vollst. Induktion reele Zahlen < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:04 Fr 23.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Beweisen sie die folgende Gleichung für reelle Zahlen [mm] a_{1},.....,a_{m},b_{1},......b_{n}
[/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{m}a_{i})*(\summe_{k=1}^{n}b_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm]
Hinweis: Versuchen sie eine Induktion nach m
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Hallo;
ich wollte fragen, ob jemand mal schauen kann ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe.
Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion nach m
Induktionsanfang: m=1
[mm] (\summe_{i=1}^{1}a_{i})*(\summe_{k=1}^{n}b_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{1}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm]
daraus folgt:
[mm] a_{i}*(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm]
Hier kommt jz ein Zwischenschritt. Ich muss zeigen das [mm] a_{i}*(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] gilt. Dies mache ich durch Induktion nach n.
n=1
[mm] a_{i}*(\summe_{k=1}^{1}b_{k})=\summe_{k=1}^{1}a_{i}b_{k}
[/mm]
daraus folgt: [mm] a_{1}*b_{k}=a_{1}*b_{k}
[/mm]
[mm] n\to [/mm] n+1
[mm] a_{i}*(\summe_{k=1}^{n+1}b_{k})=\summe_{k=1}^{n+1}a_{i}b_{k}
[/mm]
mit hilfe von Distributivgesetz weiß ich, dass gilt:
[mm] a_{1}(\summe_{k=1}^{n}b_{k}+(b_{n+1}))= \summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k}+(b_{n+1}))
[/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Fr 23.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
die Induktion nach n brauchst du nicht, das ist einfach nur das Distributivgesetz.
also schreibst du nur:
fuer jedes i gilt $ [mm] a_{i}\cdot{}(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] $ nach Distributivgesetz.
jetzt die Induktion nach m.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:45 Fr 23.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
Hallo;
unser Übungsleiter hat gesagt das wir das machen müssen, weil wir in der 2. Woche unseres 1.Semester noch nicht wissen dürfen, dass fuer jedes i nach Distributivgesetz gilt: $ [mm] a_{i}\cdot{}(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] $
Lg Melisa
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:32 Fr 23.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
| Aufgabe | Beweisen sie die folgende Gleichung für reelle Zahlen [mm] a_{1},.....,a_{m},b_{1},......b_{n}
[/mm]
[mm] (\summe_{i=1}^{m}a_{i})*(\summe_{k=1}^{n}b_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm]
Hinweis: Versuchen sie eine Induktion nach m
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Hallo;
ich wollte fragen, ob jemand mal schauen kann ob ich die Aufgabe richtig gelöst habe.
Wir beweisen die Behauptung durch vollständige Induktion nach m
Induktionsanfang: m=1
[mm] (\summe_{i=1}^{1}a_{i})*(\summe_{k=1}^{n}b_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{1}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm]
daraus folgt:
[mm] a_{i}*(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm]
Hier kommt jz ein Zwischenschritt. Ich muss zeigen das [mm] a_{i}*(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] gilt. Dies mache ich durch Induktion nach n.
n=1
[mm] a_{i}*(\summe_{k=1}^{1}b_{k})=\summe_{k=1}^{1}a_{i}b_{k}
[/mm]
daraus folgt: [mm] a_{1}*b_{k}=a_{1}*b_{k}
[/mm]
[mm] n\to [/mm] n+1
[mm] a_{1}*(\summe_{k=1}^{n+1}b_{k})=\summe_{k=1}^{n+1}a_{1}b_{k}
[/mm]
mit hilfe von Distributivgesetz weiß ich, dass gilt:
[mm] a_{1}(\summe_{k=1}^{n}b_{k}+(b_{n+1}))=(IV) \summe_{k=1}^{n}a_{1}b_{k}+(b_{n+1})
[/mm]
damit ist die Induktion nach n bewiesen
Induktionsschritt m [mm] \to [/mm] m+1
[mm] (\summe_{i=1}^{m+1}a_{i})*(\summe_{k=1}^{n}b_{k}) [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{m+1}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k}) [/mm]
Distributivgesetz:
[mm] (\summe_{i=1}^{m} a_{i}+(a_{m+1})) \summe_{k=1}^{n}b_{k}=(IV)\summe_{i=1}^{m}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] + [mm] (\summe_{k=1}^{n} b_{k}*(a_{m+1}))= \summe_{i=1}^{m+1}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k}) [/mm] weil
[mm] (\summe_{k=1}^{n} b_{k}+(a_{m+1})) [/mm] der letzte Glied von
[mm] \summe_{i=1}^{m+1}*\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k}) [/mm] ist. [mm] \Box
[/mm]
Ich bedanke mich im voraus
Liebe Grüße
Melisa
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:27 Fr 23.10.2009 | | Autor: | leduart |
Hallo
Wenn dus fuer n beweisen musst, hast du noch einen Fehler drin
Hier kommt jz ein Zwischenschritt. Ich muss zeigen das $ [mm] a_{i}\cdot{}(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] $ gilt. Dies mache ich durch Induktion nach n.
n=1
$ [mm] a_{i}\cdot{}(\summe_{k=1}^{1}b_{k})=\summe_{k=1}^{1}a_{i}b_{k} [/mm] $
hier ist der Fehler :
[mm] \summe_{k=1}^{1}b_{k}=b_1
[/mm]
also [mm] a_i*b1
[/mm]
daraus folgt: $ [mm] a_{1}\cdot{}b_{k}=a_{1}\cdot{}b_{k} [/mm] $
$ [mm] n\to [/mm] $ n+1
Indvors:
$ [mm] a_{i}\cdot{}(\summe_{k=1}^{n}b_{k})=\summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k} [/mm] $
jetzt n nach n+1
Behauptung:
$ [mm] a_{i}\cdot{}(\summe_{k=1}^{n+1}b_{k})=\summe_{k=1}^{n+1}a_{i}b_{k} [/mm] $
mit hilfe von Distributivgesetz weiß ich, dass gilt:
$ [mm] a_{i}(\summe_{k=1}^{n}b_{k}+(b_{n+1}))= [/mm]
hier fehlt der Zwischenschritt:
[mm] a_i*(\summe_{k=1}^{n}b_{k})+a_i*b_{n+1}))=
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k}+a_i*b_{n+1}))
[/mm]
[mm] =\summe_{k=1}^{n+1}a_{i}b_{k}
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}a_{i}b_{k}+(b_{n+1})) [/mm] $
hier fehlt ein [mm] a_i
[/mm]
wahrscheinlich nur Abschreibefehler.
in der Induktion nach m solltest du noch klarer Klammern setzen. im Prinzip ist sie richtig.
Gruss leduart
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:35 Fr 23.10.2009 | | Autor: | melisa1 |
hallo;
tut mir leid aber die Aufgabe ist schon hier gelandet, bevor ich sie fertig geschrieben habe.Keine Ahnung wie ich das geschaft habe. Die ist also zweimal drin und ich weiß nicht wie ich die wieder löschen kann.
(schäämmm)
Lg Melisa
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:39 Fr 23.10.2009 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Ich habe gerade gesehen, dass du die Frage früher schon abgeschickt hast, ich hänge die beiden Threads zusammen, warte nen kleinen Moment 
Marius
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