\varepsilon-Bälle < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 17:12 Mi 01.06.2005 | | Autor: | SOCMarcel |
Hallo zusammen,
ich muss leider gleich zu einer Fraktionssitzung, deswegen kann ich meine Gedanken nicht mehr dazu posten. Wäre euch jedoch dankbar, wenn ich sie nachher mit euren Lsg. vergleichen könnte.
Aufgabe 1: Beweise: Eine Teilmenge O des [mm] \IR^{n} [/mm] ist offen, genau dann, wenn zu jedem x [mm] \in [/mm] O ein [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex., sodass [mm] U_{\varepsilon, bel. Norm}(x) \subseteq [/mm] O.
Hinweis: Die Ex. von pos. Konst. C, D, so dass C * Max.-norm [mm] \le [/mm] bel. Norm [mm] \le [/mm] D * Max.-norm darf vorausgesetzt werden.
Aufgabe 2: In Abh. von n das größte C [mm] \in \IR [/mm] und das kleinste D [mm] \in \IR [/mm] angeben, so das für alle x [mm] \in \IR^{n} [/mm] gilt: C * Max.-norm von x [mm] \le [/mm] eukl. Norm von x [mm] \le [/mm] D * Max.-norm von x.
Gruß
Marcel
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:26 Mi 01.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> ich muss leider gleich zu einer Fraktionssitzung, deswegen
> kann ich meine Gedanken nicht mehr dazu posten. Wäre euch
> jedoch dankbar, wenn ich sie nachher mit euren Lsg.
> vergleichen könnte.
Die bessere Idee: wir warten, bis du wieder kommst und deine Ansätze gepostet hast. Oder?
> Aufgabe 1: Beweise: Eine Teilmenge O des [mm]\IR^{n}[/mm] ist offen,
> genau dann, wenn zu jedem x [mm]\in[/mm] O ein [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ex.,
> sodass [mm]U_{\varepsilon, bel. Norm}(x) \subseteq[/mm] O.
> Hinweis: Die Ex. von pos. Konst. C, D, so dass C *
> Max.-norm [mm]\le[/mm] bel. Norm [mm]\le[/mm] D * Max.-norm darf
> vorausgesetzt werden.
ist doch fast klar - für jeden Epsilon-Ball in der einen Norm, musst du ein Delta finden, so dass in der anderen Norm ein Delta-Ball in den Epsilon-Ball passt.
> Aufgabe 2: In Abh. von n das größte C [mm]\in \IR[/mm] und das
> kleinste D [mm]\in \IR[/mm] angeben, so das für alle x [mm]\in \IR^{n}[/mm]
> gilt: C * Max.-norm von x [mm]\le[/mm] eukl. Norm von x [mm]\le[/mm] D *
> Max.-norm von x.
Das C ist doch offensichtlich, oder? Beim Dmuss amn etwas spielen. Wenn man dann Ideen für die zwei hat:jeweils zeigen, daß die Ungleichung für alle vektoren gilt, und jeweils ein Bsp. angeben,wo Gleichheit erreicht wird.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) reagiert/warte auf Reaktion | | Datum: | 21:26 Mi 01.06.2005 | | Autor: | fussel1000 |
Hallo secki,
ich msus die gleichen Aufgaben bis morgen lösen und wollte mal fragen ob man das so amchen kann :
Ich fang mal mit aufgabe 2 an da hab ich nun 2 zahlen in abhängigkeit von n . kann oder besseer gesagt muss man das
Dann durch vollständige Induktion über n beweisen??
Zu aufgabe 1
Sehr kompliziert aber ich bin nun soweit , dass ich gezeigt hab das in einem Rechteck ein Eps-Ball liegt. Jetzt müsste ich also noch eine delta-ball beweisen, dass der andere darin liegt.
Zu meiner Frage :
Wenn ich delta := 1/p * |b-a| setzte, wobei |b-a| = die Läge von einem bestimmten kleinsten Intervall ist , und p ein Element aus den Natürlichen zahlen .
Und delta halt größer als |b-a| setzte ,
kann ich dann daraus folgern , dass der delta ball im eps ball enthalte n ist??
Wobei man dazu sagen muss, dass wir halt vorher offene menge so definiert hatten,
dass eine offene Menge O ist genau dann offen, wenn zu jedem x aus O
ein offenes Recht R exisitiert mit x aus R teilmenge von O .
R ist dann = I1 x I2 x... x In
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 22:52 Mi 01.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> kann oder besseer gesagt muss man das
> Dann durch vollständige Induktion über n beweisen??
Müssen tust du es nicht (direkt). Es ist quasi eine Induktion dabei, da die eine Konstante von n abhängt ... aber ich würdeda einfach ein n fixieren und ansetzen.
> Sehr kompliziert aber ich bin nun soweit , dass ich gezeigt
> hab das in einem Rechteck ein Eps-Ball liegt. Jetzt müsste
> ich also noch eine delta-ball beweisen, dass der andere
> darin liegt.
Rechteck? Du meinst einen Ball bzgl Maximumsnorm oder? Und sehr kompliziert ist das nicht - man beachte den Hinweis!
> Zu meiner Frage :
> Wenn ich delta := 1/p * |b-a| setzte, wobei |b-a| = die
> Läge von einem bestimmten kleinsten Intervall ist , und p
> ein Element aus den Natürlichen zahlen .
> Und delta halt größer als |b-a| setzte ,
> kann ich dann daraus folgern , dass der delta ball im eps
> ball enthalte n ist??
Intervall? Beliebige natürliche Zahl? Die Argumente sind ganz unabh. von der Dimension. Die eine mach ich mal: Geg. sei [m]B_\delta(q)[/m] bzgl. der Maximumsnorm. Aus [m]C_1||x||_\mbox{bel. Norm}\le ||x||_max[/m] folgt dann doch sofort das der Ball [m]B_{\frac{\delta}{C_1}}(q)[/m] im anderen enthalten ist.
> Wobei man dazu sagen muss, dass wir halt vorher offene
> menge so definiert hatten,
> dass eine offene Menge O ist genau dann offen, wenn zu
> jedem x aus O
> ein offenes Recht R exisitiert mit x aus R teilmenge von O
> .
> R ist dann = I1 x I2 x... x In
Nun gut, das sind die offenen Bälle bzgl der Maximumsnorm. Ich wießjetztnicht, was ihr alles hattet .. ich gebe zu, je weniger Theorie man dazu hatte, desto komplizirte wird es. (Denn dann musst du wirklich immer in solche Rechtecke reinlegen - und das ist weder schön, noch bringt es was.). Vielleicht musst du es dann doch so machen,wie du geschrieben hast - aber direkt jeweils Bälle reinlegen ist einfacher - und klarer.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:44 Mi 01.06.2005 | | Autor: | SOCMarcel |
Klar wäre das besser gewesen. Nur hab ich mal wieder zu spät die Iniative ergriffen, weil ich es bis morgen brauche. Da ich jetzt erst nach Hause gekommen bin, hätte das dann natürlich niemand mehr gelesen.
Gruß
Marcel
> Die bessere Idee: wir warten, bis du wieder kommst und
> deine Ansätze gepostet hast. Oder?
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:05 Mi 01.06.2005 | | Autor: | Faenol |
Hi !
Ich weiß net, ob sich die Frage erledigt hat, aber man könnte es doch so machen: (1)
Sei x [mm] \in M_{r}(a)=\{x \in \IR^{n}: |a-x|
Mit [mm] \varepsilon:=r-|a-x|>0 [/mm] könnte man nun sagen, dass
[mm] U_{ \varepsilon}(x) \subseteq M_{r}(a).
[/mm]
Demnach ist M unter der euklidischen Norm offen !
Aber es gilt ja mit dem Hinweis:
[mm] M_{ \varepsilon / D}(x) \subseteq E_{ \varepsilon}(x) \subseteq M_{ \varepsilon / C}(x)
[/mm]
Mit M als Menge für die Max Norm Umgebung und E für die Euklidische Umgebung.
Damit wäre dann doch (1) erledigt ! Oder ?
Gruß
Faenôl
|
|
|
|
