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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:03 Di 14.09.2004 | | Autor: | Jaykop |
Hallo,
Folgende Aufgabe soll gelöst werden;
Beweisen sie über vollständige Induktion:
[mm] \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \bruch{n(n+1) (n+2)}{3} [/mm]
Ich habe dann folgendes gamacht:
1. Induktionsanfang n=1
zu zeigen: [mm] A(1) [/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{1}k(k+1) = \bruch{1(1+1) (1+2)}{3} = 1(1+1) = 2[/mm]
Beweis:
[mm] \sum_{k=1}^{1} k(k+1) = 1(1+1) = 2 \Box [/mm]
2. Induktionsschritt
Vorraussetzung: [mm] A(n) [/mm] gilt
[mm] \sum_{k=1}^{n} k(k+1) = \bruch{n(n+1) (n+2)}{3} [/mm]
Behauptung: [mm] A(n+1) [/mm]
[mm] \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \bruch{(n+1) [(n+1)+1] [(n+1)+2)]}{3} [/mm]
Beweis:
[mm] \sum_{k=1}^{n+1} k(k+1) = \sum_{k=1}^{n} k(k+1) +(n+1)[(n+1)+1)] [/mm]
nach vorraussetzung:
[mm] =\bruch{n(n+1)(n+2)}{3} + (n+1)[(n+1)+1)] [/mm]
[mm] =\bruch{3\left\{n(n+1)(n+2) + (n+1)[(n+1)+1]\right\}}{3} [/mm]
jetzt komme ich nicht weiter...
hab ich mich vertan?
Vielen Dank
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Da würde ich aber noch weiter vereinfachen:
