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Forum "Zahlentheorie" - vielfachheit primzahlen
vielfachheit primzahlen < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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vielfachheit primzahlen: tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:44 Sa 09.09.2017
Autor: nkln

Aufgabe
Seien $a,b [mm] \in \IQ\setminus{0}$ [/mm] mit $a+b [mm] \neq [/mm] 0$.Dann gilt für jede primzahl $p$

[mm] $v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}$ [/mm] und es gilt die Gleicheit,falls [mm] $v_p(a) \neq v_p(b)$ [/mm]

ich hab leider keinerlei ansatz.

ich hab mir mal überlegt

ich nehme die zahlen,wie geben a und b, aber kann ich diese jetzt eindeutig als produkt von primfaktoren darstellen,da $a,b [mm] \in \IQ\setminus{0}$ [/mm] ?

wenn ja hätte ich [mm] a=p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k},b=q_1^{w_1}*...*q_k^{w_k} [/mm]

jetzt,kommt ja jeder primzahl in [mm] $v_p(a)=v_1+..+v_k$ bzw.$v_p(b)=w_1+..+w_k$ [/mm]

Also [mm] $v_p(a+b)=v_1+..+v_k+w_1+..+w_k \ge v_p(a)+v_p(b)$ [/mm]


aber bringt mir das was?


liebe grüße

        
Bezug
vielfachheit primzahlen: Grundmenge ?
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:35 Sa 09.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Seien [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] mit [mm]a+b \neq 0[/mm].Dann gilt für
> jede primzahl [mm]p[/mm]
>  
> [mm]v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}[/mm] und es gilt die
> Gleicheit,falls [mm]v_p(a) \neq v_p(b)[/mm]


Meinst du wirklich     [mm]a,b \in \IQ\setminus \{0\}[/mm]
und nicht etwa         [mm]a,b \in \IN\setminus \{0\}[/mm]    ?

In letzterem Fall wäre dann   [mm]a+b \neq 0[/mm]  selbstverständlich
und müsste nicht separat verlangt werden.

Oder geht es um   [mm]a,b \in \IZ\setminus\{0\}[/mm]  ?

LG ,   Al-C.


Bezug
                
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:48 Sa 09.09.2017
Autor: nkln

Hallo ,nein in der Aufgabenstellung steht $a,b [mm] \in \IQ \setminus\{0\}$ [/mm]

Also a und b in den rationalen Zahlen ohne die $0$

Bezug
                        
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 14:57 Sa 09.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo ,nein in der Aufgabenstellung steht [mm]a,b \in \IQ \setminus\{0\}[/mm]
>  
> Also a und b in den rationalen Zahlen ohne die [mm]0[/mm]


Dann gib uns doch bitte noch an, wie denn  $\ [mm] v_p(a)$ [/mm]  für eine
rationale Zahl  $\ a\ =\ [mm] \frac{n}{z}$ [/mm]  mit $\ [mm] n\in\IZ$ [/mm]  und  $\ [mm] z\in\IN$ [/mm] genau definiert
sein soll.

Zum Beispiel    $\ [mm] v_p\left(-\,\frac{24}{365}\right)\ [/mm] =\ \ ?$

Bezug
                                
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 16:16 Sa 09.09.2017
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

du musst noch die Primzahl $p$ spezifizieren.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                        
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:01 Sa 09.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> du musst noch die Primzahl [mm]p[/mm] spezifizieren.
>  
> Liebe Grüße,
>  UniversellesObjekt


Naja, zum Beispiel die Primzahlen, die in Zähler und Nenner
des Bruches stecken, also  $\ [mm] p\,\in\,\{2,3,5,73\}$ [/mm] !

Sagen wir mal   $\ [mm] v_2\left(\frac{24}{365}\right)\ [/mm] =\ ?$   und  $\ [mm] v_5\left(\frac{24}{365}\right)\ [/mm] =\ ?$

LG,   Al-Chw.

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Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:03 Sa 09.09.2017
Autor: Diophant

Hallo,

wenn ich es nicht falsch verstanden habe, dann ist

[mm] v_2\left(\frac{24}{365}\right)=3 [/mm]

und

[mm] v_5\left(\frac{24}{365}\right)=-1 [/mm]


Gruß, Diophant

Bezug
                                                        
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 21:14 Sa 09.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Hallo,
>  
> wenn ich es nicht falsch verstanden habe, dann ist
>  
> [mm]v_2\left(\frac{24}{365}\right)=3[/mm]
>  
> und
>  
> [mm]v_5\left(\frac{24}{365}\right)=-1[/mm]
>  
>
> Gruß, Diophant


Hallo Diophant

Danke für den Hinweis. Bisher dachte ich an Primzahlzerlegungen
nur im Bereich der natürlichen Zahlen, aber wenn man auch negative
Exponenten zulässt, ist sofort alles klar (wenigstens mal soweit).
Sinnvollerweise sollte man sich dann aber wohl auf den Bereich
der positiven rationalen Zahlen beschränken oder irgendwie noch
die Zahl -1 als  zusätzliche "Primzahl" zulassen, deren Vielfachheit
aber jeweils nur die Werte 0 und 1 annehmen darf ...

LG ,   Al-Chwarizmi


Bezug
                                                                
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 15:38 So 10.09.2017
Autor: UniversellesObjekt

Hallo,

nein, das sollte man nicht. Es geht hier um Primzahlen (bzw. in geeigneter Verallgemeinerung um Primelemente), während $-1$ eine Einheit ist.

In einem nullteilerfreien Ring $A$ sei $p$ ein Primelement und [mm] $a\in [/mm] A$. Dann definiert man [mm] $v_p(a)=\max\{n:p^n\mid a\}$. [/mm] Ist $S$ eine multiplikative Teilmenge (z.B. [mm] $S=A\setminus\{0\}$, [/mm] sodass [mm] $S^{-1}A$ [/mm] der Quotientenkörper ist), so dehnt man [mm] $v_p$ [/mm] auf [mm] $S^{-1}A$ [/mm] aus durch [mm] $v_p(a/b)=v_p(a)-v_p(b)$, [/mm] hierbei muss man sich nicht um Gekürztheit des Bruches oder dergleichen scheren, sondern überlegt sich besser, dass diese Festlegung unabhängig von Kürzen und Erweitern ist - dies folgt natürlich aus der Beziehung [mm] $v_p(ab)=v_p(a)+v_p(b)$). [/mm]

Eigentlich war es natürlich Aufgabe des Themenstellers, dies irgendwo nachzuschlagen.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                        
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:13 So 10.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Ich bin mittlerweile relativ weit von solchen Begriff-
lichkeiten entfernt.

Trotzdem denke ich, dass der wesentliche Inhalt des
vorliegenden Themas auch schon voll zur Geltung
kommt, wenn man sich auf die Menge der positiven
rationalen Zahlen beschränkt.

LG  ,   Al-Chw.

Bezug
                                                                                
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:34 So 10.09.2017
Autor: UniversellesObjekt

Man möchte aber [mm] $v_p$ [/mm] auf ganz [mm] $\IQ$ [/mm] definiert haben. Die Eigenschaft, die man hier im Themenstart zu zeigen hat, führt nämlich dazu, dass mit der Festsetzung [mm] $d(q,r)=p^{-v_p(q-r)}$ [/mm] eine Metrik auf [mm] $\IQ$ [/mm] definiert wird, die sogenannte $p$-adische Metrik. Die Vervollständigung in Bezug auf Cauchy-Konvergenz nennt man den Körper der $p$-adischen Zahlen [mm] $\IQ_p$. [/mm] Das ist ein Körper mit dem man eine ganze Menge Analysis genauso wie in [mm] $\IR$ [/mm] betreiben kann, die Ergebnisse lassen sich schließlich wieder in arithmetische Aussagen über die Primzahl $p$ überführen.

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

Bezug
                                                                        
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:25 So 10.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi

Nur eine kleine Frage:

sind dann im vorliegenden Fall auch etwa die Zahlen -2, -3, -5, -7  etc.  "Primelemente" ?

Falls nein, weshalb nicht ?

Bezug
                                                                                
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:41 So 10.09.2017
Autor: Diophant

Hallo,

> Nur eine kleine Frage:

>

> sind dann im vorliegenden Fall auch etwa die Zahlen -2, -3,
> -5, -7 etc. "Primelemente" ?

>

> Falls nein, weshalb nicht ?

würde man negative Primzahlen definieren, so wäre der Fundamentalsatz der Zahlentheorie (Eindeutigkeit der PFZ bis auf die Reihenfolge) hinfällig.


Gruß, Diophant

Bezug
                                                                                
Bezug
vielfachheit primzahlen: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 20:26 So 10.09.2017
Autor: UniversellesObjekt

Ja, sind sie. Allerdings ist die $-3$ was die Teilertheorie angeht, "nicht wesentlich von der $3$ verschieden", da beide Elemente sich gegenseitig teilen. Solche Elemente nennt man assoziiert (solange man in [mm] $\IZ$ [/mm] unterwegs ist, ist Assoziiertheit dasselbe wie Übereinstimmen bis auf Vorzeichen).

Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Bezug
vielfachheit primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 13:37 Sa 09.09.2017
Autor: UniversellesObjekt


> Seien [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] mit [mm]a+b \neq 0[/mm].Dann gilt für
> jede primzahl [mm]p[/mm]
>  
> [mm]v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}[/mm] und es gilt die
> Gleicheit,falls [mm]v_p(a) \neq v_p(b)[/mm]
>  ich hab leider
> keinerlei ansatz.
>  
> ich hab mir mal überlegt
>  
> ich nehme die zahlen,wie geben a und b, aber kann ich diese
> jetzt eindeutig als produkt von primfaktoren darstellen,da
> [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] ?
>  
> wenn ja hätte ich
> [mm]a=p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k},b=q_1^{w_1}*...*q_k^{w_k}[/mm]

Nicht direkt eindeutig, aber du kannst sie jedenfalls so darstellen, die [mm] $v_i$ [/mm] bzw. [mm] $w_i$ [/mm] sind hierbei ganze Zahlen.

> jetzt,kommt ja jeder primzahl in [mm]v_p(a)=v_1+..+v_k[/mm]
> bzw.[mm]v_p(b)=w_1+..+w_k[/mm]

Das ist falsch. Kannst du es korrigieren?

> Also [mm]v_p(a+b)=v_1+..+v_k+w_1+..+w_k \ge v_p(a)+v_p(b)[/mm]

Das hier noch falscher.

> aber bringt mir das was?
>  
>
> liebe grüße


Liebe Grüße,
UniversellesObjekt

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Bezug
vielfachheit primzahlen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 14:04 Sa 09.09.2017
Autor: nkln

$N$ primfaktoren davon sind $k$ verschiedene [mm] $\sum_{i=1}^{k} v_i(n)$ [/mm]

ich hab einfach keine ahnung sorry

Bezug
                        
Bezug
vielfachheit primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:17 Sa 09.09.2017
Autor: UniversellesObjekt


> [mm]N[/mm] primfaktoren davon sind [mm]k[/mm] verschiedene [mm]\sum_{i=1}^{k} v_i(n)[/mm]

Das ist kein deutscher Satz.

> ich hab einfach keine ahnung sorry

Das glaub' ich dir gerne. Dann schlag doch am besten mal im Skript, Buch oder Internet nach, wie [mm] $v_p(a)$ [/mm] überhaupt definiert ist. Ohne diese Information wirst du die Aufgabe nur schwer lösen können.

Tipp: []p-adische Bewertung

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Bezug
vielfachheit primzahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 15:16 So 10.09.2017
Autor: Al-Chwarizmi


> Seien [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] mit [mm]a+b \neq 0[/mm].Dann gilt für
> jede primzahl [mm]p[/mm]
>  
> [mm]v_p(a+b)\ge min\{v_p(a),v_p(b)\}[/mm] und es gilt die
> Gleicheit,falls [mm]v_p(a) \neq v_p(b)[/mm]
>  ich hab leider
> keinerlei ansatz.
>  
> ich hab mir mal überlegt
>  
> ich nehme die zahlen,wie geben a und b, aber kann ich diese
> jetzt eindeutig als produkt von primfaktoren darstellen,da
> [mm]a,b \in \IQ\setminus{0}[/mm] ?
>  
> wenn ja hätte ich
> [mm]a=p_1^{v_1}*...*p_k^{v_k},b=q_1^{w_1}*...*q_k^{w_k}[/mm]
>  
> jetzt,kommt ja jeder primzahl in [mm]v_p(a)=v_1+..+v_k[/mm]
> bzw.[mm]v_p(b)=w_1+..+w_k[/mm]
>  
> Also [mm]v_p(a+b)=v_1+..+v_k+w_1+..+w_k \ge v_p(a)+v_p(b)[/mm]
>  
>
> aber bringt mir das was?
>  
>
> liebe grüße


Natürlich kann (bzw. sollte) man die beiden gegebenen
Zahlen a und b zuerst als vollständig gekürzte Brüche
darstellen. Um mir das Ganze klar zu machen, habe ich
zuerst mal ein Beispiel mit zwei Brüchen a und b (jeweils
mit mehr als einem Primfaktor im Zähler und im Nenner)
gewählt und mir eine Liste mit den [mm] v_p(a) [/mm] , [mm] v_p(b) [/mm] und $\ [mm] v_p\left(\frac{a}{b}\right)$ [/mm]
aufgestellt. Anhand dieser Liste kann man die Behauptung
zuerst einmal testen.
Anschließend muss man sich insbesondere klar machen,
wie denn der Nenner von  [mm] \frac{a}{b} [/mm]  genau zustande kommt.

LG ,   Al-Chw.

Bezug
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