verallgemeinerte Ableitung < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Die Funktion $.u: [mm] \Omega \rightarrow [/mm] R$ besitzt die verallgemeinerte Ableitung $v: [mm] \Omega \rightarrow [/mm] R$ nach [mm] $x_j$, [/mm] wenn für alle [mm] $\phi \in C_0^\infty$ [/mm] gilt:
[mm] $\int_{\Omega} v(x=\phi(x) [/mm] dx = - [mm] \int_{\Omega} u(x)\frac{\partial}{\partial x_j}\phi(x)dx. [/mm]
|
Hallo,
Irgendwie ist mir nicht so klar was das jetzt für eine Konsequenz hat und wie eine verallgemeinerte Ableitung nun aussieht.
Gruß
Alice
|
|
| |
|
Hallo Alice,
das ist ein interessantes, aber auch umfangreiches und tiefgehendes thema... (stichwort sobolev-räume). Ich kann dir nicht in ein paar zeilen verständnis dafür verschaffen (dazu solltest du dir eine einführung in das thema im netz suchen), aber vielleicht ein paar kleine hinweise geben.
- mache dir zunächst klar, dass für differenzierbare funktionen die verallgemeinerte ableitung mit der klassischen ableitung übereinstimmt. und zwar aufgrund der regel der partiellen integration.
- in der (distributionellen) definition der schwachen ableitung tritt die klassische ableitung nicht auf. es kann also funktionen geben, die schwach aber nicht stark diffbar sind.
- als beispiel nimm die betragsfunktion $f(x)=|x|$ auf $[0,1]$. Hast du eine idee, wie die schwache ableitung aussehen könnte? Kannst du das rechnerisch beweisen? 
VG
Matthias
|
|
|
| |
|
Hallo Matthias,
vielen Dank für die Antwort.
Weiß nicht, da bin ich glaub ich zu blöd für.
Irgendwie scheint es eine Art Erweiterung zu sein, da man $|x|$ auf der rechten Seite integriert. Aber so wirklich klar ist mir das nicht. In der Betragsfunktion ist natürlich die Stelle 0 das Problem. Vielleicht ist die schwache Ableitung einfach auch 1?!
Gruß
Alice
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 10:52 Fr 21.04.2006 | | Autor: | MatthiasKr |
Hallo Alice,
gehe doch einfach mal von der rechten seite der definition aus. Am liebesten würde man direkt partiell integrieren, aber das geht leider nicht, weil die betragsfunktion in 0 nicht diffbar ist. Was kann man dagegen tun? zB. das Integral in zwei Teilintegrale aufsplitten, $[-1,0]$ und $[0,1]$.... Dann kannst du beide integrale partiell integrieren. Allerdings musst du aufpassen, weil du dann randterme erhältst. Versuchs mal!
VG
Matthias
|
|
|
|
