voll. Indukt. Ungleichung < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Man beweise durch vollständige Induktion [mm] (n\in\IN)
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n} \wurzel{k} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * n * [mm] \wurzel{n}
[/mm]
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IA: n=1: [mm] \wurtel{1} [/mm] > [mm] \bruch{1}{2} [/mm] WAHR
IV: Behauptung gelte für ein [mm] \in\IN
[/mm]
IS: n -> n+1
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \wurzel{k} [/mm] = [mm] \summe_{k=1}^{n} \wurzel{k} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
laut IV:
> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * n * [mm] \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}
[/mm]
Bis hierhin kein Problem, und nun? Ich habe an dieser Stelle bereits mehrere Erweiterungsmöglichkeiten ausprobiert und komme immer auf das Ergebnis, dass das was ich ausrechne < ist, das das was rauskommen soll, sprich, dass die Ungleichung nicht stimmt.
z.B. folgender Lösungsansatz:
= [mm] (\bruch{1}{2} [/mm] * n * [mm] \wurzel{n} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}) [/mm] * [mm] \bruch{\wurzel{(n+1)^3}}{\wurzel{(n+1)^3}}
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{2} [/mm] * (n+1) * [mm] \wurzel{n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{n*\wurzel{n}+2* \wurzel{n+1}}{\wurzel{(n+1)^3}})
[/mm]
> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (n+1) * [mm] \wurzel{n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{n*\wurzel{n}+2* \wurzel{n}}{\wurzel{(n+1)^3}})
[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (n+1) * [mm] \wurzel{n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{\wurzel{n}*(n+2)}{\wurzel{(n+1)^3}})
[/mm]
> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (n+1) * [mm] \wurzel{n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{\wurzel{n}*(n+1)}{\wurzel{(n+1)^3}})
[/mm]
> [mm] \bruch{1}{2} [/mm] * (n+1) * [mm] \wurzel{n+1} [/mm] * [mm] (\bruch{\wurzel{n}}{\wurzel{(n+1)}})
[/mm]
[mm] <\bruch{1}{2} [/mm] * (n+1) * [mm] \wurzel{n+1} [/mm]
Bitte helft mir, ich bin bei der Aufgabe total am verzweifeln! Bin über jeden Hinweis dankbar!
Vielen Dank schöneinmal für eure Hilfe
komodor1986
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo komodor,
Hier kann ich dir schon gar nicht mehr folgen:
> = [mm](\red{(}\bruch{1}{2}[/mm] * n * [mm]\wurzel{n}[/mm][mm] \red{)} [/mm] + [mm]\wurzel{n+1})[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{(n+1)^3}}{\wurzel{(n+1)^3}}[/mm]
= [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{n^3}*\bruch{\wurzel{(n+1)^3}}{\wurzel{(n+1)^3}}+\bruch{(n+1)^2}{\wurzel{(n+1)^3}}
[/mm]
So richtig seh ich hier kein Vorankommen.
Am Ende soll doch dastehen: ... > [mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{(n+1)^3}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}*\wurzel{n^3}+\wurzel{n+1}=(\bruch{1}{2}*\wurzel{n^3}+\wurzel{n+1})*\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}}=\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{n^3*(n+1)}}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n+1}
[/mm]
Ich denke ab hier gehts vllt weiter, indem man das im Zähler auf [mm] \wurzel{(n+1)^4} [/mm] aufschätzt, und das durch das wegfallen des rechten Summanden kompensierst... aber das ist leider nur Gefühlssache.
Sry das ich dir keinen 100%igen Lösungsweg geben konnte. Ich dachte die 3. Binomische Formel bringts, aber das ging iwie schief.
lG Kai
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> Hier kann ich dir schon gar nicht mehr folgen:
>
> > = [mm](\red{(}\bruch{1}{2}[/mm] * n * [mm]\wurzel{n}[/mm][mm] \red{)}[/mm] +
> [mm]\wurzel{n+1})[/mm] * [mm]\bruch{\wurzel{(n+1)^3}}{\wurzel{(n+1)^3}}[/mm]
>
> =
> [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{n^3}*\bruch{\wurzel{(n+1)^3}}{\wurzel{(n+1)^3}}+\bruch{(n+1)^2}{\wurzel{(n+1)^3}}[/mm]
>
> So richtig seh ich hier kein Vorankommen.
Ich dachte mir da, dass ich mir das hinzumultipliziere, was ich brauche um soweit wie möglich in die Nähe des Zielterms zu kommen und da ich da halt ein [mm] \wurzel{(n+1)^3} [/mm] brauche, habe ich das kurzerhand mal so erweitert.
> Am Ende soll doch dastehen: ... >
> [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{(n+1)^3}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}*\wurzel{n^3}+\wurzel{n+1}=(\bruch{1}{2}*\wurzel{n^3}+\wurzel{n+1})*\bruch{\wurzel{n+1}}{\wurzel{n+1}}=\bruch{1}{2}*\bruch{\wurzel{n^3*(n+1)}}{\wurzel{n+1}}+\wurzel{n+1}[/mm]
>
> Ich denke ab hier gehts vllt weiter, indem man das im
> Zähler auf [mm]\wurzel{(n+1)^4}[/mm] aufschätzt, und das durch das wegfallen des rechten Summanden kompensierst... aber das ist leider nur Gefühlssache.
Hmmm... das ist glaube ich das Problem bei der Aufgabe, man kann nicht einfach [mm] \wurzel{n} [/mm] < [mm] \wurzel{n+1} [/mm] abschätzen, da man dabei schon zu viel Verlust hat :(
>
> Sry das ich dir keinen 100%igen Lösungsweg geben konnte.
> Ich dachte die 3. Binomische Formel bringts, aber das ging
> iwie schief.
Mit der dritten Binomischen Formel habe ich es auch nochmal probiert, aber das hat leider auch nicht geklappt.
Vielleicht kann mir ja jemand anders erklären, wie ich auf das Ergebnis komme.
Viele Dank für deine Antwort Kai!
Viele Grüße
komodor1986
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:43 So 22.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> Man beweise durch vollständige Induktion [mm](n\in\IN)[/mm]
> [mm]\summe_{k=1}^{n} \wurzel{k}[/mm] > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * n *
> [mm]\wurzel{n}[/mm]
>
> IA: n=1: [mm]\wurtel{1}[/mm] > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] WAHR
> IV: Behauptung gelte für ein [mm]\in\IN[/mm]
> IS: n -> n+1
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \wurzel{k}[/mm] = [mm]\summe_{k=1}^{n} \wurzel{k}[/mm]
> + [mm]\wurzel{n+1}[/mm]
> laut IV:
> > [mm]\bruch{1}{2}[/mm] * n * [mm]\wurzel{n}[/mm] + [mm]\wurzel{n+1}[/mm]
>
> Bis hierhin kein Problem, und nun? Ich habe an dieser
> Stelle bereits mehrere Erweiterungsmöglichkeiten
> Bitte helft mir, ich bin bei der Aufgabe total am
> verzweifeln! Bin über jeden Hinweis dankbar!
>
> Vielen Dank schöneinmal für eure Hilfe
> komodor1986
in etwa so:
[mm] \summe_{k=1}^{n+1} \wurzel{k}= \summe_{k=1}^{n} \wurzel{k} [/mm] + [mm] \wurzel{n+1}=\bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}\text{ zu zeigen }>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}
[/mm]
[mm] \bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}
[/mm]
ausmulitiplizieren und zusammenfassen ergibt
[mm] n\sqrt{n}>\sqrt{n+1}(n-1) [/mm]
und quadrieren
n(n+1) >1 qued
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> in etwa so:
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \wurzel{k}= \summe_{k=1}^{n} \wurzel{k}[/mm]
> + [mm]\wurzel{n+1}=\bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}\text{ zu zeigen }>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}[/mm]
>
> ausmulitiplizieren und zusammenfassen ergibt
>
> [mm]n\sqrt{n}>\sqrt{n+1}(n-1)[/mm]
> und quadrieren
> n(n+1) >1 qued
Vielen Dank weduwe für deine Antwort.
Jeoch hätte ich jetzt eine weitere Frage:
Wie kommst du da auf (n-1)?
[mm]n\sqrt{n}>\sqrt{n+1}(n-1)[/mm]
Wenn ich das Ausrechne komme ich auf folgendes:
[mm] \bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw n\wurzel{n} +2\wurzel{n+1}>(n+1)\sqrt{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{n^3} >\sqrt{(n+1)^3}-2\wurzel{n+1}
[/mm]
[mm] \gdw \wurzel{n^3} >\sqrt{(n+1)^3}-2\wurzel{n+1}
[/mm]
Jetzt Quadrieren:
[mm] \gdw n^3 >(n+1)^3-4\wurzel{n+1}\sqrt{(n+1)^3}+4(n+1)
[/mm]
Ausmultiplizieren:
[mm] \gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4\sqrt{(n+1)^4}+4(n+1)
[/mm]
[mm] \gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4(n^2+2n+1)+4(n+1)
[/mm]
[mm] \gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4n^2-8n-4+4n+4
[/mm]
[mm] \gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4n^2-8n-4+4n+4
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 > [mm] -n^2+1-n
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 > [mm] -n^2-n+1
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 > [mm] -(n+1)^2+n+2
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0 < [mm] (n+1)^2-n-2
[/mm]
Ist wenn ich richtig sehe eine wahre Aussage für alle n [mm] element\IN.
[/mm]
Viele Grüße
komodor1986
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:05 So 22.03.2009 | | Autor: | weduwe |
> > in etwa so:
> >
> > [mm]\summe_{k=1}^{n+1} \wurzel{k}= \summe_{k=1}^{n} \wurzel{k}[/mm]
> > + [mm]\wurzel{n+1}=\bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}\text{ zu zeigen }>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}[/mm]
>
> >
> > [mm]\bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}[/mm]
>
> >
> > ausmulitiplizieren und zusammenfassen ergibt
> >
> > [mm]n\sqrt{n}>\sqrt{n+1}(n-1)[/mm]
> > und quadrieren
> > n(n+1) >1 qued
>
> Vielen Dank weduwe für deine Antwort.
> Jeoch hätte ich jetzt eine weitere Frage:
> Wie kommst du da auf (n-1)?
> [mm]n\sqrt{n}>\sqrt{n+1}(n-1)[/mm]
>
> Wenn ich das Ausrechne komme ich auf folgendes:
>
> [mm]\bruch{1}{2}n\wurzel{n} +\wurzel{n+1}>\frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw n\wurzel{n} +2\wurzel{n+1}>(n+1)\sqrt{n+1}[/mm]
> [mm]\gdw \wurzel{n^3} >\sqrt{(n+1)^3}-2\wurzel{n+1}[/mm]
>
> [mm]\gdw \wurzel{n^3} >\sqrt{(n+1)^3}-2\wurzel{n+1}[/mm]
>
> Jetzt Quadrieren:
>
> [mm]\gdw n^3 >(n+1)^3-4\wurzel{n+1}\sqrt{(n+1)^3}+4(n+1)[/mm]
>
> Ausmultiplizieren:
>
> [mm]\gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4\sqrt{(n+1)^4}+4(n+1)[/mm]
> [mm]\gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4(n^2+2n+1)+4(n+1)[/mm]
>
> [mm]\gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4n^2-8n-4+4n+4[/mm]
> [mm]\gdw n^3 >n^3+3n^2+3n+1-4n^2-8n-4+4n+4[/mm]
>
> [mm]\gdw[/mm] 0 > [mm]-n^2+1-n[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0 > [mm]-n^2-n+1[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0 > [mm]-(n+1)^2+n+2[/mm]
> [mm]\gdw[/mm] 0 < [mm](n+1)^2-n-2[/mm]
>
> Ist wenn ich richtig sehe eine wahre Aussage für alle n
> [mm]element\IN.[/mm]
>
> Viele Grüße
> komodor1986
lt. induktionsvoraussetzung gilt doch
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\sqrt{k}>\frac{1}{2}n\sqrt{n}+\sqrt{n+1}
[/mm]
und damit ist zu zeigen ...
[mm] \frac{1}{2}n\sqrt{n}+\sqrt{n+1}> \frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}
[/mm]
womit die behauptung bewiesen wäre.
[mm] \frac{1}{2}n\sqrt{n}+\sqrt{n+1}> \frac{1}{2}(n+1)\sqrt{n+1}
[/mm]
[mm] \frac{1}{2}n\sqrt{n}+\sqrt{n+1}> \frac{1}{2}n\sqrt{n+1}+\frac{1}{2}\sqrt{n+1}\quad{ }|- \sqrt{n+1}\quad{}|\cdot [/mm] 2
[mm] n\sqrt{n}> (n-1)\sqrt{n+1}
[/mm]
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