voll. Induktion < Folgen+Grenzwerte < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 25.05.2008 | | Autor: | masio |
Hallo ihr Lieben,
ich weiß nciht, ob ich im richtigen Thementhreat bin, denn ich habe vor mir eine Rekursionsformel der Stochastik, die ich anhand der vollständigen Induktion beweisen muss, könntet ihr mir bitte behilflich sein?
Hier ist die Formel_ Seid mir bitte bitte nicht böse, wenn ich nicht viel habe, denn ich komme mit der Formel gar nicht klar.
B(n;p;k+1) [mm] =\vektor{n \\ k+1} [/mm] p^(k+1) * q^(n-k-1)
= [mm] \bruch{(n-k)p}{k+1)q} [/mm] * [mm] \vektor{n \\ k} [/mm] p^(k) * q^(n-k)
[mm] =\bruch{(n-k)p}{k+1)q} [/mm] * B(n;p;k)
Nun steht hier, dass man durch vollständige Induktion leicht zeigen könne, dass folgendes gilt:
B(1500;0,001;k) [mm] \approx \bruch{1,5^k}{k!} [/mm] * e^(-1,5)
Nun fange ich mal wie "üblich" es auch bei einer vollständigen Induktion ist an:
Induktionsanfang: n=1
Wie gehe ich hier nur ran, weil mich irritiert das k sehr, weil es sich da dabei um eine Variable handelt
Könntet ihr mir bitte weiterhelfen, sitze seit gestern nicht an genau dieser Aufgabe, aber an diesem Stochastik Thema und bin deswegen sehr fertig. Ich danke euch sehr, für alle Kommentare.
Liebe Grüße
masio
P.S. Es geht hier um die Poissoin Verteilung in der Stochastik..., doch dachte ich, dass die vollständige Induktion auch in das Thema Analysis reinpasst.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Hallo ihr Lieben,
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> ich weiß nciht, ob ich im richtigen Thementhread bin, denn
> ich habe vor mir eine Rekursionsformel der Stochastik, die
> ich anhand der vollständigen Induktion beweisen muss,
> könntet ihr mir bitte behilflich sein?
>
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> Hier ist die Formel_ Seid mir bitte bitte nicht böse, wenn
> ich nicht viel habe, denn ich komme mit der Formel gar
> nicht klar.
>
>
> B(n;p;k+1) [mm]=\vektor{n \\ k+1}[/mm] p^(k+1) * q^(n-k-1)
>
> = [mm]\bruch{(n-k)p}{(k+1)q}[/mm] * [mm]\vektor{n \\ k}[/mm] p^(k) * q^(n-k)
>
> [mm]=\bruch{(n-k)p}{(k+1)q}[/mm] * B(n;p;k)
Ich nehme einmal an, dass diese Gleichung, welche es erlaubt,
B(n;p;k+1) mittels B(n;p;k) auszudrücken, eine Hilfestellung
zum Induktionsbeweis sein soll. Deshalb scheint es mir, dass
eine Induktion nach k (und nicht nach n) gemeint ist.
> Nun steht hier, dass man durch vollständige Induktion
> leicht
(wie leicht oder auch nicht, wird sich ja noch ZEIGEN...)
> zeigen könne, dass folgendes gilt:
>
> B(1500;0,001;k) [mm]\approx \bruch{1,5^k}{k!}[/mm] * e^(-1,5)
>
>
> Nun fange ich mal wie "üblich" es auch bei einer
> vollständigen Induktion ist an:
>
> Induktionsanfang: n=1
Ich würde nun vorschlagen: Start mit n=1500 und k=0 !
(das n bleibt im Folgenden konstant, k soll schrittweise
vergrössert werden bis zu einem Endwert, den wir vielleicht
besser mit K (anstatt wieder k) bezeichnen.
Als Anfangsgleichung hätten wir also:
B(1500;0.001;0) = [mm] \vektor{1500\\0}* 0.001^0*0.999^{1500}
[/mm]
Und nun müsste der Induktionsbeweis nach k kommen, mit dem
Ziel, zur approximativen Aussage:
B(1500;0,001;K) [mm]\approx \bruch{1,5^K}{K!}[/mm] * e^(-1,5)
zu kommen.
Al-Chwarizmi
P.S. :
Der Induktionsbeweis ist mir bisher nicht (bzw. nicht ganz) gelungen
(Man kann natürlich nicht die approximative Gleichung durch
vollständige Induktion exakt beweisen !)
Ich vermute aber, dass die Approximation nur für kleine K brauch-
bar ist. Numerisch habe ich gefunden, dass sie für K=10 recht gut
ist (rel. Fehler etwa 2%) aber für K=1500 komplett versagt.
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