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Hi,
ich bin heute auf ein Problem in der Stochastik gestoßen. Es war folgende Aufgabe gegeben:
Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit zu gewinnen, wenn man vier Fragen zur auswahl hat, alle beantworten muss, aber nur zwei Antworten richtig sein müssen. Ich hatte eine Gewinnwahrscheinlichkeit von 26,17% herausbekommen mithilfe eines "Wahrscheinlichkeitsbaumes".
Bei einer normalen Quizshow hätte man eine Chance von 25%. Wieso ist aber die Differenz nur so gering? Sie müsste doch eigentlich um einiges Größer sein.. Mathematisch ist es mir klar, wie man zu diesem Ergebnis kommt, aber rein vom Verständniss her verstehe ich es nicht.
Ich habe noch eine weitere Frage. Bei diesem Beispiel gilt es mindestens zwei von 4 Fragen richtig zu beantworten. Das wäre bei der Mindestanzahl von richtigen Antworten ein Verhältniss von 2 zu 4. Würde man dies kürzen käme man auf 1 zu zwei. Wenn man dort aber die Wahrscheinlichkeit ausrechnet, kommt man auf ein völlig anderes Ergebnis. Wie ist dies zu erklären?
Würde mich über eine Antwort sehr Freuen!
Grüße
WaterofLife
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:12 Fr 08.09.2006 | | Autor: | unixfan |
Zur 1. Aufgabe: Mich würde interessieren, wie Du auf die 26,17% kommst. Also ich nehme mal an Du gehst davon aus, dass jede Frage mit 50% Wahrscheinlichkeit richtig beantwortet wird. Wenn ich jetzt so ein "Baumdiagramm" erstelle hab ich bei jeder Abzweigung 0,5 stehen. D.h. die Wahrscheinlichkeit für jeden beliebigen Ablauf ist [mm] 0,5^4.
[/mm]
Jetzt muss ich mir nur die "guten" Abläufe mit [mm] \geq [/mm] 2 richtigen Antworten raussuchen, da komme ich auf 11 und das gibt 68,75%.
Oder auch bißchen formeller mit der Binomialverteilung:
[mm] P = \sum\limits_{k=2}^4 {4 \choose k} 0,5^k 0,5^{4-k} = 0,5^4 \sum\limits_{k=2}^4 {4 \choose k} = 11 \cdot 0,5^4 [/mm]
Und warum sollte man bei einer "normalen" Quizshow 25% Wahrscheinlichkeit haben. Was bedeutet "normal"?
Das zweite Beispiel hört sich für mich genauso an wie das erste.
Aber: Du darfst auf keinen Fall einfach so die Anzahl "kürzen". Mindestens 2 von 4 heißt 2,3 oder 4 (3 Fälle) Wenn Du das jetzt "kürzt", dann sagst Du mindestens 1 von 2, also 1 oder 2 (2 Fälle). Aber 3 Fälle aus 5 möglichen (0,1,2,3,4) sieht doch schonmal ganz anders aus als 2 Fälle aus 3 möglichen.
Aber selbst bei genau 2 von 4 Spielen kann man nicht "kürzen". Überleg Dir mal folgendes: 10000 Spiele und genau 5000 davon sollen erfolgreich sein ist erheblich unwahrscheinlicher als genau ein erfolgreiches Spiel bei 2 Spielen.
Das könnte man jetzt sicher noch viel besser und genauer erklären.....
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Hi,
deine Erklärung mit dem Kürzen habe ich leider, trotz mehrmaligen Lesens, nicht ganz verstanden. Wenn man beispielsweise ein KopfZahlexperiment veranstalltet und das Ergebniss 500 Kopf und 500 Zahl dann kann man ja sagen, es waren 1000 Münzen und davon waren 500 Kopf. Also ist die Wahrscheinlichkeit Kopf 500 zu 1000. Da dürfte man doch auch kürzen...
Es geht darum, dass man bei einer normalen Quizshow eine Frage gestellt bekommt. Diese muss man richtig beantworten, um eine Runde weiter zu kommen. Die Wahrscheinlichkeit hier richtig zu antworten liegt 1 zu 4. Bei meinem Beispiel, bekommt man vier Fragen gestellt und muss mindestens zwei richtig beantworten, um eine Runde weiterzukommen.
Zu meiner Rechnung:
Es gibt folgende Möglichkeiten am Baumdiagramm:
P(RRRR) = [mm] (\bruch{1}{4})^{4} [/mm]
P(RRRF) insgesamt 4 Möglichkeiten= [mm] (\bruch{1}{4})^{3}* (\bruch{3}{4})*4 [/mm]
P(RRFF) insgesamt 6 Möglichkeiten= [mm] (\bruch{1}{4})^{2}* (\bruch{3}{4})^{2}*6 [/mm]
Alles addiert ergibt dann 26,17%
Wieso ist die Differenz aber so gering?
Grüße
WaterofLife
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:44 Sa 09.09.2006 | | Autor: | unixfan |
> Wenn man
> beispielsweise ein KopfZahlexperiment veranstalltet und das
> Ergebniss 500 Kopf und 500 Zahl dann kann man ja sagen, es
> waren 1000 Münzen und davon waren 500 Kopf. Also ist die
> Wahrscheinlichkeit Kopf 500 zu 1000. Da dürfte man doch
> auch kürzen...
Nein!!!! So einfach geht das nicht!
Du meinst den Erwartungswert. Der ist bei 1000maligem Werfen einer Münze 500, das stimmt. Übrigens gehst Du grad davon aus, dass das Experiment schon durchgeführt ist, wenn Du dann dieses Ergebnis kriegst, dann sagt Dir das nur, dass Du vielleicht annehmen solltest, dass der Erwartungswert 500 ist.
Da bei einer binomial verteilten Zufallsgröße der Erwartungswert Anzahl mal EINZELwahrscheinlichkeit ist, kannst Du daraus ableiten dass die Wahrscheinlichkeit bei einem Einzelexperiment für Kopf/Zahl 0,5 ist.
Aber die Wahrscheinlichkeit, genau 500 mal Kopf zu würfeln ist etwas völlig anderes, genauso wie mindestens mal 500 mal Kopf zu würfeln auch etwas völlig anderes ist.
Schau Dir mal folgendes Bild auf Wikipedia an:
![[]](/images/popup.gif) http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bindis-plain.png
Die blaue "Kurve" zeigt Dir, welche Wahrscheinlichkeiten auftreten, wenn man 64mal eine Münze wirft. (Die "x-Achse" ist die Anzahl von Kopf, die "y-Achse" die Wahrscheinlichkeit für diese Anzahl).
> Es geht darum, dass man bei einer normalen Quizshow eine
> Frage gestellt bekommt. Diese muss man richtig beantworten,
> um eine Runde weiter zu kommen. Die Wahrscheinlichkeit hier
> richtig zu antworten liegt 1 zu 4. Bei meinem Beispiel,
> bekommt man vier Fragen gestellt und muss mindestens zwei
> richtig beantworten, um eine Runde weiterzukommen.
Das ist mir irgendwie nicht so ganz klar. Ist die Wahrscheinlichkeit, eine Frage richtig zu beantworten 25%? Macht das Sinn?
Oder meinst, Du es gibt 4 Runden mit jeweils einer Frage, die man mit 50% richtig beantwortet? Dann wäre die Gewinnwahrscheinlichkeit [mm] 1/2^4 [/mm] = irgendwas sehr kleines aber nicht 25%. Man muss ja dann jede Frage richtig beantworten.
>
> Zu meiner Rechnung:
> Es gibt folgende Möglichkeiten am Baumdiagramm:
> P(RRRR) = [mm](\bruch{1}{4})^{4}[/mm]
>
> P(RRRF) insgesamt 4 Möglichkeiten= [mm](\bruch{1}{4})^{3}* (\bruch{3}{4})*4[/mm]
>
>
> P(RRFF) insgesamt 6 Möglichkeiten= [mm](\bruch{1}{4})^{2}* (\bruch{3}{4})^{2}*6[/mm]
>
Das sieht schonmal sehr gut aus. Das passt aber zu folgender Aufgabe, ich bin nicht sicher ob Du die gemeint hast?:
In einer Quizshow beantwortet man eine Frage mit 25% Wahrscheinlichkeit richtig. Man bekommt 4 Fragen gestellt, von denen man mindestens 2 richtig beantworten muss, um zu gewinnen. Wie ist die Gewinnwahrscheinlichkeit?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:20 So 10.09.2006 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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![[]](http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bindis-plain.png){kind=small}
http://de.wikipedia.org/wiki/Bild:Bindis-plain.png