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| Aufgabe | Beweisen Sie mittels vollständige Induktion
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}=\bruch{2n}{3(n+3)}
[/mm]
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Guten Morgen in den matheraum
ich habe schon
Induktionsanfang:
n=1
[mm] S_1=\bruch{1}{6}
[/mm]
Induktionsvoraussetzung:
[mm] S_n=\bruch{2n}{3(n+3)}
[/mm]
Induktionsbehauptung:
[mm] S_n_+_1=\bruch{2(n+1)}{3(n+1+3)}=\bruch{2n+2}{3(n+4)}
[/mm]
[mm] S_n_+_1=S_n+
[/mm]
hier entsteht mein Problem ich muß zur Summe [mm] S_n [/mm] das n+1 te Glied addieren, um auf [mm] S_n_+_1 [/mm] zu kommen, wie kann ich das bilden?
Zwinkerlippe
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> Beweisen Sie mittels vollständige Induktion
>
> [mm]\summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}=\bruch{2n}{3(n+3)}[/mm]
>
> Guten Morgen in den matheraum
>
> ich habe schon
>
> Induktionsanfang:
> n=1
> [mm]S_1=\bruch{1}{6}[/mm]
Hallo,
Du erklärst gar nicht was [mm] S_1 [/mm] sein soll.
Du mußt das richtig vorrechnen:
[mm] \summe_{k=1}^{1}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}=\bruch{2}{(1+2)(1+3)}=\bruch{1}{6}=\bruch{2*1}{3*(1+3)}
[/mm]
>
> Induktionsvoraussetzung:
>
Es gelte für ein [mm] n\in \IN
[/mm]
[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}=
[/mm]
> [mm]S_n=\bruch{2n}{3(n+3)}[/mm]
>
> Induktionsbehauptung:
Zu zeigen:
Unter dieser Voraussetzung gilt auch
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}
[/mm]
> [mm]S_n_+_1=\bruch{2(n+1)}{3(n+1+3)}=\bruch{2n+2}{3(n+4)}[/mm]
>
> [mm]S_n_+_1=S_n+[/mm]
>
> hier entsteht mein Problem ich muß zur Summe [mm]S_n[/mm] das n+1 te
> Glied addieren, um auf [mm]S_n_+_1[/mm] zu kommen, wie kann ich das
> bilden?
Beweis.
Es ist
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{(k+2)(k+3)} [/mm] + ???
??? ist das letzte Glied der Summe [mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}, [/mm] also das Glied, bei welchem man für k die Zahl n+1 einsetzt, dh.
[mm] \summe_{k=1}^{n+1}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}=\summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{(k+2)(k+3)} [/mm] + [mm] \bruch{2}{((n+1)+2)((n+1)+3)}
[/mm]
= ...
Auf die Summe kannst Du nun mit der Induktionsvoraussetzung losgehen.
Gruß v. Angela
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[mm] \summe_{k=1}^{n}\bruch{2}{(k+2)(k+3)}+\bruch{2}{((n+1)+2)((n+1)+3)}=\bruch{2(n+1)}{3(n+4)}
[/mm]
[mm] \bruch{2n}{3(n+3)}+\bruch{2}{(n+3)(n+4)}=\bruch{2(n+1)}{3(n+4)}
[/mm]
Erweitern
1. Bruch mit (n+4)
2. Bruch mit 3
3. Bruch mit (n+3)
[mm] \bruch{2n^{2}+8n+6}{3(n+3)(n+4)}=\bruch{2n^{2}+8n+6}{3(n+3)(n+4)}
[/mm]
ich habe jetzt die Gleichheit bewiesen? Ist es so richtig? Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:27 So 28.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwinkerlippe!
Dieser Weg ist so möglich (und m.E. auch okay), auch wenn man normalerweise bei vollständiger Induktion die linke Seite durch Umformung in die rechte Seite umformt.
Gruß
Loddar
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Na gut dann kann ich doch auf der linken Seite den Zähler [mm] 2n^{2}+8n+6 [/mm] in Linearfaktoren zerlegen 2(n+3)(n+1) und (n+3) kürzen, jetzt habe ich exakt den Term auf der rechten Seite, so machbar? Zwinkerlippe
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 12:55 So 28.09.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Zwinkerlippe!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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