vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:27 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Me22 |
| Aufgabe | Die Folge [mm] (x_{n})^{\infty}_{n=1} [/mm] sei rekursiv definiert durch:
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] x_{2} [/mm] :=1 und [mm] x_{n+2} [/mm] = [mm] x_{n+1} [/mm] + [mm] x_{n}
[/mm]
Zeigen Sie mittels vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen gilt:
[mm] x_{n} \* x_{n+1}= \summe_{j=1}^{n} x_{j}^{2} [/mm] |
Hallo zusammen,
habe hier diese schöne Aufgabe, und weiß nun nicht wie ich da anfangen soll. Also zunächst prüfe ich ob die Aussage für n=1 zutrifft, dann behaupte ich, dass das Ganze auch für n=>n+1 gelten soll. Soweit verstanden...aber im Zuge des Beginns des Induktionsbeweises komme ich auf keine sinnvolle Gleichung :-(
Wäre für jede Hilfe sehr dankbar 
P.S.: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:34 Mi 02.07.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Me,
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !!
Setze einfach für jedes $n_$ den Term $n+1_$ und anschließend die vorgegebene Definition ein:
[mm] $$x_{n+1}*\blue{x_{n+2}} [/mm] \ = \ [mm] x_{n+1}*\left(\blue{x_n+x_{n+1}}\right) [/mm] \ = \ [mm] \red{x_n*x_{n+1}}+x_{n+1}^2 [/mm] \ = \ ...$$
Für den roten Ausdruck kannst Du nun die Induktionsvoraussetzung einsetzen.
Gruß
Loddar
|
|
|
|
