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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 01:33 So 27.10.2013 | | Autor: | P357 |
Kann ich die vollständige Induktion auch mit zwei Variablen auf einmal durchführen?
Um zu spezifizieren wie ich das meine habe ich hier ein Beispiel, ich halte es eigentlich für logisch das dies geht, aber ich vergewissere mich lieber.
[mm] a^{2}+b^{2}\ge a\*b+1 [/mm]
[mm] a,b\in\IN [/mm]
[mm] a,b\not=0
[/mm]
Induktionsanfang: [mm] 1^{2}+1^{2}\ge1*1+1
[/mm]
Indunktionsvoraussetzung: [mm] a^{2}+b^{2}\ge a\*b+1
[/mm]
Zu zeigen: [mm] \{a+1\}^{2}+\{b+1\}^{2}\ge \{a+1\}\*\ \{b+1\}+1
[/mm]
Induktionsschluss: [mm] \{a+1\}^{2}+\{b+1\}^{2}\ge \{a+1\}\*\ \{b+1\}+1
[/mm]
[mm] \{a^{2}+2\*a+1\}+\{b^{2}+2\*b+1\}\ge \{a+1\}\*\ \{b+1\}+1
[/mm]
[mm] a^{2}+2\*a+b^{2}+2\*b+2\ge a\*b+a+b+2
[/mm]
[mm] \{a^{2}+b^{2}\}+a+b\ge \{a\*b +1\}+1
[/mm]
[mm] a^{2}+b^{2} [/mm] ist nach Induktionsvoraussetzung größer gleich [mm] a\*b [/mm] +1 und das der Rest auf der linken Seite a+b größer gleich 1 ist, ist offensichtlich, da a+b ja minimal 2 sein kann.
Und ist es denn überhaupt nötig einen solchen Beweis für eine derartig triviale Ungleichung zu verfassen oder reicht es wenn man einfach nur die Anfangsgleichung grob erklärt.
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Hallo P357,
Du hast da einen einzigen, aber wesentlich Denkfehler drin.
> Kann ich die vollständige Induktion auch mit zwei
> Variablen auf einmal durchführen?
Grundsätzlich: besser nicht. Induktion immer erst nach einer Variablen, dann nach der andern.
> Um zu spezifizieren wie ich das meine habe ich hier ein
> Beispiel, ich halte es eigentlich für logisch das dies
> geht, aber ich vergewissere mich lieber.
>
> [mm]a^{2}+b^{2}\ge a\*b+1[/mm]
>
> [mm]a,b\in\IN[/mm]
>
> [mm]a,b\not=0[/mm]
>
> Induktionsanfang: [mm]1^{2}+1^{2}\ge1*1+1[/mm]
>
> Indunktionsvoraussetzung: [mm]a^{2}+b^{2}\ge a\*b+1[/mm]
>
> Zu zeigen: [mm]\{a+1\}^{2}+\{b+1\}^{2}\ge \{a+1\}\*\ \{b+1\}+1[/mm]
Hier ist der Fehler. Das reicht nicht.
Wenn Du die Behauptung für [mm] 4^2+4^2 [/mm] gezeigt hast, dann willst Du jetzt auf [mm] 5^2+5^2 [/mm] schließen. Das ist zwar ok, aber Du erfasst so nur Fälle mit a=b. Schon [mm] 4^2+5^2 [/mm] wird so nicht im Beweis berücksichtigt.
Deswegen kannst Du Dir den Rest hier auch schenken.
Grüße
reverend
> Induktionsschluss: [mm]\{a+1\}^{2}+\{b+1\}^{2}\ge \{a+1\}\*\ \{b+1\}+1[/mm]
>
> [mm]\{a^{2}+2\*a+1\}+\{b^{2}+2\*b+1\}\ge \{a+1\}\*\ \{b+1\}+1[/mm]
>
> [mm]a^{2}+2\*a+b^{2}+2\*b+2\ge a\*b+a+b+2[/mm]
>
> [mm]\{a^{2}+b^{2}\}+a+b\ge \{a\*b +1\}+1[/mm]
>
> [mm]a^{2}+b^{2}[/mm] ist nach Induktionsvoraussetzung größer
> gleich [mm]a\*b[/mm] +1 und das der Rest auf der linken Seite a+b
> größer gleich 1 ist, ist offensichtlich, da a+b ja
> minimal 2 sein kann.
>
> Und ist es denn überhaupt nötig einen solchen Beweis für
> eine derartig triviale Ungleichung zu verfassen oder reicht
> es wenn man einfach nur die Anfangsgleichung grob erklärt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 02:09 So 27.10.2013 | | Autor: | P357 |
Bist du dir sicher, ich sehe es nähmlich nicht für notwendig das a=b ist.
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Hallo nochmal,
> Bist du dir sicher, ich sehe es nähmlich nicht für
> notwendig das a=b ist.
Ich auch nicht. Aber das ist der einzige Fall, den Du beweist. Denk mal drüber nach.
Mit dem weiter unten stehenden Hinweis von Al-Chwarizmi kannst Du allerdings - wenn Du schon unbedingt per Induktion beweisen willst - die Induktion auf eine Variable beschränken.
Ich nehme seine Frage mal auf  : warum?
Grüße
reverend
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> Kann ich die vollständige Induktion auch mit zwei
> Variablen auf einmal durchführen?
>
> Um zu spezifizieren wie ich das meine habe ich hier ein
> Beispiel, ich halte es eigentlich für logisch das dies
> geht, aber ich vergewissere mich lieber.
>
> [mm]a^{2}+b^{2}\ge a\*b+1[/mm]
>
> [mm]a,b\in\IN[/mm]
>
> [mm]a,b\not=0[/mm]
> Und ist es denn überhaupt nötig einen solchen Beweis für
> eine derartig triviale Ungleichung zu verfassen oder reicht
> es wenn man einfach nur die Anfangsgleichung grob erklärt.
Hallo,
auch "einfache" oder scheinbar "triviale" Aussagen
müssen allenfalls bewiesen werden. Allerdings denke
ich, dass im vorliegenden Fall keine vollständige
Induktion notwendig ist, da man die Ungleichung
auch ganz leicht direkt beweisen kann.
Man darf oBdA annehmen, dass $\ [mm] a\ge{b}$ [/mm] ist. (Warum ?)
Dann folgt sofort, dass $\ [mm] a^2\ge [/mm] a*b$ ist, und daraus
kann man auch sofort auf $\ [mm] a^{2}+b^{2}\ge [/mm] a*b+1$ schließen
(wieder: warum ?).
LG , Al-Chw.
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