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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:45 Mi 11.06.2008 | | Autor: | kasymir |
Hallo Ihr!
HAbe gerade zwei Aufgaben zur vollständigen Induktion gelöst. KAnn einer mal bitte drüberschaun, ob das so richtig ist?Danke schön!!!!!!!!!
A)
[mm] \summe_{t=1}^{n} t^{3}= \bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}
[/mm]
1) Induktionsverankerung
P(1) ist wahr, denn links steht [mm] 1^{3}=1 [/mm] und rechts [mm] \bruch{1}{4}^{2}(1+1^{2}=1
[/mm]
2) Induktionsschritt
Annahme P(n) ist richtig. Betrachte die linke Seite von p(n+1)
[mm] \summe_{t=1}^{n} t^{3}=\summe_{t=1}^{n} t^{3}+(n+1)
[/mm]
[mm] \summe_{t=1}^{n} t^{3} [/mm] kann ersetzt werden durch [mm] \bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}
[/mm]
so das da steht
[mm] =\bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2}+(n+1)
[/mm]
[mm] =\bruch{1}{4}n^{2}(n^{2}+2n+1)+(n+1)
[/mm]
...= [mm] \bruch{1}{4}n^{2}*(n+1)^2 [/mm] + (n+1)
fertig
B) [mm] \summe_{t=1}^{n} [/mm] 1/(t*(t+1))=1-(1/(n+1))
1) Induktionsverankerung
P(1) ist wahr, denn links steht bla bla...1 und rechts bla bla=1
2) Induktionsschritt
Annahme P(n) ist richtig. Betrachte die linke Seite von p(n+1)
[mm] \summe_{t=1}^{n} 1/(t(t+1))=\summe_{t=1}^{n} [/mm] 1/(t(t+1))+(n+1)
Einsetzen
=1-(1/(n+1))+(n+1)
=(n-1-1)/(n+1) + ((n+1)(n+1))/(n-1)
[mm] =(n-2+n^2+n+n+1)/n-1
[/mm]
[mm] (n^2+3n-1)/n-1
[/mm]
Ist das alles richtig? Vielen Dank schon einmal für eure Bemühungen!
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gepostet.
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Hallo,
der erste Teil ist so falsch. Genauer:
> ...= [mm]\bruch{1}{4}n^{2}*(n+1)^2[/mm] + (n+1)
ist ja nicht das was du zeigen sollst. Vielmehr musst du zeigen, dass
[mm] \summe_{t=1}^{n+1} t^{3}= \bruch{1}{4}(n+1)^{2}((n+1)+1)^{2} [/mm] ist. Dein Fehler liegt schon am Anfang. Es gilt:
[mm] \summe_{t=1}^{n+1} t^{3} [/mm] = [mm] \summe_{t=1}^{n} t^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \bruch{1}{4}n^{2}(n+1)^{2} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] mit der Induktionsvorraussetzung. Das jetzt in die Form oben bringen und du bist fertig. Bei b.) machst du den gleichen Fehler.
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:19 Mi 11.06.2008 | | Autor: | kasymir |
Hä? Warum wir aus [mm] \summe_{t=1}^{n}t^3 [/mm] dann
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}t^3 [/mm] * [mm] (n+1)^3 [/mm] das ^3 ist mir schleierhaft...
Und warum steht da nur 1/4 [mm] (n+1)^2((n+1)+1)^2 [/mm] was ist mit dem [mm] n^2 [/mm] hinter dem 1/4 passiert?
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gepostet.
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Hallo,
[mm] \summe_{t=1}^{n+1}t^3 [/mm] ist ja nichts anderes als [mm] \summe_{t=1}^{n+1}t^3 [/mm] = [mm] 1^{3} [/mm] + [mm] 2^{3} [/mm] + .. + [mm] n^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] und wenn du aus [mm] \summe_{i=1}^{n+1}t^3 [/mm] n+1 rausziehst, steht dann [mm] 1^{3} [/mm] + [mm] 2^{3} [/mm] + .. + [mm] n^{3} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \summe_{t}^{n} [/mm] + [mm] (n+1)^{3}.
[/mm]
> Und warum steht da nur 1/4 [mm](n+1)^2((n+1)+1)^2[/mm] was ist mit
> dem [mm]n^2[/mm] hinter dem 1/4 passiert?
>
Das ist da doch immer noch, nur das jetzt für n n+1 eingesetzt ist.
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:36 Mi 11.06.2008 | | Autor: | kasymir |
Ok...soweit verstanden. Aber was setzte ich denn dann bei B) anstatt des n+1 ein?Da bin ich dann völlig überfragt...
Gruß
Kathi
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Hallo,
Es ist [mm] \summe_{t=1}^{n+1} \bruch{1}{t(t+1)} [/mm] = [mm] \summe_{t=1}^{n} \bruch{1}{t(t+1)} [/mm] + [mm] \bruch{1}{(n+1)(n+2)} [/mm] (einfach für t n+1 eingesetzt).
Du musst zeigen, dass das identisch ist zu 1 - [mm] \bruch{1}{((n+1)+1)}.
[/mm]
OK?
Grüße, Steffen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:12 Mi 11.06.2008 | | Autor: | kasymir |
B) habe ich berechnet. Aber egal wie ich A) umforme ich komme nicht auf das Ergebnis.
[mm] =1/4n^2(n+1)^2+(n+1)^3
[/mm]
[mm] =1/4n^2(n+1)^2+(n^3+3n^2+3n+1)
[/mm]
[mm] =1/4n^2(n^2+2n+1)+(n^3+3n^2+3n+1)
[/mm]
[mm] =1/4(n^4+2n^3+n^2+n^3+3n^2+3n+1)
[/mm]
komme aber weiß gott nicht auf deine Lösung. Muss ich den Gleichung noch mit (n+1) oder so erweitern?
Setze ich nämlich eine beliebige Zahl für n ein, so kommt jeweils ein unterschiedliches Ergebnis heraus....
Da steckt echt der Wurm drin
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Hallo,
so wird es was:
[mm] \summe_{t=1}^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{t=1}^{n} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] (n+1)^{3} [/mm] = [mm] \bruch{n^{2}(n+1)^{2}}{4} [/mm] + [mm] \bruch{4(n+1)^{3}}{4} [/mm] =
[mm] \bruch{1}{4}*(n+1)^{2}*( n^{2} [/mm] + 4(n+1))
(also [mm] \bruch{1}{4}(n+1)^{2} [/mm] ausgeklammert).
Nun ist [mm] n^{2}+ [/mm] 4n + 4 = [mm] (n+2)^{2}, [/mm] also
[mm] \bruch{1}{4}*(n+1)^{2}*(n+2)^{2}.
[/mm]
grüße, Steffen
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:41 Mi 11.06.2008 | | Autor: | kasymir |
Danke schön für die schnelle Hilfe!
Schönen fußballreichen NAchmittag noch.
Gruß,
Kathi
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