verschieben,strecken,... < Trigonometr. Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=3 [mm] sin(2x-\pi/2). [/mm] Wie entsteht K aus dem Schaubild der Sinusfunktion? |
Hallo zusammen,
es tut mir leid, dass ich euch deswegen tyranisiere, aber ich möchte es wirklich verstehen.
Ausgangssituation: f(x)=sin(x)
1. Streckung in x-Richtung um Faktor 0,5
[mm] f_1(x)=f(2 [/mm] x)=sin(2x)
2. Verschiebung in x-Richtung um [mm] \bruch{\pi}{4} [/mm] nach rechts
[mm] f_2(x)=f_1(x-\bruch{\pi}{4})=sin(2 \cdot (x-\bruch{\pi}{4}))=sin(2x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
3. Streckung in y-Richtung um Faktor 3
[mm] f_3=3 \cdot f_2(x)=3 sin(2x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Alternative:
Ausgangssituation: f(x)=sin(x)
1. Verschiebung in x-Richtung um [mm] \bruch{\pi}{2} [/mm] nach rechts
[mm] f_1(x)=f(x-\bruch{\pi}{2})=sin(x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
2. Streckung in x-Richtung um Faktor 0,5
[mm] f_2(x)=f_1(2 \cdot x)=sin(2x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
3. Streckung in y-Richtung um Faktor 3
[mm] f_3=3 \cdot f_2(x)=3 sin(2x-\bruch{\pi}{2})
[/mm]
Stimmt das so nun?
|
|
| |
|
Hallo,
> Gegeben ist die Funktion f mit f(x)=3 [mm]sin(2x-\pi/2).[/mm] Wie
> entsteht K aus dem Schaubild der Sinusfunktion?
> Hallo zusammen,
> es tut mir leid, dass ich euch deswegen tyranisiere, aber
> ich möchte es wirklich verstehen.
> Ausgangssituation: f(x)=sin(x)
> 1. Streckung in x-Richtung um Faktor 0,5
> [mm]f_1(x)=f(2[/mm] x)=sin(2x)
>
> 2. Verschiebung in x-Richtung um [mm]\bruch{\pi}{4}[/mm] nach
> rechts
> [mm]f_2(x)=f_1(x-\bruch{\pi}{4})=sin(2 \cdot (x-\bruch{\pi}{4}))=sin(2x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> 3. Streckung in y-Richtung um Faktor 3
> [mm]f_3=3 \cdot f_2(x)=3 sin(2x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
Korrekt. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Alternative:
> Ausgangssituation: f(x)=sin(x)
> 1. Verschiebung in x-Richtung um [mm]\bruch{\pi}{2}[/mm] nach
> rechts
> [mm]f_1(x)=f(x-\bruch{\pi}{2})=sin(x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> 2. Streckung in x-Richtung um Faktor 0,5
> [mm]f_2(x)=f_1(2 \cdot x)=sin(2x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
Nein, das ist ab hier falsch. In dem Moment, in dem nicht mehr das gesamte Argument des Sinus multipliziert wird, würdest du hier zwei Dinge gleichzeitig tun: in x-Richtung strecken und verschieben (was ja auch gewünscht ist, da die Verschiebung insgesamt [mm] \pi/4 [/mm] beträgt).
>
> 3. Streckung in y-Richtung um Faktor 3
> [mm]f_3=3 \cdot f_2(x)=3 sin(2x-\bruch{\pi}{2})[/mm]
>
> Stimmt das so nun?
Wie gesagt: bei 2) hast du die Wirkung der Multiplikation von x falsch beschrieben. Ist dir nicht klar geworden, dass sich deine beiden Vorgehensweisen hinsichtlich der Verschiebung in x-Richtung widersprechen?
Die erste Möglichkeit ist hier sicherlich die zielführende.
Es ist dies ja ein beliebter Aufgabentyp und er ist ein wenig erklärungsbedürftig. Diese Aufgaben sind im Rahmen des Gymnasiums in meinen Augen ein Relikt aus (besseren) Zeiten, in denen es noch keine grafikfähigen Taschenrechner in der Schule und insbesondere noch viel mehr Geometrie in den Lehrplänen gab.
Unter anderem hat man sich in der analytischen Geometrie früher mit den sog. affinen Abbildungen beschäftigt. Was das genau ist zu erklären, würde hier jetzt zu weit führen. Es ist eine Obermenge der Kongruenzabbildungen, d.h. Translationen (Verschiebungen) gehören u.a. dazu, ebenso Spiegelungen. Und auch Streckungen an einer sog. Affinitätsachse gehören dazu. Die drei genannten Abbildungen lassen sich auf Funktionen vom Typ f: [mm] \IR\to\IR [/mm] besonders einfach anwenden (mit einer der Koordinatenachsen als Affinitätsachse):
Gegeben sei eine Funktion y=f(x), der Einfachheit halber vom Typ [mm] \IR\to\IR, [/mm] also auf der gesamten x-Achse definiert. Dann kann man:
i) Verschieben in y-Richtung:
[mm] f_1=f(x)+c
[/mm]
ii) Verschieben in x-Richtung:
[mm] f_2=f(x-c)
[/mm]
iii) Spiegeln an der x-Achse:
[mm] f_3(x)=-f(x)
[/mm]
iv) Spiegeln an der y-Achse:
[mm] f_4(x)=f(-x)
[/mm]
v)Strecken in Richtung der y-Achse:
[mm] f_5(x)=c*f(x)
[/mm]
vi) Strecken in Richtung der x-Achse:
[mm] f_6(x)=f(c*x)
[/mm]
jeweils mit einem geeigneten c. Das Prinzip ist also bei den genannten Abbildungen stets das gleiche, das ist vom Typ der Funktion unabhängig. Nur die Bedeutung, die das ganze hat, die hängt dann auch noch vom Typ der Funktion ab. Also bspw., das eine Streckung in x-Richtung eine Periodenlänge ändert, setzt natürlich eine periodische Funktion voraus, usw.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
Mein Problem liegt hier:
f(cx)
Muss ich hier also das gesamte Argument im sinus mit der 2 multiplizieren, also anstelle
f(2x)=sin(2x- [mm] \bruch{\pi}{2})
[/mm]
dann (zuerst verschieben um [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm]
f(2x)=sin(2(x- [mm] \bruch{\pi}{2}))
[/mm]
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Mein Problem liegt hier:
> f(cx)
> Muss ich hier also das gesamte Argument im sinus mit der 2
> multiplizieren, also anstelle
> f(2x)=sin(2x- [mm]\bruch{\pi}{2})[/mm]
> dann (zuerst verschieben um [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm]
> f(2x)=sin(2(x- [mm]\bruch{\pi}{2}))[/mm]
Ja genau. Wenn du nur das x multiplizierst, bekommstdu zwar auch die gewünschte Streckung/Stauchung in x-Richtung, verschiebst das Schaubild jedoch gleichzeitig Ungewollt in Richtung der x-Achse.
Gruß, Diopahnt
|
|
|
| |
|
Hallo...
also das mit dem gesamten Argument im sinus ersetzen widerspricht mir total, denn bei f(2x) ersetzt man ja das x durch das 2x und nicht den gesamten Ausdruck im sinus drin. Das widerspricht auch der Musterlösung von dieser Aufgabe hier: http://www.matheforum.net/read?t=1026271.
|
|
|
| |
|
Hallo,
> Hallo...
> also das mit dem gesamten Argument im sinus ersetzen
> widerspricht mir total, denn bei f(2x) ersetzt man ja das x
> durch das 2x und nicht den gesamten Ausdruck im sinus drin.
Probnier es halöt aus...
> Das widerspricht auch der Musterlösung von dieser Aufgabe
> hier: http://www.matheforum.net/read?t=1026271.
Dort wurde dir eine falsche Lösung dann als richtig bestätigt. Anstgatt dich mit immer gleichen Auifgaebn im Kreis zu drehen solltest du sl langsam mal damit beginnen, das ganze gedanklich zu verarbeiten.
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:57 Sa 21.06.2014 | | Autor: | Sax |
Hi Diophant,
zwei Bemerkungen zu deinen Ausführungen :
1. Die Lösung des Fragestellers ist doch völlig richtig, es gibt nichts daran auszusetzen.
Es ist eben je nach Anwendungssituation sinnvoller, z.B. eine Schwingungsgleichung mal als s(t) = [mm] s_0*cos (\omega\,t-\varphi) [/mm] oder als s(t) = [mm] s_0*cos (\omega\,(t-t_0)) [/mm] zu schreiben.
2. In deiner Aufstellung wechselst du zwischen i. und ii. das Vorzeichen von c nicht.
Konsequenterweise solltest du dann vi. mit dem Faktor 1/c schreiben.
Gruß Sax.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 So 22.06.2014 | | Autor: | Diophant |
Hallo Sax,
> Hi Diophant,
>
> zwei Bemerkungen zu deinen Ausführungen :
>
> 1. Die Lösung des Fragestellers ist doch völlig richtig,
> es gibt nichts daran auszusetzen.
> Es ist eben je nach Anwendungssituation sinnvoller, z.B.
> eine Schwingungsgleichung mal als s(t) = [mm]s_0*cos (\omega\,t-\varphi)[/mm]
> oder als s(t) = [mm]s_0*cos (\omega\,(t-t_0))[/mm] zu schreiben.
Die erste LÖsung ist korrekt. Bei der Alternativlösung ist die Wirkung der Multiplikation falsch geschrieben. In deiner ersten Version der Schwingungsgleichung würde eine Änderung von [mm] \omega [/mm] eine Änderung der Periode und eine Verschiebung in x-Richtung bewirken!
>
> 2. In deiner Aufstellung wechselst du zwischen i. und ii.
> das Vorzeichen von c nicht.
> Konsequenterweise solltest du dann vi. mit dem Faktor 1/c
> schreiben.
>
Ja, das war mit der heißen Nadel gestrickt. Daher habe ich jedoch am Ende geschrieben jeweils für geeignetes c 
Gruß, Diophant
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:12 Sa 21.06.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Zur Wirkund der Parameter schau mal unter ![[]](/images/popup.gif) mathenexus.zum.de.
Dort hast du eine schöne Erklärung dazu.
Diese Grundregeln gelten dann auch für die Kosinusfunktion.
Marius
|
|
|
|
