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Forum "Uni-Numerik" - verträgliche Matrixnorm
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verträgliche Matrixnorm: Idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:21 Fr 25.02.2011
Autor: fagottator

Aufgabe
Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm] || \cdot || [/mm] auf [mm] \IK^n [/mm] durch [mm] ||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm] eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist.

Hallo zusammen.

Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung [mm] ||AB|| \le ||A|| \ ||B|| [/mm] fehlt mir noch. Kann mir jemand einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie folgt gearbeitet: [mm] ||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm] Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der Dreiecksungleichung vorwärts komme.

LG
fagottator

        
Bezug
verträgliche Matrixnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:31 Fr 25.02.2011
Autor: fred97


> Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm]|| \cdot ||[/mm] auf [mm]\IK^n[/mm]
> durch [mm]||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist.
>  Hallo zusammen.
>  
> Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung
> [mm]||AB|| \le ||A|| \ ||B||[/mm]

Diese Ungleichung heißt nicht Dreiecksungleichung !!!!!

> fehlt mir noch. Kann mir jemand
> einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
>  Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie folgt
> gearbeitet: [mm]||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der
> Dreiecksungleichung vorwärts komme.


Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:

           $||Ax|| [mm] \le [/mm] ||A||*||x||$  für jedes x [mm] \in \IK^n [/mm]

(das folgt sofort aus der Definition)

Nimm nun ein x [mm] \in \IK^n [/mm] mit $||x||=1$

Dann:

    $||ABx|| [mm] \le [/mm] ||A||*||Bx|| [mm] \le [/mm] ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||$

Jetzt Du:

   $||AB||= sup  ....  [mm] \le [/mm] ||A||*||B||$

FRED

>  
> LG
>  fagottator


Bezug
                
Bezug
verträgliche Matrixnorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:52 Fr 25.02.2011
Autor: fagottator


> > Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm]|| \cdot ||[/mm] auf [mm]\IK^n[/mm]
> > durch [mm]||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist.
>  >  Hallo zusammen.
>  >  
> > Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung
> > [mm]||AB|| \le ||A|| \ ||B||[/mm]
>
> Diese Ungleichung heißt nicht Dreiecksungleichung !!!!!

Sorry, "Submultiplikativität", oder?

>  
> > fehlt mir noch. Kann mir jemand
> > einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
>  >  Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie
> folgt
> > gearbeitet: [mm]||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der
> > Dreiecksungleichung vorwärts komme.
>  
>
> Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
>  
> [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm]  für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
>  
> (das folgt sofort aus der Definition)
>  
> Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
>  
> Dann:
>  
> [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
>  
> Jetzt Du:
>  
> [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]

[mm] ||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm] (???) Jetzt würde ja [mm] sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B|| [/mm] passen, aber was mache ich mit [mm] sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]? Ich meine da gilt [mm] ||x|| = 1 [/mm] würde [mm] ||A|| = ||A|| \cdot ||x|| [/mm] hinhauen, aber wegen [mm] ||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax|| [/mm] kann ich das ja auch nicht benutzen, oder?

>  
> FRED
>  >  

LG
fagottator  


Bezug
                        
Bezug
verträgliche Matrixnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:01 Fr 25.02.2011
Autor: fred97


> > > Zeigen Sie, dass für jede Vektornorm [mm]|| \cdot ||[/mm] auf [mm]\IK^n[/mm]
> > > durch [mm]||A|| := sup \left \{ \bruch{||Ax||}{||x||} \ | \ x \in \IK^n, \ x\not= 0 \right \} = sup \{||Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > > eine mit ihr verträgliche Matrixnorm erklärt ist.
>  >  >  Hallo zusammen.
>  >  >  
> > > Ich habe das soweit hinbekommen, nur die Dreicksungleichung
> > > [mm]||AB|| \le ||A|| \ ||B||[/mm]
> >
> > Diese Ungleichung heißt nicht Dreiecksungleichung !!!!!
>  
> Sorry, "Submultiplikativität", oder?
>  >  
> > > fehlt mir noch. Kann mir jemand
> > > einen Tipp geben, wie ich das anfangen kann?
>  >  >  Vielleicht noch am Rande: Bisher habe ich immer wie
> > folgt
> > > gearbeitet: [mm]||\alpha A|| = sup \{ ||\alpha Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = sup \{ |\alpha| \ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = |\alpha| \cdot sup \{ || Ax|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > > Ich weiß nicht, ob ich in dieser Art bei der
> > > Dreiecksungleichung vorwärts komme.
>  >  
> >
> > Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
>  >  
> > [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm]  für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
>  >  
> > (das folgt sofort aus der Definition)
>  >  
> > Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
>  >  
> > Dann:
>  >  
> > [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
>  
> >  

> > Jetzt Du:
>  >  
> > [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]
>  
> [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> (???) Jetzt würde ja [mm]sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B||[/mm]
> passen, aber was mache ich mit [mm]sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]?
> Ich meine da gilt [mm]||x|| = 1[/mm] würde [mm]||A|| = ||A|| \cdot ||x||[/mm]
> hinhauen, aber wegen [mm]||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax||[/mm] kann ich
> das ja auch nicht benutzen, oder?
>  >  


Ich habs Dir doch fast komplett vorgemacht !!!!!


Für x mit ||x||=1 ist $||ABx|| [mm] \le [/mm] ||AB||$

Dann folgt doch sofort:


$||AB|| = sup [mm] \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le [/mm] ||AB||$

FRED




> > FRED
>  >  >  
> LG
>  fagottator  
>  


Bezug
                                
Bezug
verträgliche Matrixnorm: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:17 Fr 25.02.2011
Autor: fagottator


> > > Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
>  >  >  
> > > [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm]  für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
>  >  >  
> > > (das folgt sofort aus der Definition)
>  >  >  
> > > Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
>  >  >  
> > > Dann:
>  >  >  
> > > [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > Jetzt Du:
>  >  >  
> > > [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]
>  >  
> > [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > (???) Jetzt würde ja [mm]sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B||[/mm]
> > passen, aber was mache ich mit [mm]sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]?
> > Ich meine da gilt [mm]||x|| = 1[/mm] würde [mm]||A|| = ||A|| \cdot ||x||[/mm]
> > hinhauen, aber wegen [mm]||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax||[/mm] kann ich
> > das ja auch nicht benutzen, oder?
>  >  >  
>
>
> Ich habs Dir doch fast komplett vorgemacht !!!!!

Warum denn so gereizt?!?

>  
>
> Für x mit ||x||=1 ist [mm]||ABx|| \le ||AB||[/mm]

DAS ist mir klar!

>  
> Dann folgt doch sofort:
>  
>
> [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le ||AB||[/mm]

Aber jetzt steht da doch [mm] ||AB|| \le ||AB|| [/mm]... Ist das denn das, was ich zeigen will? Ok, man könnte ergänzen [mm] ||AB|| \le ||AB|| \le ||A|| \cdot ||B|| [/mm]... Ich trau mich schon fast gar nicht weiter zu fragen...

>  
> FRED
>  
>
>
>
> > > FRED
>  >  >  >  
> > LG
>  >  fagottator  
> >  

>  


Bezug
                                        
Bezug
verträgliche Matrixnorm: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:38 Fr 25.02.2011
Autor: Teufel

Hi!

Ok, also du hast $||ABx|| [mm] \le [/mm] ||A||*||B||$ [mm] (\*). [/mm]

Dann ist doch $||AB|| [mm] \underbrace{=}_{Def}sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \underbrace{\le}_{(\*)}sup \{||A||*||B|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}$. [/mm] Da der rechte Ausdruck hinter dem sup ganz unabhängig von x ist, folgt, dass dieser eben einfach nur $||A||*||B||$ ist.

Bezug
                                                
Bezug
verträgliche Matrixnorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:59 Sa 26.02.2011
Autor: fagottator

Danke, jetzt hab ich endlich kapiert, warum das x wegfällt bzw. wegfallen kann.

Bezug
                                        
Bezug
verträgliche Matrixnorm: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 09:39 Sa 26.02.2011
Autor: fred97


> > > > Die Matrixnorm hat die Eigenschaft:
>  >  >  >  
> > > > [mm]||Ax|| \le ||A||*||x||[/mm]  für jedes x [mm]\in \IK^n[/mm]
>  >  >  
> >  

> > > > (das folgt sofort aus der Definition)
>  >  >  >  
> > > > Nimm nun ein x [mm]\in \IK^n[/mm] mit [mm]||x||=1[/mm]
>  >  >  >  
> > > > Dann:
>  >  >  >  
> > > > [mm]||ABx|| \le ||A||*||Bx|| \le ||A||*||B||*||x||= ||A||*||B||[/mm]
>  
> >  

> > >  

> > > >  

> > > > Jetzt Du:
>  >  >  >  
> > > > [mm]||AB||= sup .... \le ||A||*||B||[/mm]
>  >  >  
> > > [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{||A|| \cdot ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \cdot sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\}[/mm]
> > > (???) Jetzt würde ja [mm]sup \{ ||Bx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} = ||B||[/mm]
> > > passen, aber was mache ich mit [mm]sup \{ ||A|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} [/mm]?
> > > Ich meine da gilt [mm]||x|| = 1[/mm] würde [mm]||A|| = ||A|| \cdot ||x||[/mm]
> > > hinhauen, aber wegen [mm]||A|| \cdot ||x|| \ge ||Ax||[/mm] kann ich
> > > das ja auch nicht benutzen, oder?
>  >  >  >  
> >
> >
> > Ich habs Dir doch fast komplett vorgemacht !!!!!
>  
> Warum denn so gereizt?!?
>  >  
> >
> > Für x mit ||x||=1 ist [mm]||ABx|| \le ||AB||[/mm]
>  
> DAS ist mir klar!
>  >  
> > Dann folgt doch sofort:
>  >  
> >
> > [mm]||AB|| = sup \{||ABx|| \ | \ x \in \IK^n, \ ||x||= 1\} \le ||AB||[/mm]


Da hab ich mich verschrieben.  .... [mm] \le [/mm] ||A||*||B||

>  
> Aber jetzt steht da doch [mm]||AB|| \le ||AB|| [/mm]... Ist das denn
> das, was ich zeigen will? Ok, man könnte ergänzen [mm]||AB|| \le ||AB|| \le ||A|| \cdot ||B|| [/mm]...
> Ich trau mich schon fast gar nicht weiter zu fragen...
>  >  
> > FRED
>  >  
> >
> >
> >
> > > > FRED
>  >  >  >  >  
> > > LG
>  >  >  fagottator  
> > >  

> >  

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