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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:14 Fr 29.09.2017 | | Autor: | ser |
| Aufgabe | für alle k e IN mit k>=2 gilt
ln(k!)>=k-2 |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Jetzt habe ich eine Frage zum IS. Außerdem tu ich mir bei den Ungleichungen immer total schwer, vllt weiß jemand noch ein paar Aufgaben. Zum üben das wäre super!!
IS k=n+1
ln((n+1)!)>=n+1-2
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Hallo,
> für alle k e IN mit k>=2 gilt
>
> ln(k!)>=k-2
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> Jetzt habe ich eine Frage zum IS. Außerdem tu ich mir bei
> den Ungleichungen immer total schwer, vllt weiß jemand
> noch ein paar Aufgaben. Zum üben das wäre super!!
>
> IS k=n+1
>
> ln((n+1)!)>=n+1-2
Wegen der Definition der Fakultät folgt ja unmittelbar
ln((n+1)!)=ln(n+1)+ln(n!)
Das sollte dir schon weiterhelfen.
Gruß, Diophant
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:40 Fr 29.09.2017 | | Autor: | ser |
Danke,
ich häng mich immer an dem >= auf!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:46 Fr 29.09.2017 | | Autor: | fred97 |
Mit der Ind. Vor. haben wir
ln((n+1)!) = ln(n!) + ln(n+1) ≥ n-2 + ln(n+1) .
Jetzt ist die Frage, ob n-2 + ln(n+1) [mm] \ge [/mm] n-1 ist.
Die letzte Ungleichung is äquivalent zu
ln(n+1) [mm] \ge [/mm] 1. Da n [mm] \ge [/mm] 2 ist, is n+1 [mm] \ge [/mm] 3 und somit
ln(n+1) [mm] \ge [/mm] ln(3) [mm] \ge [/mm] ln(e)=1. Bingo !
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> für alle k e IN mit k>=2 gilt
> ln(k!) ≥ k-2
> Jetzt habe ich eine Frage zum IS. Außerdem tu ich mir bei
> den Ungleichungen immer total schwer, vllt weiß jemand
> noch ein paar Aufgaben. Zum üben das wäre super!!
> IS k=n+1
> ln((n+1)!) ≥ n+1-2 (wäre zu zeigen, falls ln(n!) ≥ n-2)
Nun ist ja (n+1)! = n! *(n+1) , also folgt:
ln((n+1)!) = ln(n!*(n+1)) = ln(n!) + ln(n+1)
Mittels der Induktionsvoraussetzung (oben rot markiert)
folgt dann:
ln((n+1)!) = ln(n!) + ln(n+1) ≥ n-2 + ln(n+1)
Um zum Ziel zu kommen, muss man sich nun nur noch
die möglichen Werte von ln(n+1) vergegenwärtigen,
die mit Werten von n mit n≥2 möglich sind.
LG , Al-Chwarizmi
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