet doch, dass der grenzwert davon exp(x) entspricht. aber wie soll ich da den nächtest induktionsschritt beginnen :(
oder liege ich falsch?
Die die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ist ja exp(x)*exp(y)=exp(x+y) ich sehe jedoch nicht wie mir das weiterhelfen soll :(
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
cu
Darker
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:15 Sa 23.10.2004 | | Autor: | Clemens |
Hallo Darker!
> Die die Funktionalgleichung der Exponentialfunktion ist ja
> exp(x)*exp(y)=exp(x+y) ich sehe jedoch nicht wie mir das
> weiterhelfen soll :(
Beim Induktionsschritt willst du ja folgendes zeigen:
Wenn [mm] exp(n)=e^{n}, [/mm] dann exp(n + 1) = [mm] e^{n+1}.
[/mm]
Das ganze ist ein Einzeiler:
exp(n + 1) = exp(n)*exp(1) = ...
In diesem ersten "="-Zeichen steckt die Funktionalgleichung drin. Jetzt musst du nur noch die Induktionsannahme ("Wenn"-Teil oben) verwenden und die Definition von e:
e := exp(1)
Dann kommst du zu dem Ergebnis:
exp(n + 1) = [mm] e^{n+1}
[/mm]
Liebe Grüße
Clemens
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