vektoren anfangsprobleme < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:34 Sa 04.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
ich habe ein problem mit einer denke ich einfachen aufgabe
da ich noch nie was uber vektoren gehort habe hoffe ich das es mir jemand
verstandlich erklären kann die aufgabe lautet
gegeben sind die vektoren :
[mm] v_{1}= 4e_{1}+4e_{2}-2e_{3}
[/mm]
[mm] v_{2}= 4e_{1}-2e_{2}+4e_{3}
[/mm]
[mm] v_{3}=-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3}
[/mm]
a)Man zeige das die vektoren [mm] v_{1},v_{2},v_{3} [/mm] linear unabhanig sind.
welche besondern eigenschaften haben die vektoren bezüglich
lange und gegenseitiger labe?
b)man stelle die vektoren [mm] e_{i} [/mm] als linearkombinationen der vektoren
[mm] v_{1},v_{2},v_{3}dar.
[/mm]
die losung zu b) ist:
[mm] e_{1}= \bruch{1}{18}(2v_{1}+2v_{2}-v_{3}),
[/mm]
[mm] e_{1}= \bruch{1}{18}(2v_{1}-v_{2}+2v_{3}),
[/mm]
[mm] e_{1}= \bruch{1}{18}(-v_{1}+2v_{2}+2v_{3})
[/mm]
aber ich weiß nicht wie man darauf kommt mit einer matrix, austauchverfahren?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:52 Sa 04.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo ghostdog
das ist jetzt schwierig zu beantworten, da wir gar nicht wissen, was man denn voraussetzen kann, und was nicht. Darf man das Rechnen mit Matrizen schon voraussetzen?
Ich nehem mal an, man dürfe nicht!
Dann braucht es zu dieser Aufgabe aber doch einige Erläuterungen:
[mm] $e_1$, $e_2$ [/mm] und [mm] $e_3$ [/mm] sind offenbar die sogenannte Standardbasis, das heisst sie sind linear unabhängig, stehen senkrecht aufeinander und haben die Länge 1.
(Du darfst dir das vorstellen, als ob diese drei Vektoren im rechtwinkligen Koordinatensystem in der x-Richtung, y-Richtung und z-Richtung zeigen, jeweils mit der Länge 1.)
Um das Obige formal hinzuschreiben, bedient man sich des Skalarproduktes. Man definiert dann die Länge eines Vektors $x_$ als
[mm] \wurzel{x*x}
[/mm]
(Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selber.)
Man sagt auch, zwei Vektoren $x_$ und $y_$ stehen normal zueinander (rechtwinklig, in einer mehr geometrischer Deutung), wenn ihr Skalarprodukt 0 ist, wenn also gilt:
$x*y=0_$
Damit gilt für die Standardbasis:
[mm] $e_1*e_1=1$, $e_2*e_2=1$, $e_3*e_3=1$, [/mm]
[mm] $e_1*e_2=0$, $e_1*e_3=0$, $e_2*e_3=0$
[/mm]
Das Skalarprodugt ist distributiv: $a*(b+c)=a*b+a*c_$
Das Skalarprodukt ist kommutativ: $a*b=b*a_$
Ferner gilt: [mm] $(\alpha a)*b=\alpha(a*b)$
[/mm]
So, mit diesem wenigen Wissen sollten deine Aufgaben schon fast zu lösen sein!
> ich habe ein problem mit einer denke ich einfachen aufgabe
>
> da ich noch nie was uber vektoren gehort habe hoffe ich das
> es mir jemand
> verstandlich erklären kann die aufgabe lautet
> gegeben sind die vektoren :
> [mm]v_{1}= 4e_{1}+4e_{2}-2e_{3}
[/mm]
> [mm]v_{2}= 4e_{1}-2e_{2}+4e_{3}
[/mm]
>
> [mm]v_{3}=-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3}
[/mm]
> a)Man zeige das die vektoren [mm]v_{1},v_{2},v_{3}[/mm] linear
> unabhanig sind.
Was heisst linear unabhängig?
Wenn man nachweisen kann, dass die Gleichung
[mm] $\alpha v_1 [/mm] + [mm] \beta v_2 [/mm] + [mm] \gamma v_3 [/mm] = 0$
nur erfüllt sein kann, wenn [mm] $\alpha$, $\beta$ [/mm] und [mm] $\gamma$ [/mm] den Wert Null haben, dann sind die 3 Vektoren [mm] $v_1$, $v_2$ [/mm] und [mm] $v_3$ [/mm] linear unabhängig.
Du brauchst also nur einzusetzen:
[mm] $\alpha (4e_{1}+4e_{2}-2e_{3}) [/mm] + [mm] \beta (4e_{1}-2e_{2}+4e_{3}) [/mm] + [mm] \gamma (-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3}) [/mm] = 0$
Wenn du etwas rechnest, bekommst du:
[mm] $(4\alpha+4\beta-2\gamma)e_1+(4\alpha-2\beta+4\gamma)e_2+(-2\alpha+4\beta+4\gamma)e_3=0$
[/mm]
Weil die Vektoren der Standardbasis selber linear unabhängig sind, weisst du, dass die Ausdrücke in den Klammern einzeln den Wert Null haben müssen. Das gibt das Gleichungssystem
[mm] $4\alpha+4\beta-2\gamma=0$
[/mm]
[mm] $4\alpha-2\beta+4\gamma=0$
[/mm]
[mm] $-2\alpha+4\beta+4\gamma=0$
[/mm]
Wenn du das auflöst und als einzige Lösung herauskommt:
[mm] $(\alpha,\beta,\gamma)=(0,0,0)$
[/mm]
dann hast du die lineare Unabhängigkeit gezeigt.
> welche besondern eigenschaften haben die vektoren
> bezüglich
> lange und gegenseitiger labe?
Wie man die Lange berechnet, habe ich ja oben gezeigt: Wurzel aus dem Skalarprodukt mit sich selber.
Ich zeige das mal für [mm] $v_1$:
[/mm]
Wir berechnen das Skalarprodukt [mm] $v_1*v_1$:
[/mm]
[mm] $v_1*v_1=$
[/mm]
[mm] $(4e_1+4e_2-2e_3)*(4e_1+4e_2-2e_3)=$
[/mm]
(Distributivgesetz etc. anwenden)
[mm] $16e_1*e_1+16e_1*e_2-8e_1*e_3+16e_2*e_1+16e_2*e_2-8e_2*e_3-8e_3*e_1-8e_2*e_2+4e_3*e_3=$
[/mm]
(Eigenschaften der Standardbasis anwenden)
$16*1+16*0-8*0+16*0+16*1-8*0-8*0-8*0+4*1=36_$
Die Wurzel draus ist $6_$
Jetzt kannst du die anderen auch noch rechnen, ebenso für die Lagebestimmung:
[mm] $v_1*v_2$, $v_1*v_3$ [/mm] und [mm] $v_2*v_3$
[/mm]
Die sollten alle 0 geben, womit dann gezeigt ist, dass sie orthogonal (senktrecht) aufeinander stehen.
> b)man stelle die vektoren [mm]e_{i}[/mm] als linearkombinationen
> der vektoren
> [mm]v_{1},v_{2},v_{3}dar.
[/mm]
Ja, das ist dann recht einfach. Zum Beispiel:
[mm] $e_1=\alpha v_1 [/mm] + [mm] \beta v_2 [/mm] + [mm] \gamma v_3$
[/mm]
Da musst du nur die gegebenen Werte für die [mm] $v_i$ [/mm] einsetzen:
[mm] $e_1=\alpha (4e_{1}+4e_{2}-2e_{3}) [/mm] + [mm] \beta (4e_{1}-2e_{2}+4e_{3}) [/mm] + [mm] \gamma (-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3})$
[/mm]
Ein wenig rechnen, und du erhältst:
[mm] $e_1=(4\alpha+4\beta-2\gamma)e_1+(4\alpha-2\beta+4\gamma)e_2+(-2\alpha+4\beta+4\gamma)e_3$
[/mm]
Weil die Darstellung eindeutig sein muss, kannst du daraus wieder ein Gleichungssystem machen:
[mm] $4\alpha+4\beta-2\gamma=1$
[/mm]
[mm] $4\alpha-2\beta+4\gamma=0$
[/mm]
[mm] $-2\alpha+4\beta+4\gamma=0$
[/mm]
Das brauchst du nur nach den griechischen Zahlen aufzulösen.
Das Gleiche natürlich dann auch für [mm] $e_2$ [/mm] und für [mm] $e_3$
[/mm]
Du wirst feststellen, dass die Gleichungssysteme alle ähnlich sind, weshalb dann die Idee, das alles mit einem einzigen Aufwisch zu lösen, schon kommt. Das führt dann wohl zu den Verfahren mit den Matrizen.
Wenn man davon aber noch nicht so viel kennt, sollte man das doch zuerst ohne machen. Die Erkenntnisse und Beweggründe werden dann klarer!
>
> die losung zu b) ist:
> [mm]e_{1}= \bruch{1}{18}(2v_{1}+2v_{2}-v_{3}),
[/mm]
> [mm]e_{1}= \bruch{1}{18}(2v_{1}-v_{2}+2v_{3}),
[/mm]
>
> [mm]e_{1}= \bruch{1}{18}(-v_{1}+2v_{2}+2v_{3})
[/mm]
>
> aber ich weiß nicht wie man darauf kommt
ja, auf diese Lösungen solltest du mit meiner Methode kommen... 
Ich hoffe, ich habe dir ein Wenig Klarheit gebracht.
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:25 Sa 04.12.2004 | | Autor: | wizzar |
trotz einer beachtlich umfangreichen antwort wuerde ich vielleicht noch hinzufuegen dass die laenge, auch als betrag [mm] (|\vec{v}|) [/mm] bezeichnet, eines vektors [mm] \vec{v} [/mm] = [mm] \vektor{ x_{v} \\ y_{v} \\ z_{z} } [/mm] auch einfacher/schneller zu berechnen ist: [mm] |\vec{v}| [/mm] = [mm] \wurzel[2]{ x^{2} + y^{2} + z^{2} }
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:34 So 05.12.2004 | | Autor: | Paulus |
trotz der Kürze ist diese Anmerkung völlig unsinnig und unangebracht!
[mm] $e_1$ [/mm] zum Beispiel hat ja bezüglich der neuen Basis die Koordinaten
[mm] $\vektor{\bruch{1}{9}\\\bruch{1}{9}\\\bruch{-1}{18}}$
[/mm]
Wenn man das nach deiner Formel berechnet, erhält man eine Länge von [mm] $\bruch{1}{6}$
[/mm]
Gerade wenn eine Aufgabe sich mit einer Basistransformation beschäftigt, sollte man, so man denn nicht nur gelesen, sondern auch mitgedacht hat, am Schluss nicht einen solchen Unsinn hinschreiben!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:45 So 05.12.2004 | | Autor: | wizzar |
schande ueber mein haupt....
tut mir leid, ich hab wirklich nicht genauer hingeschaut... was ich geschrieben habe ist bloedsinn... :(
danke fuer die korrektur
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:59 So 05.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
vielen dank für eine so aus fuhrliche antwort aber ich würde doch gerne
wissen ob sich nicht noch was vereinfachen lasst mit matrizen rechnung
da ihr nicht davon ausgegangen seid das ich das schon gehort habe .
auserdem habe ich noch ein wenig probleme mit der stelle wo [mm] e_{1}
[/mm]
berechnet wird der ubergang ist nicht ganz klar von
[mm] e_{1}= \alpha(4e_{1}+4e_{2}-2e_{3})+ \beta(4e_{1}-2e_{2}+4e_{3})+\gamma(-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3})
[/mm]
das [mm] \alpha,\beta [/mm] und [mm] \gamma [/mm] in die klammer reinmultip. werden ist ja klar aber wiso steht [mm] e_{1},e_{2}unde_{3}jetzt [/mm] ausgelammert??
[mm] e_{1}= (4\alpha+4e-\beta2e_{3})e_{1}+ \beta(4\alpha-2\beta+4\gamma)e_{2}+(-2\alpha+4\beta+4\gamma)e_{3}
[/mm]
das ausklammern von e1 und e2 und e3 verstehe ich nicht in den klammern steht doch auch e1 e2 und e3 die kann ich doch zb in der ersten klammer nicht zu e1 zusammen fassen und ausklammern???
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:33 Mo 06.12.2004 | | Autor: | Paulus |
Lieber ghostdog
> vielen dank für eine so aus fuhrliche antwort aber ich
> würde doch gerne
> wissen ob sich nicht noch was vereinfachen lasst mit
> matrizen rechnung
> da ihr nicht davon ausgegangen seid das ich das schon
> gehort habe .
Ich muss leider im Moment passen, da ich selber in einem Seminar sitze und fast keine Zeit habe. Ich glaube, dazu braute es etwas mehr Zeit.
Falls du noch bis am Sonntag warten kannst, dann teile mir das bitte mit. Dann unternehme ich einen Versuch...
> auserdem habe ich noch ein wenig probleme mit der stelle
> wo [mm]e_{1}
[/mm]
> berechnet wird der ubergang ist nicht ganz klar von
>
> [mm]e_{1}= \alpha(4e_{1}+4e_{2}-2e_{3})+ \beta(4e_{1}-2e_{2}+4e_{3})+\gamma(-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3})
[/mm]
>
> das [mm]\alpha,\beta[/mm] und [mm]\gamma[/mm] in die klammer reinmultip.
> werden ist ja klar aber wiso steht [mm]e_{1},e_{2}unde_{3}jetzt[/mm]
> ausgelammert??
>
ich habe ja geschrieben: ein bisschen rechnen!
also zuerst hineinmultiplizieren:
[mm] $e_{1}= \alpha(4e_{1}+4e_{2}-2e_{3})+ \beta(4e_{1}-2e_{2}+4e_{3})+\gamma(-2e_{1}+4e_{2}+4e_{3})=$
[/mm]
[mm] $4\alpha e_{1}+4\alpha e_{2}-2\alpha e_{3}+ 4\beta e_{1}-2\beta e_{2}+4\beta e_{3}-2\gamma e_{1}+4\gamma e_{2}+4\gamma e_{3}$
[/mm]
Jetzt einfach das Kommutativgesetz anwenden (Summanden umsortieren):
[mm] $4\alpha e_{1} [/mm] + [mm] 4\beta e_{1} [/mm] - [mm] 2\gamma e_{1} [/mm] + [mm] 4\alpha e_{2} [/mm] - [mm] 2\beta e_{2} [/mm] + 4 [mm] \gamma e_{2} [/mm] - [mm] 2\alpha e_{3} [/mm] + 4 [mm] \beta e_{3} +4\gamma e_{3})$
[/mm]
... und dann noch ausklammern
Und jetzt kann man eben schliessen, dass die Ausdrücke in den Klammern einzeln alle Null sein müssen, weil nach Voraussetzung die Vektooren [mm] $e_1$ [/mm] bis [mm] $e_3$ [/mm] linear unabhängig sind.
> [mm]e_{1}= (4\alpha+4e-\beta2e_{3})e_{1}+ \beta(4\alpha-2\beta+4\gamma)e_{2}+(-2\alpha+4\beta+4\gamma)e_{3}
[/mm]
>
> das ausklammern von e1 und e2 und e3 verstehe ich nicht in
> den klammern steht doch auch e1 e2 und e3 die kann ich doch
> zb in der ersten klammer nicht zu e1 zusammen fassen und
> ausklammern???
>
Ists jetzt klar?
Mit lieben Grüssen
Paul
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:42 Di 07.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
hallo paul vielen dank für deine gedult falls du wochenende zeit noch hast
wäre es nett zu wissen ob diese gleichungen mit ein austauschverfahren oder vieleicht anderen matrizen eigenschaften leichter zu berechen gehen?
gruss ghostdog
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:50 So 05.12.2004 | | Autor: | dominik |
Die Aufgabe lässt sich einfacher lösen:
Gegeben sind die Vektoren :
[mm] \vec v_{1}= 4\vec e_{1}+4 \vec e_{2}-2 \vec e_{3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4\\-2}
[/mm]
[mm] \vec v_{2}= 4\vec e_{1}-2 \vec e_{2}+4 \vec e_{3} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ -2\\4}
[/mm]
[mm] \vec v_{3}=-2\vec e_{1}+4 \vec e_{2}+4 \vec e_{3} [/mm] = [mm] \vektor{-2 \\ 4\\4}
[/mm]
[mm] a_{1}) [/mm] Man zeige, dass die Vektoren linear unabhängig sind:
Überprüfen, ob sich irgend einer der drei Vektoren durch die andern beiden ausdrücken lässt, zum Beispiel:
[mm] \vec v_{1}= [/mm] a [mm] \cdot\ \vec v_{2} [/mm] + b [mm] \cdot\ \vec v_{3} \gdw
[/mm]
[mm] \vektor{4 \\ 4\\-2} [/mm] = a [mm] \cdot\ \vektor{4 \\ -2\\4} [/mm] + b [mm] \cdot\ \vektor{-2 \\ 4\\4} \gdw
[/mm]
I 4 = 4a - 2b I-III: 6 = -6b [mm] \Rightarrow [/mm] b = -1
II 4 = -2a + 4b I+2*II: 12 = 6b [mm] \Rightarrow [/mm] b = 2
III -2 = 4a + 4b
Da für b zwei verschiedene Werte entstehen, gibt es keine Linearkombination für die drei Vektoren [mm] (v_{1} [/mm] kann durch [mm] v_{2} [/mm] und [mm] v_{3} [/mm] nicht ausgedrückt werden). Somit sind die Vektoren linear unabhängig.
[mm] a_{2}) [/mm] Besondere Eigenschaften und gegenseitige Lage:
Hier kommt wizzars Anmerkung (siehe "Anmerkung") zum Tragen, die alles andere als ein Blödsinn ist! Der Betrag eines Vektors ist desssen Länge, entspricht der Raumdiagonale eines Quaders und wird mit Hilfe des Satzes von Pythagoras bestimmt: [mm] \vec v_{i} [/mm] = [mm] \vektor{a\\ b\\c} \Rightarrow \vmat{\vec v_{i}} [/mm] = [mm] \wurzel{{a^2} + b^{2} + c^{2}}.
[/mm]
Da alle drei Vektoren die gleichen Komponenten 4, 4, -2 haben, sind sie gleich lang: [mm] \vmat{v_{i}} [/mm] = [mm] \wurzel{{4^2} + 4^{2} + 2^{2}}. [/mm] Wegen des Quadrierens muss nicht einmal auf die Vorzeichen geachtet werden.
Die drei Skalarprodukte ergeben 0 und zeigen damit, dass die Vektoren paarweise senkrecht auf einander stehen:
[mm] \vec v_{1}\cdot\ \vec v_{2} [/mm] = [mm] \vektor{4 \\ 4\\-2} \cdot\ \vektor{4 \\ -2\\4} [/mm] = 4*4-4*2-2*4 = 16-8-8 = 0; analog für die beiden andern Produkte (immer die gleichen Zahlen).
b) [mm] \vec e_{i} [/mm] als Linearkombination von [mm] \vec v_{1}, \vec v_{2} [/mm] und [mm] \vec v_{3}:
[/mm]
I [mm] \vec v_{1}= 4\vec e_{1}+4 \vec e_{2}-2 \vec e_{3} [/mm]
II [mm] \vec v_{2}= 4\vec e_{1}-2 \vec e_{2}+4 \vec e_{3}
[/mm]
III [mm] \vec v_{3}=-2\vec e_{1}+4 \vec e_{2}+4 \vec e_{3}
[/mm]
[mm] \vec e_{3} [/mm] bestimmen: [mm] \vec e_{1} [/mm] und [mm] \vec e_{2} [/mm] eliminieren: I-II=IV; 2*III+II =V:
IV [mm] \vec v_{1}-\vec v_{2}=6\vec e_{2}-6\vec e_{3}
[/mm]
V [mm] \vec v_{2}+2\vec v_{3}=6 \vec e_{2}+12\vec e_{3}
[/mm]
IV-V [mm] \vec v_{1}-\vec v_{2}-\vec v_{2}-2\vec v_{3}=-18\vec e_{3} \Rightarrow \vec e_{3}=\bruch{1}{18}(-\vec v_{1}+2\vec v_{2}+2\vec v_{3})
[/mm]
[mm] \vec e_{1} [/mm] bestimmen: 2*IV+V:
[mm] 2\vec v_{1}-2\vec v_{2}+\vec v_{2}+2\vec v_{3}=18\vec e_{2} \Rightarrow \vec e_{2}= \bruch{1}{18}(2\vec v_{1}-\vec v_{2}+2\vec v_{3})
[/mm]
[mm] \vec e_{1} [/mm] bestimmen: Gleichung I:
[mm] \vec e_{1}= \bruch{1}{4}(\vec v_{1}-4\vec e_{2}+2\vec e_{3});
[/mm]
anschliessend werden in dieser Gleichung die weiter oben gefundenen Werte eingesetzt.
> die losung zu b) ist:
> [mm]e_{1}= \bruch{1}{18}(2v_{1}+2v_{2}-v_{3}),
[/mm]
> [mm]e_{1}= \bruch{1}{18}(2v_{1}-v_{2}+2v_{3}),
[/mm]
> [mm]e_{1}= \bruch{1}{18}(-v_{1}+2v_{2}+2v_{3})
[/mm]
Schönen Abend noch ...
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:02 So 05.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
da ist noch was unklar ich komme nicht auf die losung b=2 nach der gleichung I+2*II
I+2*II: 12 = 6b [mm] \gdw [/mm] b = 2
die gelichung nach deiner formel müsste lauten
-4+4a-2b=2(2+4a+4b)
-4+4a-2b= 4+8a+8b
und da bekommt man
0=4a+6b????????????
wie kann das sein das du b=2 bekommst
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:55 So 05.12.2004 | | Autor: | dominik |
Also:
die zweite Gleichung lautet:
II 4 = -2a + 4b
diese Gleichung wird mit 2 erweitert (verdoppelt):
II' 8 = -4a + 8b
darunter setze ich die erste Gleichung:
I 4 = 4a - 2b
beide Gleichungen werden addiert:
II'+I 8+4 = -4a + 8b + 4a - 2b
12 = 0 + 6b = 6b
beide Seiten durch 6 teilen
2 = b
Viele Grüsse
dominik
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:01 So 05.12.2004 | | Autor: | ghostdog |
noch kurz eine erleuterung hast du die I-III und 2*II+I
selber hergeleiten damit du eine variable elemenieren kannst
und dann die andere die ubrich bleibt vergleichen kannst?
wenn die variable die ubrich bleibt in beiden gleichungen den selben wert hat heißt das denn es gibt eine nichttribale linear kombination des vektor?? [mm] v_{1}
[/mm]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 So 05.12.2004 | | Autor: | dominik |
Die Vektorgleichung [mm] \vektor{4 \\ 4\\-2}=\vektor{4 \\ -2\\4}a+\vektor{-2 \\ 4\\4}b [/mm] kann auch in drei Komponentengleichungen dargestellt werden, indem man die Klammern weglässt und jede der drei Zeilen I,II und III "für sich" darstellt:
I 4 = 4a - 2b
II 4 = -2a + 4b
III -2 = 4a + 4b
Anschliessend eliminiert man aus diesem Gleichungssystem entweder a oder b und bestimmt die andere Grösse b oder a. Da sich in diesem Fall hier aus den beiden Kombinationen I-III und I+2*II für b zwei veschiedene Werte ergeben, hat das Gleichungssystem keine Lösung. (Ein einziger Wert für b und ein einziger für a müssten in allen drei Gleichungen zugleich passen.) Das heisst, kein Vektor lässt sich durch die beiden andern ausdrücken, was wiederum bedeutet, dass die drei Vektoren eine mögliche Basis des dreidimensionalen Raumes bilden, wie die bekanntesten [mm] \vec e_{1}, \vec e_{2}, \vec e_{3}.
[/mm]
Gäbe es je einen einzigen Wert für a und einen einzigen Wert für b, die alle drei Gleichungen erfüllen, wären die drei Vektoren linear abhängig, da man den einen durch die beiden andern ausdrücken könnte. Es sähe dann zum Beispiel so aus (die Zahlen sind erfunden):
[mm] \vec v_{2} [/mm] = [mm] 2\dot\ \vec v_{1}-5\dot\ \vec v_{3}.
[/mm]
In diesem Fall lägen alle drei Vektoren in einer Ebene, wären also komplanar.
Viele Grüsse
dominik
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