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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 09:08 Mi 16.04.2008 | | Autor: | babsbabs |
| Aufgabe | | Sei V = [mm] \IC^3, [/mm] U = {(z1,z2,z3) [mm] \in [/mm] V | z1 - z2 = z3}, W = {(z1,z2,z3) [mm] \in [/mm] V | z2 = z1}. Zeigen Sie, daß U und W Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension. |
Also ich hab mal so angefangen:
der Vektor zu U sieht so aus:
= [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1}*(z1,z2,z3)=0
[/mm]
(ist mein n)
zu W:
= [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}*(z1,z2,z3)=0
[/mm]
So jetzt muss ich zeigen, dass:
[mm] \vec{x}, \vec{y} \in [/mm] U [mm] \Rightarrow \vec{x}*\vec{n} [/mm] = 0 = [mm] \vec{y}*\vec{n}
[/mm]
[mm] (\vec{x}+ \vec{y})*\vec{n}=\vec{x}*\vec{n}+\vec{y}*\vec{n}=0+0=0
[/mm]
[mm] (\lambda\vec{x})*\vec{n}=\lambda(\vec{x}*\vec{n})=\lambda*0=0
[/mm]
ok v und w sind unterräume
jetzt noch dimension feststellen:
k * [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1}
[/mm]
l * [mm] \vektor{-1 \\ 1 \\ 0}
[/mm]
daraus bastle ich mir ein gleichungssystem:
k - l = 0
-k + l = 0
k = 0
wenn ich ausrechne kommt raus k = 0; l = 0;
also ich hab zwei linear unabhängige Vektoren - dh dim 2
stimmt das so weit???
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> Sei V = [mm]\IC^3,[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
U = {(z_1,z_2,z_3) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | z_1 - z_2 = z_3}, W =
> {(z_1,z_2,z_3) [mm]\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
V | z_2 = z_1}. Zeigen Sie, daß U und W
> Teilräume von V sind und bestimmen Sie deren Dimension.
> Also ich hab mal so angefangen:
>
> der Vektor zu U sieht so aus:
Hallo,
Du möchtest also beschreiben, wie die Vektoren aussehen, die in U liegen.
>
> = [mm]\vektor{1 \\ -1 \\ -1}*(z1,z2,z3)=0[/mm]
Ich verstehe schon, was Du sagen möchtest: Du möchtest sagen, daß in U die Vektoren sind, deren Skalarprodukt mit [mm] \vektor{1 \\ -1 \\ -1} [/mm] 0 ergibt.
Allerdings sehe ich hier zwei Probleme:
1. Ich glaube gar nicht, daß das Skalarpodunkt bei Euch schon eingeführt wurde, es steht Dir also nicht zur Verfügung. (Achtung: Skalarprodukt ist was anderes als die Multiplikation mit Skalaren.)
2. Du weißt immer noch nicht, wie die Vektoren aussehen, die in U sind, denn wir interssieren uns ja für die Machart der [mm] \vektoren{z_1\\z_2\\z_3}.
[/mm]
Damit es weitergeht, sag ich Dir jetzt mal, wie die Elemente der Menge aussehen:
U enthält alle Vektoren der Gestalt [mm] \vektoren{z_1\\z_2\\z_1-z_2} [/mm] mit [mm] z_1, z_2 \in \IC.
[/mm]
Wenn Du nun überprüfen möchtest, ob das ein Unterraum ist vom [mm] \IC^3, [/mm] mußt Du nachschauen, ob
1. U eine nichtleere Teilmenge vom [mm] \IC^3 [/mm] ist (ein konkretes Element angeben)
2. ob für alle [mm] a:=\vektoren{a_1\\a_2\\a_3}, b:=\vektoren{b_1\\b_2\\b_3}\in [/mm] U auch die Summe a+b in U liegt.
3. ob für alle [mm] a:=\vektoren{a_1\\a_2\\a_3}\in [/mm] U und für alle [mm] \lambda \in [/mm] ...- (hier kommst's jetzt darauf an, ob Ihr den [mm] \IC^3 [/mm] als VR über [mm] \IR [/mm] oder über [mm] \IC [/mm] betrachtet, was später bei der Dimension auch nochmal eine Rolle spielt)
[mm] \lambda*a [/mm] auch in U liegt.
Wenn Du gezeigt hast, daß der U ein UVR ist, kannst Du über die Dimension nachdenken.
Hierfür überlege Dir zunächst, wie Du die Vektoren der Gestalt [mm] \vektor{z_1\\z_2\\z_1-z_2} [/mm] als Linearkombination zweier Vektoren (die keine Variablen enthalten) schreiben kannst.
(Mal ein kleiner Tip, ein Beispiel: [mm] \vektor{2a+3b \\ b}=\vektor{2a \\ 0}+ \vektor{3b \\ b}=a\vektor{2 \\ 0}+ b\vektor{3 \\ 1}.)
[/mm]
Ich hoffe, daß Du jetzt der Lösung näherkommst.
Gruß v. Angela
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