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| Aufgabe | | [mm] \sum_{k=0}^{2n} [/mm] k = n (2n+1) |
HalliHallo!
Ich versage hier noch am Induktionsanfang:
A(1)
0+1= 1*(2*1+1)
0+1= 3
was falsch wäre. Was mache ich falsch. Hab ich ein Gedankenfehler von der Berechnung der Summe ???
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:10 So 04.12.2011 | | Autor: | DM08 |
[mm] z.z.:\summe_{k=0}^{2n}k=n(2n+1) [/mm] für [mm] alle\n\in\IN
[/mm]
Induktionsafang (n=1) : z.z.: [mm] \summe_{k=0}^{2*1}k=1(2*1+1)
[/mm]
[mm] \summe_{k=0}^{2}k=3
[/mm]
[mm] \gdw [/mm] 0+1+2=3=3
[mm] \gdw [/mm] 3=3
Induktionsvorraussetzung : Es gelte für ein beliebiges (festes) [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Gleichung [mm] \summe_{k=0}^{2n}k=n(2n+1).
[/mm]
Induktionsschluss [mm] (n\mapston+1): [/mm] z.z.: [mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1)
[/mm]
Nun bist du dran.
MfG
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Ah okay dann gilts ab n > 1 oder?
Hab es nämlich für n=2 und n=3 ausprobiert und da gehts!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:20 So 04.12.2011 | | Autor: | DM08 |
Ließ bitte nochmals meine Veränderung. Habe mich geirrt.
MfG
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:26 So 04.12.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
rechne richtig. dann stimmt es für 1 die summe geht dann ja bis 2n also 2*1
gruss leduart
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Induktionsschluss $ [mm] (n\mapston+1): [/mm] $ z.z.: $ [mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1) [/mm] $
I.SChritt:
[mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2n}k [/mm] + (2n+2)
Wegen Induktionsannahme
n*(2n+1) + (2n+2)
= [mm] 2n^2 [/mm] + n + 2n +2
Schon falsch?
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> Induktionsschluss [mm](n\mapston+1):[/mm] z.z.:
> [mm]\summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1)[/mm]
>
> I.SChritt:
> [mm]\summe_{k=0}^{2(n+1)}k[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{2n}k[/mm] + (2n+2)
Hallo,
das stimmt nicht: bedenke, daß 2(n+1)=2n+2.
Also [mm] $\summe_{k=0}^{2(n+1)}k$ [/mm] = [mm] $\summe_{k=0}^{2n+2}k$ =$\summe_{k=0}^{2n}k$+...+...
[/mm]
Gruß v. Angela
> Wegen Induktionsannahme
> n*(2n+1) + (2n+2)
> = [mm]2n^2[/mm] + n + 2n +2
>
> Schon falsch?
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Hallo,
> Induktionsschluss $ [mm] (n\mapston+1): [/mm] $ z.z.:
> $ [mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1) [/mm] $
>
> I.SChritt:
[mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2n+2}k [/mm] = [mm] \summe_{k=0}^{2n}k [/mm] +(2n+1)+(2n+2)
Iduktionsannahme
n*(2n+1) + (2n+1) (2n+2)
Ich hab versucht (n+1) herauszuheben, was aber gescheitert ist.
LG
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> Hallo,
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> > Induktionsschluss [mm](n\mapston+1):[/mm] z.z.:
> > [mm]\summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1)[/mm]
> >
> > I.SChritt:
> [mm]\summe_{k=0}^{2(n+1)}k[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{2n+2}k[/mm] =
> [mm]\summe_{k=0}^{2n}k[/mm] +(2n+1)+(2n+2)
> Iduktionsannahme
> n*(2n+1) + (2n+1) + (2n+2)
>
> Ich hab versucht (n+1) herauszuheben, was aber gescheitert
> ist.
Hallo,
nun sehen wir nicht, was Du getan hast.
Ein vielleicht etwas spießiger, aber wirksamer Weg wäre, n*(2n+1) + (2n+1) + (2n+2) auszumultiplizieren, zusammenzufassen und dann eine polynomdivision durch (n+1) zu machen.
Etwas durchtriebener: Aus den ersten beiden Summanden (2n+1) ausklammern, aus dem dritten die 2 ausklammern.
Dann sollte es auch klarer werden.
Oder: Rechne in [mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1) [/mm] die rechte Seite aus und guck, ob sie gleich Deiner errechneten Seite ist.
Gruß v. Angela
> LG
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> Etwas durchtriebener: Aus den ersten beiden Summanden (2n+1) ausklammern, aus dem dritten die 2 ausklammern.
> Dann sollte es auch klarer werden.
> > Induktionsschluss $ [mm] (n\mapston+1): [/mm] $ z.z.:
> > $ [mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1) [/mm] $
> >
> > I.SChritt:
> $ [mm] \summe_{k=0}^{2(n+1)}k [/mm] $ = $ [mm] \summe_{k=0}^{2n+2}k [/mm] $ =
> $ [mm] \summe_{k=0}^{2n}k [/mm] $ +(2n+1)+(2n+2)
> Iduktionsannahme
> n*(2n+1) + (2n+1) + (2n+2)
(2n+1) * (n+1) + 2 * (n+1)
= (n+1) * (2n+1+2)
= (n+1) * (2*(n+1)+1)
danke
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Hallo,
> > Etwas durchtriebener: Aus den ersten beiden Summanden
> (2n+1) ausklammern, aus dem dritten die 2 ausklammern.
> > Dann sollte es auch klarer werden.
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> > > Induktionsschluss [mm](n\mapston+1):[/mm] z.z.:
> > > [mm]\summe_{k=0}^{2(n+1)}k=(n+1)(2(n+1)+1)[/mm]
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> > > I.SChritt:
> > [mm]\summe_{k=0}^{2(n+1)}k[/mm] = [mm]\summe_{k=0}^{2n+2}k[/mm] =
> > [mm]\summe_{k=0}^{2n}k[/mm] +(2n+1)+(2n+2)
> > Iduktionsannahme
> > n*(2n+1) + (2n+1) + (2n+2)
>
> (2n+1) * (n+1) + 2 * (n+1)
> = (n+1) * (2n+1+2)
> = (n+1) * (2*(n+1)+1) ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Stimmt!
>
> danke
Gruß
schachuzipus
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