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vollst. Induktion: Induktionsbeweis
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:39 So 29.10.2006
Autor: ednahubertus

Aufgabe
Beweisen Sie, dass für alle natürliche Zahlen n gilt:
A)  [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] j³ = 1/4n²(n+1)²
B)  [mm] \summe_{i=1}^{n}(2j-1)²= [/mm] 1/3n(2n-1)(2n+1)




Die Überprüfung durch Einsetzen mit 1 ergab, dass es wahre Aussagen sind.
wir wissen, dass der Beweis durch (n+1) erfolgen muss. Während wir die rechte Seite hinbekommen, haben wir auf der linken Seite umso größere Probleme diese mit (n+1) darzustellen.

A)  [mm] \summe_{i=1}^{n} [/mm] j³??? = 1/4(n+1)²(n+2)²

B)  [mm] \summe_{i=1}^{n}(2j-1)²????= [/mm] 1/3(n+1)(2n)(2n+2)

wer kann und bei der Beweisführung helfen insbesondere (auf der linken Seite)?


        
Bezug
vollst. Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:17 So 29.10.2006
Autor: maybe.


> Beweisen Sie, dass für alle natürliche Zahlen n gilt:
>  A)  [mm]\summe_{i=1}^{n}[/mm] j³ = 1/4n²(n+1)²


also ich zeig euch mal an A wie das ungefähr geht :

also erstmal muss die summe über j laufen und nicht über i sonst macht es ja kein sinn...
also:

[mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j³ = 1/4n²(n+1)²

na gut für einen induktionsbeweis brauchen wir jetzt einen induktionsanfang und einen induktionsschritt!
erstmal nenn ich unsere gleichung jetzt mal A(n):

A(n): "[mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j³ = 1/4n²(n+1)²"


INDUKTIONSANFANG:

das hattet ihr ja schon gemacht. also:

A(1): [mm] 1^{3}=1/4*1^{1}(1+1)^{2}=1 [/mm] ist offensichtlich wahr.

INDUKTIONSSCHRITT:

ihr müsst zeigen dass aus A(n) A(n+1) folgt.
also A(n) [mm] \Rightarrow [/mm] A(n+1)

Das heisst ihr müsst UNTER DER ANNAHME, dass A(n) gilt A(n+1) beweisen.

Das heisst jetzt für uns:
Annahme : A(n) ist wahr
wir denken uns jetzt wir haben unsere gleichung schon bewiesen und

[mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j³ = 1/4n²(n+1)² ist wahr.

jetzt müssen wir das ganze aber für n+1 zeigen. also wir müssen A(n+1) beweisen:

schreiben wir es erst mal hin:

A(n+1) : [mm]\summe_{j=1}^{n+1}[/mm] j³ = 1/4(n+1)²(n+1+1)²

(ich hab überall für n, n+1 eingesetzt.)

vereinfacht:

A(n+1) : [mm]\summe_{j=1}^{n+1}[/mm] j³ = 1/4(n+1)²(n+2)²

na gut was kann uns das helfen ?

erstmal das summenzeichen loswerden:


A(n+1) : [mm] 1^{3}+2^{3}+...+(n+1)^{3} [/mm] = 1/4(n+1)²(n+2)²


da  steht doch :

A(n+1) : [mm] [1^{3}+2^{3}+...+n^{3}]+(n+1)^{3} [/mm] = 1/4(n+1)²(n+2)²

und die eckige klammer kennen wir doch schon!!!

also nochmal als summenzeichen:

[mm]\summe_{j=1}^{n}[/mm] j³  [mm] +(n+1)^{3}= [/mm] 1/4(n+1)²(n+2)²

na und für das summenzeichen setzen wir jetzt unseren term ein nach der gleichung A(n):


[mm] 1/4n²(n+1)²+(n+1)^{3}= [/mm] 1/4(n+1)²(n+2)²

na und jetzt ? jetzt müssen wir nur noch zeigen, dass die gleichung wahr ist.
(auf beiden seiten das selbe steht):

das schafft ihr jetzt oder ??




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