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| Aufgabe | 1) multilinear: [mm] f(v_{1},...,v_{i-1}, v_{i} [/mm] + [mm] \lambda [/mm] v, [mm] v_{i+1}, [/mm] ..., [mm] v_{n}) [/mm] = [mm] f(v_{1},...,v_{n}) [/mm] + [mm] \lambda f(v_{1},...,v,...,v_{n})
[/mm]
2) alternierende abbildung: [mm] f(v_{1},...,v_{n}) [/mm] = 0 [mm] \gdw [/mm] im n-Tubel 2 gleiche Komponenten auftreten
3) dim Ke f = dim V - rg f |
hi @all!
ad 1:
ich vestehe, dass eine funktion multilinear ist, wenn sie in jedem element linear ist und somit kann ich 1. die funktionswerte teilen und 2. das lambda herausziehen.
was ich jedoch nicht kapiere ist, wie man auf die idee kommt eine funktion so zu definieren. (bitte andere, anschauliche beispiele als die determinante).
ad 2:
wieso ist der funktionswert gleich 0, wenn das tupel 2 gleiche komponenten enthält. und warum kann man das dann auf linear abhängige vektoren (siehe determinante) auch anwenden?
ad 3:
wie kann ich mir die dimension des kerns vorstellen. ist das gleichzusetzen mit der anzahl der nullstellen (können nullstellen linear abhängig sein?)?
thx & greetz
sonnenblumale
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Die Determinante ist das einfachste und anschaulichste Beispiel, etwas Einfacheres wirst du nicht finden.
Nimm die kanonische Basis [mm]e_1,e_2[/mm] des [mm]\mathbb{R}^2[/mm] und betrachte Vektoren [mm](x_1,x_2) = x_1 e_1 +x_2 e_2 \, , \ (y_1,y_2) = y_1 e_1 +y_2 e_2[/mm]. Wenn nun [mm]f[/mm] eine alternierende Multilinearform ist, dann gilt
[mm]f(e_1,e_1) = 0, \ f(e_2,e_2) = 0[/mm]
Ferner gilt
[mm]f(e_1,e_2) = \lambda, \ f(e_2,e_1) = - \lambda[/mm]
mit einem gewissen [mm]\lambda \in \mathbb{R}[/mm].
Deshalb und aufgrund der Multilinearität folgt:
[mm]f \left( x_1,x_2; y_1,y_2 \right) = f(x_1 e_1 + x_2 e_2 , y_1 e_1 + y_2 e_2)[/mm]
[mm]= x_1 y_1 f(e_1,e_1) + x_1 y_2 f(e_1,e_2) + x_2 y_1 f(e_2,e_1) + x_2 y_2 f(e_2,e_2)[/mm]
[mm]= x_1 y_2 \lambda + x_2 y_1 (-\lambda) = \lambda \left( x_1 y_2 - x_2 y_1 \right)[/mm]
Und du siehst, es hat sich bis auf den Faktor [mm]\lambda[/mm] ganz von alleine die Definition einer 2×2-Determinante eingestellt. Deshalb wirst du einfachere Beispiele nicht finden können.
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Hi!
stimmt das beispiel ist anschaulich. danke.
trotzdem glaub ich, dass ich die mathematik lange nicht verstehen werde. hab keinen festen boden unter den füßen, was das angeht.
greetz
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