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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:01 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
| Aufgabe | Beweisen sie mit vollständiger Induktion:
a) Falls p [mm] \ge [/mm] 2 eine natürliche Zahl ist, so gilt: [mm] p^{n} [/mm] > n für alle n [mm] \in \IN [/mm] . |
Hallo Leute,
ich benötige erneut eure Hilfe für einen Induktionsbeweis. Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt. Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen:
Der Induktionsanfang lautet wie folgt:
I.A. : [mm] n_{0} [/mm] = 1 liefert [mm] p^{1} [/mm] > 1 --> wahr für p [mm] \ge [/mm] 2
I.V. für n > [mm] n_{0} [/mm] gilt [mm] p^{n} [/mm] > n
I.S. (n --> n+1)
[mm] p^{n+1} [/mm] > n+1
Und hier komme ich nicht mehr weiter mein einziger Einfall der mich aber nicht weiter bringt ist folgender:
[mm] p^{n+1} [/mm] = [mm] p^{n} [/mm] * [mm] p^{1} [/mm] , worin ja schonmal ein Teil der I.V. vorhanden ist.
Ich hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
Danke, Gruß Micky
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:06 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micky!
Na, da bist du doch schon fast fertig, wenn Du nun die I.V. anwendest:
[mm] $$p^{n+1} [/mm] \ = \ [mm] \red{p^n}*p^1 [/mm] \ [mm] \red{>} [/mm] \ [mm] \red{n}*p$$
[/mm]
Und da ja gilt $p \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ , wird daraus:
[mm] $$n*\blue{p} [/mm] \ [mm] \blue{\ge} [/mm] \ [mm] n*\blue{2} [/mm] \ = \ [mm] n+\green{n} [/mm] \ [mm] \green{>} [/mm] \ [mm] n+\green{1}$$
[/mm]
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:59 Fr 07.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
Danke für die schnelle Antwort wie würde denn dieser Lösungsweg bezogen auf folgende abgeänderte Aufgabenstellung aussehen:
p [mm] \ge [/mm] 3 ; [mm] p^{n} [/mm] > [mm] n^{2}
[/mm]
eigentlich müsste ich doch da ähnlich ansetzen also:
I.A. : [mm] n_{0}=1 [/mm] --> [mm] p^{1} [/mm] > [mm] 1^{2} [/mm] für p [mm] \ge [/mm] 3
I.V. für n > [mm] n_{0} [/mm] gilt [mm] p^{n} [/mm] > [mm] n^{2}
[/mm]
I.S. (n --> n+1)
[mm] p^{n+1} [/mm] > [mm] (n+1)^{2}
[/mm]
mit der linken seite begonnen also:
[mm] p^{n+1} [/mm] = [mm] p^{n} [/mm] * p
daraus folgt mit I.V. [mm] p^{n} [/mm] * p > [mm] n^{2} [/mm] * p
und jetzt hakt es wieder :(
irgendwie fehlt mir an dieser Stelle der Durchblick.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:02 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micky!
Wir wenden wiederum denselben Trick an:
$$... \ > \ [mm] p*n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ [mm] 3*n^2 [/mm] \ = \ [mm] n^2+\blue{n^2}+\green{n^2} [/mm] \ > \ [mm] n^2+\blue{2n}+\green{1} [/mm] \ = \ ...$$
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:38 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Micky25 |
muss ich denn den letzten Teil noch beweisen:
also was ich meine ist ob ich [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] + [mm] n^{2} [/mm] > [mm] n^{2} [/mm] + 2n + 1 noch beweisen muss. Oder kann ich sagen, dass dies schon bewiesen ist laut I.V. (wo ich ja gesagt hab n > 1 und das gilt ja auch nur ab n>1)?
Gruß Micky
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:42 Sa 08.11.2008 | | Autor: | Loddar |
Hallo Micky!
Gemäß Voraussetzung der Aufgabenstellung gilt doch hier $n \ [mm] \ge [/mm] \ 1$ .
Für $n \ = \ 1$ wurde es im Induktionsanfang nachgewiesen.
Damit gilt auch für $n \ [mm] \ge [/mm] \ 2$ : [mm] $n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 2*n$ bzw. [mm] $n^2 [/mm] \ [mm] \ge [/mm] \ 1$
Gruß
Loddar
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