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vollständige Differential: Frage
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:55 Do 15.09.2005
Autor: Diggler

Guten morgen,
bei uns in der Klausur kommt folgende Aufgabe vor:
Bilden Sie das totale und vollständige Differential der Funktion
[mm] z(x;y)=4x³y-3x*e^y [/mm]
und beschreiben Sie den Sinn desselben!
und ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll.

bis bald
Dirk

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

        
Bezug
vollständige Differential: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:12 Do 15.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo Dirk!
> Guten morgen,
>  bei uns in der Klausur kommt folgende Aufgabe vor:
>  Bilden Sie das totale und vollständige Differential der
> Funktion
> [mm]z(x;y)=4x³y-3x*e^y[/mm]
>  und beschreiben Sie den Sinn desselben!
>  und ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll.

Na, da fängst du aber spät an mit Lernen... [kopfschuettel] ;-)

Also, z. B. []hier findest du die Definition für das totale Differential. Es ist einfach die Summe der partiellen Ableitungen. Bei deiner Aufgabe hätten wir:

[mm] \bruch{\partial{z(x,y)}}{\partial{x}} [/mm] = [mm] 12x^2y-3e^y [/mm]

und

[mm] \bruch{\partial{z(x,y)}}{\patrial{y}} [/mm] = [mm] 4x^3-3xe^y [/mm]

Und das macht dann zusammen:

[mm] dz(x,y)=12x^2y-3e^ydx+4x^3-3xe^ydy [/mm]

Und damit dürfte die Aufgabe eigentlich gelöst sein. Wo war da dein Problem?

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
                
Bezug
vollständige Differential: Anmerkung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 12:28 Do 15.09.2005
Autor: danielinteractive

Hallo,

@Bastiane:
bei der Ableitung nach y muss es heißen [mm]...-3xe^y[/mm], oder?

@Dirk:
ein totales Differential ist immer eine lineare Funktion, in diesem Fall von [mm] \IR^2 \to \IR[/mm]. Man kann sich den Graph des tot. Diff. also als Ebene im dreidimensionalen Raum vorstellen. Und zwar ist der Graph, nach entsprechender Verschiebung vom Nullpunkt in den Punkt [mm](x,y,z(x,y))[/mm], genau die Tangentialebene an den Graph der Funktion [mm]z[/mm] Er "schmiegt" sich also an die Funktion an.
Unten ein Plot deiner Funktion, mit totalem Differential im Punkt [mm](0,0)[/mm]: das ist hier genau die Funktion, die alles auf 0 abbildet! (siehe partielle Ableitungen).
[Dateianhang nicht öffentlich]


Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: gif) [nicht öffentlich]
Bezug
                        
Bezug
vollständige Differential: editiert...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 13:06 Do 15.09.2005
Autor: Bastiane

Hallo Daniel!
> @Bastiane:
>  bei der Ableitung nach y muss es heißen [mm]...-3xe^y[/mm], oder?

Doch, du hast Recht. Ich dachte, die innere Ableitung wäre y, aber sie ist natürlich 1, wodurch ich dann dort ein y zu viel stehen habe. Danke für die Korrektur.

Viele Grüße
Bastiane
[cap]


Bezug
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