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v1-vn orthonormal->Basis R^n: Wie beweise ich es?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 02:42 Mo 19.12.2016
Autor: asg

Aufgabe
Zeigen Sie, dass eine Menge von $n$ orthonormalen Vektoren [mm] $\{v_1 , . . . , v_n\} \subset \IR^n$ [/mm] eine Basis des [mm] $\IR^n$ [/mm] ist.

Hallo zusammen,

um die Aussage zu beweisen, muss ich ja zeigen, dass die folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:

Ich benenne die Menge:
$V := [mm] \{v_1 , . . . , v_n\}$ [/mm]

1. [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_n$ [/mm] sind linear unabhängig.

2. $span(V) = [mm] \IR^n$ [/mm]

Zu 1.
Beweis durch Widerspruch:

Sei $v, w [mm] \in [/mm] V$ beliebig.
Angenommen $v, w$ sind linear abhängig, dann gilt [mm] $\exists [/mm] k [mm] \in \IR \backslash \{0\}$ [/mm] s.d. $v = k [mm] \cdot [/mm] w$

[mm] $\Rightarrow [/mm] <v, w> = <k [mm] \cdot [/mm] w, w> = k [mm] \cdot [/mm] <w, w> = k [mm] \cdot [/mm] 1 = k [mm] \not= [/mm] 0 [mm] \Rightarrow$ [/mm] Widerspruch, denn nach Voraussetzung gilt $<v, w> = 0$, da $v, w$ orthogonal sind.

Da $v, w$ beliebig gewählt sind, gilt also [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_n$ [/mm] sind linear unabhängig.

Zu 2.
Hier fehlt mir die Idee zum Beweis von Span.
Wenn es konkrete Vektoren angegeben wären, könnte man mit Gauß-Verfahren prüfen, ob sich die Standardbasis durch Linearkombination von [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_n$ [/mm] bilden lässt, aber für $n$ Vektoren habe leider keine Idee :(

Eine Zusatzfrage: Gibt es eigentlich einen einfacheren Weg, z.B. $Span(A) = [mm] \IR^3$ [/mm] mit [mm] $A=\{\vektor{1 \\ 1 \\ 0}, \vektor{1 \\ -1 \\ 1}, \vektor{1 \\ -1 \\ -2}\}$ [/mm] zu zeigen, als per Gauß-Verfahren? Denn das ist ziemlich zeitaufwendig.

Dankeschön für jede Hilfe

Liebe Grüße

Asg

        
Bezug
v1-vn orthonormal->Basis R^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 05:46 Mo 19.12.2016
Autor: angela.h.b.


> Zeigen Sie, dass eine Menge von [mm]n[/mm] orthonormalen Vektoren
> [mm]\{v_1 , . . . , v_n\} \subset \IR^n[/mm] eine Basis des [mm]\IR^n[/mm]
> ist.
> Hallo zusammen,

>

> um die Aussage zu beweisen, muss ich ja zeigen, dass die
> folgenden zwei Bedingungen erfüllt sind:

>

> Ich benenne die Menge:
> [mm]V := \{v_1 , . . . , v_n\}[/mm]

>

> 1. [mm]v_1, ..., v_n[/mm] sind linear unabhängig.

>

> 2. [mm]span(V) = \IR^n[/mm]

Hallo,

prinzipiell könntest Du das so zeigen, hast aber selbst gemerkt, das die Sache mit dem Span nicht so leicht von der Hand geht.

Ich denke, daß in Eurer Vorlesung bereits der Begriff der Dimension bekannt ist und entsprechende Sätze,
speziell:

wenn man in einem VR der Dimension n eine Menge von n linear unabängigen Vektoren hat, so bilden diese eine Basis.

Also müssen wir uns nur mit der linearen Unabhängigkeit beschäftigen.



> Zu 1.
> Beweis durch Widerspruch:

>

> Sei [mm]v, w \in V[/mm] beliebig.
> Angenommen [mm]v, w[/mm] sind linear abhängig, dann gilt [mm]\exists k \in \IR \backslash \{0\}[/mm]
> s.d. [mm]v = k \cdot w[/mm]

[mm] (k\not=0, [/mm] weil es sich um ortonormale Vektoren handelt.)

>

> [mm]\Rightarrow = = k \cdot = k \cdot 1 = k \not= 0 \Rightarrow[/mm]
> Widerspruch, denn nach Voraussetzung gilt [mm] = 0[/mm], da [mm]v, w[/mm]
> orthogonal sind.

> Da [mm]v, w[/mm] beliebig gewählt sind, gilt also [mm]v_1, ..., v_n[/mm]
> sind linear unabhängig.

Der Schluß stimmt nicht:
Nehmen wir die Vektoren [mm] \vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\1\\0} [/mm] des [mm] \IR^3. [/mm]
Je zwei von ihnen sind linear unabhängig, aber die drei Vektoren sind abhängig.

Lineare Unabhängigkeit von n Vektoren [mm] v_1,...v_n [/mm] zeigt man, indem man zeigt, daß die Gleichung
[mm] k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=Nullvektor [/mm] nur die eine Lösung [mm] k_1=k_2=...=k_n=0 [/mm] hat.

Wie geht das hier?
Sei [mm] k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=Nullvektor. [/mm]

Multipliziere die Gleichung mit [mm] v_1 [/mm] und schau, was Du bekommst.
Multipliziere die Gleichung mit [mm] v_2 [/mm] und schau, was Du bekommst.
[mm] \vdots [/mm]
Multipliziere die Gleichung mit [mm] v_n [/mm] und schau, was Du bekommst.

LG Angela

Bezug
                
Bezug
v1-vn orthonormal->Basis R^n: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:15 Mo 19.12.2016
Autor: asg

Hallo Angela,

Dankeschön erst mal für die schnelle Hilfe.

>  
> prinzipiell könntest Du das so zeigen, hast aber selbst
> gemerkt, das die Sache mit dem Span nicht so leicht von der
> Hand geht.
>  
> Ich denke, daß in Eurer Vorlesung bereits der Begriff der
> Dimension bekannt ist und entsprechende Sätze,
>  speziell:
>  
> wenn man in einem VR der Dimension n eine Menge von n
> linear unabängigen Vektoren hat, so bilden diese eine
> Basis.
>  

Ja der Begriff Dimension ist uns bekannt, aber einen solchen Satz gibt es (finde ich) im Skript nicht. Im Skript steht:

Definition 5.2.6.Hat ein Vektorraum $V$ eine Basis $B = [mm] \{v_1, ..., v_n\}$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN$ [/mm] so sagt man die Dimension von $V$  ist $n$. Ist es nicht möglich, eine (endliche) Basis von $V$  zu finden, so sagt man die Dimension von $V$ ist unendlich.

Kann ich dennoch mit Dimension argumentieren?

> Also müssen wir uns nur mit der linearen Unabhängigkeit beschäftigen.
>
> > Zu 1.
>  > Beweis durch Widerspruch:

>  >
>  > Sei [mm]v, w \in V[/mm] beliebig.

>  > Angenommen [mm]v, w[/mm] sind linear abhängig, dann gilt [mm]\exists k \in \IR \backslash \{0\}[/mm]

>  
> > s.d. [mm]v = k \cdot w[/mm]
>  
> [mm](k\not=0,[/mm] weil es sich um ortonormale Vektoren handelt.)
>  
> >
>  > [mm]\Rightarrow = = k \cdot = k \cdot 1 = k \not= 0 \Rightarrow[/mm]

>  
> > Widerspruch, denn nach Voraussetzung gilt [mm] = 0[/mm], da [mm]v, w[/mm] orthogonal sind.
>  
> > Da [mm]v, w[/mm] beliebig gewählt sind, gilt also [mm]v_1, ..., v_n[/mm] sind linear unabhängig.
>  
> Der Schluß stimmt nicht:
>  Nehmen wir die Vektoren [mm]\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\1\\0}[/mm] des [mm]\IR^3.[/mm]
>  Je zwei von ihnen sind linear unabhängig, aber die drei Vektoren sind abhängig.
>  

Ups, stimmt - daran habe ich gar nicht gedacht ...

> Lineare Unabhängigkeit von n Vektoren [mm]v_1,...v_n[/mm] zeigt man, indem man zeigt, daß die Gleichung   [mm]k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=Nullvektor[/mm] nur die eine Lösung [mm]k_1=k_2=...=k_n=0[/mm] hat.
>  
> Wie geht das hier?
>  Sei [mm]k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=Nullvektor.[/mm]
>  

Ok, verstehe:

Per Voraussetzung gilt: [mm] $v_i \cdot v_i [/mm] = 1$ und [mm] $v_i \cdot v_j [/mm] = 0$ mit $i [mm] \not= [/mm] j$
Deshalb gilt folgende Rechnung:

[mm] $k_1 \cdot v_1+k_2 \cdot v_2+...+k_n \cdot v_n [/mm] = [mm] \vec{0} \mid\cdot v_1$ [/mm]
[mm] $k_1 \cdot v_1 \cdot v_1 [/mm] + [mm] k_2 \cdot v_2 \cdot v_1 [/mm] + ... + [mm] k_n \cdot v_n \cdot v_1 [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm]
[mm] $k_1 \cdot 1+k_2 \cdot [/mm] 0 +...+ [mm] k_n \cdot [/mm] 0 = 0$
[mm] $k_1 [/mm]  = 0$

[mm] $k_1 \cdot v_1+k_2 \cdot v_2+...+k_n \cdot v_n [/mm] = [mm] \vec{0} \mid \cdot v_2$ [/mm]
[mm] $k_1 \cdot v_1 \cdot v_2 [/mm] + [mm] k_2 \cdot v_2 \cdot v_2 [/mm] + ... + [mm] k_n \cdot v_n \cdot v_2 [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm]
[mm] $k_1 \cdot 0+k_2 \cdot [/mm] 1 +...+ [mm] k_n \cdot [/mm] 0 = 0$
[mm] $k_2 [/mm]  = 0$
[mm] $\vdots$ [/mm]
[mm] $k_1 \cdot v_1+k_2 \cdot v_2+...+k_n \cdot v_n [/mm] = [mm] \vec{0} \mid \cdot v_n$ [/mm]
[mm] $k_1 \cdot v_1 \cdot v_n [/mm] + [mm] k_2 \cdot v_2 \cdot v_n [/mm] + ... + [mm] k_n \cdot v_n \cdot v_n [/mm] = [mm] \vec{0}$ [/mm]
[mm] $k_1 \cdot 0+k_2 \cdot [/mm] 0 +...+ [mm] k_n \cdot [/mm] 1 = 0$
[mm] $k_n [/mm]  = 0$

[mm] $\Rightarrow k_1 [/mm] = [mm] k_2 [/mm] = ... = [mm] k_n [/mm] = 0$, also sind [mm] $v_1, [/mm] ..., [mm] v_n$ [/mm] linear unabhängig.

Stimmt es nun?

Kurze Frage: darf ich das Skalarprodukt einfach so [mm] $v_i \cdot v_i [/mm] = 1$ schreiben oder muss ich es immer in eckigen Klammern [mm] $ [/mm] = 1$ schreiben?

Danke nochmals

Liebe Grüße

Asg




Bezug
                        
Bezug
v1-vn orthonormal->Basis R^n: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:21 Mo 19.12.2016
Autor: fred97


> Hallo Angela,
>  
> Dankeschön erst mal für die schnelle Hilfe.
>  
> >  

> > prinzipiell könntest Du das so zeigen, hast aber selbst
> > gemerkt, das die Sache mit dem Span nicht so leicht von der
> > Hand geht.
>  >  
> > Ich denke, daß in Eurer Vorlesung bereits der Begriff der
> > Dimension bekannt ist und entsprechende Sätze,
>  >  speziell:
>  >  
> > wenn man in einem VR der Dimension n eine Menge von n
> > linear unabängigen Vektoren hat, so bilden diese eine
> > Basis.
>  >  
>
> Ja der Begriff Dimension ist uns bekannt, aber einen
> solchen Satz gibt es (finde ich) im Skript nicht. Im Skript
> steht:
>  
> Definition 5.2.6.Hat ein Vektorraum [mm]V[/mm] eine Basis [mm]B = \{v_1, ..., v_n\}[/mm]
> mit [mm]n \in \IN[/mm] so sagt man die Dimension von [mm]V[/mm]  ist [mm]n[/mm]. Ist
> es nicht möglich, eine (endliche) Basis von [mm]V[/mm]  zu finden,
> so sagt man die Dimension von [mm]V[/mm] ist unendlich.
>  
> Kann ich dennoch mit Dimension argumentieren?
>  
> > Also müssen wir uns nur mit der linearen Unabhängigkeit
> beschäftigen.
>  >

> > > Zu 1.
>  >  > Beweis durch Widerspruch:

>  >  >
>  >  > Sei [mm]v, w \in V[/mm] beliebig.

>  >  > Angenommen [mm]v, w[/mm] sind linear abhängig, dann gilt

> [mm]\exists k \in \IR \backslash \{0\}[/mm]
>  >  
> > > s.d. [mm]v = k \cdot w[/mm]
>  >  
> > [mm](k\not=0,[/mm] weil es sich um ortonormale Vektoren handelt.)
>  >  
> > >
>  >  > [mm]\Rightarrow = = k \cdot = k \cdot 1 = k \not= 0 \Rightarrow[/mm]

>  
> >  

> > > Widerspruch, denn nach Voraussetzung gilt [mm] = 0[/mm], da [mm]v, w[/mm]
> orthogonal sind.
>  >  
> > > Da [mm]v, w[/mm] beliebig gewählt sind, gilt also [mm]v_1, ..., v_n[/mm]
> sind linear unabhängig.
>  >  
> > Der Schluß stimmt nicht:
>  >  Nehmen wir die Vektoren [mm]\vektor{1\\0\\0}, \vektor{0\\1\\0}, \vektor{1\\1\\0}[/mm]
> des [mm]\IR^3.[/mm]
>  >  Je zwei von ihnen sind linear unabhängig, aber die
> drei Vektoren sind abhängig.
>  >  
>
> Ups, stimmt - daran habe ich gar nicht gedacht ...
>  
> > Lineare Unabhängigkeit von n Vektoren [mm]v_1,...v_n[/mm] zeigt
> man, indem man zeigt, daß die Gleichung  
> [mm]k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=Nullvektor[/mm] nur die eine Lösung
> [mm]k_1=k_2=...=k_n=0[/mm] hat.
>  >  
> > Wie geht das hier?
>  >  Sei [mm]k_1v_1+k_2v_2+...+k_nv_n=Nullvektor.[/mm]
>  >  
>
> Ok, verstehe:
>  
> Per Voraussetzung gilt: [mm]v_i \cdot v_i = 1[/mm] und [mm]v_i \cdot v_j = 0[/mm]
> mit [mm]i \not= j[/mm]
>  Deshalb gilt folgende Rechnung:
>  
> [mm]k_1 \cdot v_1+k_2 \cdot v_2+...+k_n \cdot v_n = \vec{0} \mid\cdot v_1[/mm]
>  
> [mm]k_1 \cdot v_1 \cdot v_1 + k_2 \cdot v_2 \cdot v_1 + ... + k_n \cdot v_n \cdot v_1 = \vec{0}[/mm]
>  
> [mm]k_1 \cdot 1+k_2 \cdot 0 +...+ k_n \cdot 0 = 0[/mm]
>  [mm]k_1 = 0[/mm]
>  
> [mm]k_1 \cdot v_1+k_2 \cdot v_2+...+k_n \cdot v_n = \vec{0} \mid \cdot v_2[/mm]
>  
> [mm]k_1 \cdot v_1 \cdot v_2 + k_2 \cdot v_2 \cdot v_2 + ... + k_n \cdot v_n \cdot v_2 = \vec{0}[/mm]
>  
> [mm]k_1 \cdot 0+k_2 \cdot 1 +...+ k_n \cdot 0 = 0[/mm]
>  [mm]k_2 = 0[/mm]
>  
> [mm]\vdots[/mm]
>  [mm]k_1 \cdot v_1+k_2 \cdot v_2+...+k_n \cdot v_n = \vec{0} \mid \cdot v_n[/mm]
>  
> [mm]k_1 \cdot v_1 \cdot v_n + k_2 \cdot v_2 \cdot v_n + ... + k_n \cdot v_n \cdot v_n = \vec{0}[/mm]
>  
> [mm]k_1 \cdot 0+k_2 \cdot 0 +...+ k_n \cdot 1 = 0[/mm]
>  [mm]k_n = 0[/mm]
>  
> [mm]\Rightarrow k_1 = k_2 = ... = k_n = 0[/mm], also sind [mm]v_1, ..., v_n[/mm]
> linear unabhängig.
>  
> Stimmt es nun?
>  
> Kurze Frage: darf ich das Skalarprodukt einfach so [mm]v_i \cdot v_i = 1[/mm]
> schreiben oder muss ich es immer in eckigen Klammern [mm] = 1[/mm]
> schreiben?

beide Bezeichnungsweisen sind im Umlauf.


>  
> Danke nochmals
>  
> Liebe Grüße
>  
> Asg
>  
>
>  


Bezug
                                
Bezug
v1-vn orthonormal->Basis R^n: Danke!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:06 Di 20.12.2016
Autor: asg

Hallo,

> > Kurze Frage: darf ich das Skalarprodukt einfach so [mm]v_i \cdot v_i = 1[/mm]
> > schreiben oder muss ich es immer in eckigen Klammern [mm] = 1[/mm]
> > schreiben?
>  
> beide Bezeichnungsweisen sind im Umlauf.
>  

Danke!

Liebe Grüße

Asg

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