matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenReelle Analysis mehrerer Veränderlichenvektorgradient
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen" - vektorgradient
vektorgradient < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

vektorgradient: produk-/kettenregel gradienten
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:08 Mi 11.12.2019
Autor: nadrosch

Aufgabe
Seien f:Rn→R und g:Rn→R \ {0} differenzierbar. Zeigen Sie
grad~x(f/g)=(g(~x)*grad~x(f)−f(~x) grad~x(g)) / g2(~x)
für alle~x∈Rn.

Ich weiß, dass ich bei dieser Aufgabe Ketten und oder Produktregel für gradienten anwenden muss
z.B. grad(f/g)
Kettenregel:
h(t)=t/g  h'(t)=1/g=g^-1

grad(h°f)= h'(f(x))*grad(f(x)) da h' nicht von t abhängt und somit auch nicht von f(x) weiß ich nicht weiter

Aus dem angegebenen Ergebniss würde ich auch vermuten das die Produktregel anwendung findet also grad(f * 1/g)= An dieser stelle komme ich nicht weiter durch das 1/g.

Wäre für einen Tipp sehr dankbar.
MFG
nadrosch

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
vektorgradient: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:05 Do 12.12.2019
Autor: fred97


> Seien f:Rn→R und g:Rn→R \ {0} differenzierbar. Zeigen
> Sie
>  grad~x(f/g)=(g(~x)*grad~x(f)−f(~x) grad~x(g)) / g2(~x)
>  für alle~x∈Rn.



Puuh, das ist schwer zu lesen... Ich vermute, dass mit ~x  der Vektor [mm] \vec{x} [/mm] gemeint ist.  In meinen Ausführungen weiter unten lasse ich den (bekloppten) Pfeil weg und schreibe nur x statt [mm] \vec{x}. [/mm]



>  Ich weiß, dass ich bei dieser Aufgabe Ketten und oder
> Produktregel für gradienten anwenden muss
>  z.B. grad(f/g)
>  Kettenregel:
>  h(t)=t/g  h'(t)=1/g=g^-1
>  
> grad(h°f)= h'(f(x))*grad(f(x)) da h' nicht von t abhängt
> und somit auch nicht von f(x) weiß ich nicht weiter
>  
> Aus dem angegebenen Ergebniss würde ich auch vermuten das
> die Produktregel anwendung findet also grad(f * 1/g)= An
> dieser stelle komme ich nicht weiter durch das 1/g.
>  
> Wäre für einen Tipp sehr dankbar.

Es geht ganz einfach mit der Quotientenregel für Funktionen einer Variablen und etwas Vektorrechnung:

Setzen wir $h:= [mm] \frac{f}{g}.$ [/mm] Dann ist

       $ [mm] (\star) \quad grad_x h(x)=(h_{x_1}(x),...., h_{x_n}(x))^T.$ [/mm]


Die partielle Ableitung [mm] h_{x_i} [/mm] bekommt man mit der Produktregel für Funktionen einer Variablen:

      $ [mm] h_{x_i}(x)= \frac{g(x)f_{x_i}(x)-f(x)g_{x_i}(x)}{g(x)^2}.$ [/mm]

Nun setze dies in [mm] $(\star)$ [/mm] ein, fasse noch etwas zusammen, dann solltest Du das gewünschte Resultat erhalten.


>  MFG
>  nadrosch
>  
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.


Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Reelle Analysis mehrerer Veränderlichen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]