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vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:25 Sa 14.11.2015
Autor: JXner

Aufgabe
Für alle n [mm] \in \IN [/mm] , n [mm] \ge [/mm] 2, gilt
[mm] \summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)} [/mm]

Ich bräuchte Hilfestellung bei dieser Aufgabe.
Wie stelle ich den Induktionsanfang,die Induktionsvorrausssetzung und die Induktionsbehauptung auf?

Würde mich über Rückmeldung freuen.

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:36 Sa 14.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo JXner,

> Für alle n [mm]\in \IN[/mm] , n [mm]\ge[/mm] 2, gilt
> [mm]\summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)}[/mm]

>

> Ich bräuchte Hilfestellung bei dieser Aufgabe.
> Wie stelle ich den Induktionsanfang,die
> Induktionsvorrausssetzung und die Induktionsbehauptung
> auf?

>

> Würde mich über Rückmeldung freuen.

Na, der Induktionsanfang ist bei [mm]\red{n=2}[/mm]

Es ist also zu zeigen, dass [mm]\sum\limits_{j=2}^{\red 2}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)}=\frac{2\cdot{}\red 2-2}{10(2\cdot{}\red 2+8)}[/mm] gilt - rechne beide Seiten einfach aus.

Im Induktionsschritt [mm]n\to n+1[/mm] sei [mm]n\in \IN, n\ge 2[/mm] beliebig, aber fest gewählt und es gelte

[mm]\summe_{j=2}^{n} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2n-2}{10(2n+8)}[/mm] (Induktionsvoraussetzung)

Zu zeigen ist nun, dass unter dieser Voraussetzung die Beh. auch für [mm]\blue{n+1}[/mm] gilt, dass also

[mm]\summe_{j=2}^{\blue{n+1}} \bruch{2}{(2j+6)*(2j+8)}= \bruch{2(\blue{n+1})-2}{10(2(\blue{n+1})+8)}[/mm] gilt.

Nimm dazu die linke Seite her und spalte die Summe in die Summe von j=2 bis j=n und den einzelnen Summanden für j=n+1 auf. Auf die Summe bis n kannst du dann die Induktionsvoraussetzung loslassen und den Rest so zusammenfassen, dass hoffentlch am Ende die zu zeigende rechte Seite mit dem n+1 dasteht ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:13 Sa 14.11.2015
Autor: JXner

so in etwa oder liege ich weit daneben?

[mm] \summe_{i=2}^{n+1} \bruch{2}{(2j+6)(2j+8)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)} [/mm]

Bezug
                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:18 Sa 14.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,

> so in etwa oder liege ich weit daneben?

>

> [mm]\summe_{i=2}^{n+1} \bruch{2}{(2j+6)(2j+8)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]

Da hast du die Indizes an der Summen durcheinandergehauen:

Du meinst es aber sicher richtig:

Korrekt aufgeschrieben meinte ich mit der Aufspaltung:

[mm]\sum\limits_{\red j=2}^{n+1}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)} \ = \ \left(\sum\limits_{j=2}^{\blue n}\frac{2}{(2j+6)(2j+8)}\right) \ + \ \frac{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]

Nun weiter ...

Gruß

schachuzipus

Bezug
                                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:54 Sa 14.11.2015
Autor: JXner

[mm] \bruch{2n - 2}{10(2n+8)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)} [/mm]
= [mm] \bruch{2n - 2}{20n+80} [/mm] + [mm] \bruch{2}{(2n+8)(2n+10)} [/mm]
= [mm] \bruch{2n - 2}{20n+80} [/mm] + [mm] \bruch{2}{4n^{2}+20n+16n+80} [/mm]
= [mm] \bruch{n - 1}{10n+40} [/mm] + [mm] \bruch{1}{2n^{2}+10n+8n+40} [/mm]

und nun?


Bezug
                                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:57 Sa 14.11.2015
Autor: schachuzipus

Hallo nochmal,


> [mm]\bruch{2n - 2}{10(2n+8)}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2(n+1)+6)(2(n+1)+8)}[/mm]


> = [mm]\bruch{2n - 2}{20n+80}[/mm] + [mm]\bruch{2}{(2n+8)(2n+10)}[/mm] [ok]

Aber vorne bitte nicht ausmultiplizieren.

Klammere [mm] $\frac{1}{2n+8}$ [/mm] aus ...

Du musst immer im Auge behalten, worauf du hinaus willst ...

> = [mm]\bruch{2n - 2}{20n+80}[/mm] + [mm]\bruch{2}{4n^{2}+20n+16n+80}[/mm]
> = [mm]\bruch{n - 1}{10n+40}[/mm] + [mm]\bruch{1}{2n^{2}+10n+8n+40}[/mm]

>

> und nun?

Nun erkennt man nix mehr ... Nicht blind ausmultiplizieren!

Gruß

schachuzipus
>

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