matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Mathe
  Status Schulmathe
    Status Primarstufe
    Status Mathe Klassen 5-7
    Status Mathe Klassen 8-10
    Status Oberstufenmathe
    Status Mathe-Wettbewerbe
    Status Sonstiges
  Status Hochschulmathe
    Status Uni-Analysis
    Status Uni-Lin. Algebra
    Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Diskrete Mathematik
    Status Fachdidaktik
    Status Finanz+Versicherung
    Status Logik+Mengenlehre
    Status Numerik
    Status Uni-Stochastik
    Status Topologie+Geometrie
    Status Uni-Sonstiges
  Status Mathe-Vorkurse
    Status Organisatorisches
    Status Schule
    Status Universität
  Status Mathe-Software
    Status Derive
    Status DynaGeo
    Status FunkyPlot
    Status GeoGebra
    Status LaTeX
    Status Maple
    Status MathCad
    Status Mathematica
    Status Matlab
    Status Maxima
    Status MuPad
    Status Taschenrechner

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Dt. Schulen im Ausland: Mathe-Seiten:Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenUni-Analysis-Induktionvollständige Induktion
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Uni-Analysis-Induktion" - vollständige Induktion
vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 09:27 Mo 31.05.2021
Autor: Karl13

Aufgabe
Zu Zeigen:

[mm] (X+Y)^{n-1} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1}) [/mm]

Hallo MatheRaum-Community,

Ich würde gerne zu der oben genannten Frage mir ein paar Anregungen und Tipps holen.
Ich würde dies mit vollständiger Induktion zeigen.

(IA)
n=1
1= [mm] ((X+Y)^{0} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})= [/mm] 2
n=2
[mm] (X+Y)=(X+Y)^{1} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y) [/mm]
(IV) Die Behauptung gelte für ein n [mm] \in \IN [/mm]
(IS) n [mm] \to [/mm] n+1 (zz. [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n}) [/mm]
[mm] (X+Y)^{n}= (X+Y)^{n-1}(X+Y) \underbrace{\le}_{IV} [/mm] max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})(X+Y) [/mm] = max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-1})X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) [/mm]
So an dieser Stelle weiß ich nicht weiter. Ich muss ja kommen auf [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] max (1, [mm] 2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n}). [/mm] Wie gehe ich hier am besten weiter vor? Und ist das bisher durchgeführte so korrekt?

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Vielen Dank und liebe Grüße
Karl13

        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:18 Mo 31.05.2021
Autor: fred97

Hallo Karl,

leider hast Du nicht gesagt aus welchem Zahlbereich X und Y stammen sollen.

Ich gehe mal von $X,Y [mm] \ge [/mm] 0$ aus. Für $n=1$ und $n=2$ ist die Sache klar.

Für $n [mm] \ge [/mm] 2$ ist [mm] $\max \{1,2^{n-2}\}= 2^{n-2}.$ [/mm] Es is also zu zeigen, dass


( [mm] \frac{x+y}{2})^{n} \le \frac{1}{2}(x^n+y^n) [/mm]

ist für $x,y [mm] \ge [/mm] 0$ und $n [mm] \ge [/mm] 2.$

Das folgt aber aus der Tatsache, dass die Funktion [mm] $f(x)=x^n$ [/mm]  auf $[0, [mm] \infty)$ [/mm] konvex ist.

Bezug
        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 23:36 Di 01.06.2021
Autor: HJKweseleit


> Zu Zeigen:
>  
> [mm](X+Y)^{n-1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})[/mm]
>  Hallo
> MatheRaum-Community,
>  
> Ich würde gerne zu der oben genannten Frage mir ein paar
> Anregungen und Tipps holen.
>  Ich würde dies mit vollständiger Induktion zeigen.
>  
> (IA)
>  n=1
>  1= [mm]((X+Y)^{0} \le[/mm] max (1, [mm]2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})=[/mm] 2
>  n=2
>  [mm](X+Y)=(X+Y)^{1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y)[/mm]
>  
> (IV) Die Behauptung gelte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
>  (IS) n [mm]\to[/mm]
> n+1 (zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n})[/mm]


Wegen n>2 bzw. im Rückgriff auf n=2: [mm] n\ge [/mm] 2 ist max (1, [mm] 2^{n-1})=2^{n-1}, [/mm] damit

zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm]  [mm]2^{n-1}(X^{n}+ Y^{n})[/mm]

Vorbemerkung:
[mm] 0\le (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}), [/mm] da beide Klammern dasselbe Vorzeichen haben oder 0 sind

[mm] \Rightarrow 0\le x^n-xy^{n-1}-yx^{n-1}+y^n [/mm]

[mm] \Rightarrow xy^{n-1}+yx^{n-1}\le x^n+y^n [/mm]

[mm] \Rightarrow x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n=x^n+(xy^{n-1}+yx^{n-1})+y^n \le x^n+(x^n+y^n)+y^n=2(x^n+y^n) [/mm]

Induktionsschritt:

[mm] (x+y)^n=(x+y)(x+y)^{n-1}\le (x+y)*2^{n-2}*(x^{n-1}+y^{n-1}), [/mm]  falls [mm] (x+y)\ge [/mm] 0 [mm] ...=2^{n-2}*( x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n)\le [/mm]     (s. Vorbemerkung)  [mm] 2^{n-2}*2(x^n+y^n) =2^{n-1}*(x^n+y^n) [/mm]


Damit im Induktionsschritt das [mm] \le-Zeichen [/mm] erhalten bleibt, muss [mm] (x+y)\ge [/mm] 0 sein.

Bezug
                
Bezug
vollständige Induktion: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:10 Di 08.06.2021
Autor: Karl13

Hallo,
vielen Dank erstmal.

Leider ist zu dem Zahlenbereich aus dem X und Y stammen keine Anmerkung vorhanden. Aber es macht ja nur dann Sinn, wenn X und Y [mm] \ge [/mm] 0 sind, oder?
Ich versuche es nochmal vollständig aufzuschreiben und hoffe, dass ihr es dann nochmal überprüfen könnt und es dann so korrekt wäre.

Zu Zeigen:

$ [mm] (X+Y)^{n-1} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1}) [/mm] $
für X,Y [mm] \ge [/mm] 0.

(IA)
n=1
1= $ [mm] ((X+Y)^{0} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})= [/mm] $ 2
n=2
$ [mm] (X+Y)=(X+Y)^{1} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y) [/mm] $
(IV) Die Behauptung gelte für ein n $ [mm] \in \IN [/mm] $
(IS) n $ [mm] \to [/mm] $ n+1 (zz. $ [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] $ max (1, $ [mm] 2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n}) [/mm] $


Zwischenüberlegung:

Für [mm] n\ge [/mm] 2 gilt max (1,  [mm] 2^{n-1})=2^{n-1} [/mm]
Also bleibt zz. $ [mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] $  [mm] 2^{n-1}(X^{n}+ Y^{n}) [/mm]

[mm] (X+Y)^{n}= (X+Y)^{n-1}(X+Y) \underbrace{\le}_{IV} [/mm]  max (1, [mm] 2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})(X+Y) [/mm]  =  [mm] 2^{n-2}(X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) [/mm]

"Vorbemerkung:
$ [mm] 0\le (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}), [/mm] $ da beide Klammern dasselbe Vorzeichen haben oder 0 sind

$ [mm] \gdw 0\le x^n-xy^{n-1}-yx^{n-1}+y^n [/mm] $

$ [mm] \gdw xy^{n-1}+yx^{n-1}\le x^n+y^n [/mm] $"

Dies nutzen wir um [mm] (X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) [/mm] abzuschätzen :

"$ [mm] \Rightarrow x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n=x^n+(xy^{n-1}+yx^{n-1})+y^n \le x^n+(x^n+y^n)+y^n=2(x^n+y^n) [/mm] $"

und Somit gilt insgesamt:

[mm] (X+Y)^{n} \le [/mm] ... [mm] \le 2^{n-2}X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) \le [/mm]
[mm] 2^{n-2}2(X^n+X^n) [/mm] = [mm] 2^{n-1}(X^n+X^n) [/mm]
Und damit gilt die Behauptung für alle n [mm] \in \IN. [/mm]


Ist das so korrekt?

Vielen Dank und liebe Grüße
Karl13

Bezug
                        
Bezug
vollständige Induktion: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:23 Di 08.06.2021
Autor: HJKweseleit


> Hallo,
>  vielen Dank erstmal.
>  
> Leider ist zu dem Zahlenbereich aus dem X und Y stammen
> keine Anmerkung vorhanden. Aber es macht ja nur dann Sinn,
> wenn X und Y [mm]\ge[/mm] 0 sind, oder?
>  Ich versuche es nochmal vollständig aufzuschreiben und
> hoffe, dass ihr es dann nochmal überprüfen könnt und es
> dann so korrekt wäre.
>  
> Zu Zeigen:
>  
> [mm](X+Y)^{n-1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})[/mm]
>  für
> X,Y [mm]\ge[/mm] 0.
>  
> (IA)
>  n=1
>  1= [mm]((X+Y)^{0} \le[/mm] max (1, [mm]2^{-1})(X^{0}+ Y^{0})=[/mm] 2
>  n=2
>  [mm](X+Y)=(X+Y)^{1} \le[/mm] max (1, [mm]2^{0})(X^{1}+ Y^{1})=(X+Y)[/mm]
>  
> (IV) Die Behauptung gelte für ein n [mm]\in \IN[/mm]
>  (IS) n [mm]\to[/mm]
> n+1 (zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm] max (1, [mm]2^{n-1})(X^{n}+ Y^{n})[/mm]
>  
>
> Zwischenüberlegung:
>  
> Für [mm]n\ge[/mm] 2 gilt max (1,  [mm]2^{n-1})=2^{n-1}[/mm]
> Also bleibt zz. [mm](X+Y)^{n} \le[/mm]  [mm]2^{n-1}(X^{n}+ Y^{n})[/mm]
>
> [mm](X+Y)^{n}= (X+Y)^{n-1}(X+Y) \underbrace{\le}_{IV}[/mm]  max (1,
> [mm]2^{n-2})(X^{n-1}+ Y^{n-1})(X+Y)[/mm]  =  [mm]2^{n-2}(X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n})[/mm]
>
> "Vorbemerkung:
>  [mm]0\le (x-y)(x^{n-1}-y^{n-1}),[/mm] da beide Klammern dasselbe Vorzeichen haben oder 0 sind [notok]

Hier habe ich mich vertan. Wenn z.B. x=3 und y= -4 ist, ist die linke Klammer=-1 negativ, die rechte aber z.B. [mm] (x^4+y^4)=(3^4+(-4)^4)=81+256 [/mm] positiv.

Also müssen x und y beide [mm] \ge [/mm] 0 sein.


>  
> [mm]\gdw 0\le x^n-xy^{n-1}-yx^{n-1}+y^n[/mm]
>  
> [mm]\gdw xy^{n-1}+yx^{n-1}\le x^n+y^n [/mm]"
>  
> Dies nutzen wir um [mm](X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n})[/mm]
> abzuschätzen :
>  
> "[mm] \Rightarrow x^n+xy^{n-1}+yx^{n-1}+y^n=x^n+(xy^{n-1}+yx^{n-1})+y^n \le x^n+(x^n+y^n)+y^n=2(x^n+y^n) [/mm]"
>  
> und Somit gilt insgesamt:
>  
> [mm](X+Y)^{n} \le[/mm] ... [mm]\le 2^{n-2}X^{n}+ XY^{n-1}+ X^{n-1}Y+ Y^{n}) \le[/mm]
> [mm]2^{n-2}2(X^n+X^n)[/mm] = [mm]2^{n-1}(X^n+X^n)[/mm]
> Und damit gilt die Behauptung für alle n [mm]\in \IN.[/mm]
>  
>
> Ist das so korrekt?
>  
> Vielen Dank und liebe Grüße
>  Karl13


Bezug
                                
Bezug
vollständige Induktion: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:47 Mi 09.06.2021
Autor: Karl13

Vielen Dank, ja mit dem x,y [mm] \ge [/mm] 0 war mir dann auch aufgefallen, deswegen hatte ich es oben noch vorausgesetzt.


Vielen Dank und liebe Grüße
Karl13

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Uni-Analysis-Induktion"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.matheraum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]