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| Aufgabe | beweisen Sie den folgenden satz durch vollständige induktion:
seien [mm] a_{1} [/mm] das anfangsglied und q der (konstante) quotient einer geometrischen folge. Dann gilt für das n-te glied [mm] a_{n}:
[/mm]
[mm] a_{n}=a_{1}*q^{n-1} [/mm] |
I. Induktionsanfang: A(1) d.h. [mm] a_{1}=a_{1}*q^{1-1} =a_{1}*1= a_{1}
[/mm]
Bedingung 1 ist somit erfüllt.
II: Ind.voraussetzung: A(k) d.h. [mm] a_{k}=a_{1}*q^{k-1}
[/mm]
zu zeigen: A(k+1) d.h. [mm] a_{k+1}=a_{1}*q^{(k+1)-1}
[/mm]
Nachweis:
Nach Definition der geometrischen Folge gilt:
[mm] a_{n+1}:a_{n}=q
[/mm]
[mm] a_{n+1} =q*a_{n} [/mm] k für n einsetzen
[mm] a_{k+1} =q*a_{k} [/mm]
nach einsetzen der Ind.voraussetzung:
[mm] a_{k+1} =q*\underbrace{(a_{1}*q^{k-1})}_{=a_{k} }
[/mm]
ab hier weiß ich jetzt leider nicht mehr weiter.....wie komme ich denn von hier aus auf:
"zu zeigen: A(k+1) d.h. [mm] a_{k+1}=a_{1}*q^{(k+1)-1} [/mm] " oder hab ich schon zu beginn von Schritt II einen fehler gemacht?
kann mir bitte jemand helfen?
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Hallo Isabell,
> beweisen Sie den folgenden satz durch vollständige
> induktion:
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> seien [mm]a_{1}[/mm] das anfangsglied und q der (konstante) quotient
> einer geometrischen folge. Dann gilt für das n-te glied
> [mm]a_{n}:[/mm]
> [mm]a_{n}=a_{1}*q^{n-1}[/mm]
> I. Induktionsanfang: A(1) d.h. [mm]a_{1}=a_{1}*q^{1-1} =a_{1}*1= a_{1}[/mm]
>
> Bedingung 1 ist somit erfüllt.
>
> II: Ind.voraussetzung: A(k) d.h. [mm]a_{k}=a_{1}*q^{k-1}[/mm]
> zu zeigen: A(k+1) d.h. [mm]a_{k+1}=a_{1}*q^{(k+1)-1}[/mm]
>
> Nachweis:
> Nach Definition der geometrischen Folge gilt:
> [mm]a_{n+1}:a_{n}=q[/mm]
> [mm]a_{n+1} =q*a_{n}[/mm] k für n einsetzen
> [mm]a_{k+1} =q*a_{k}[/mm]
>
> nach einsetzen der Ind.voraussetzung:
> [mm]a_{k+1} =q*\underbrace{(a_{1}*q^{k-1})}_{=a_{k} }[/mm]
>
>
> ab hier weiß ich jetzt leider nicht mehr weiter.....wie
> komme ich denn von hier aus auf:
> "zu zeigen: A(k+1) d.h. [mm]a_{k+1}=a_{1}*q^{(k+1)-1}[/mm] "
Das steht doch da (4 Zeilen höher), reibe dir mal kräftig die Augen 
Du warst bis hierhin gekommen:
[mm] $a_{k+1}=q\cdot{}\left(a_1\cdot{}q^{k-1}\right)$
[/mm]
Multipliziere das q mal in die Klammer rein ...
> oder hab ich schon zu beginn von Schritt II einen fehler
> gemacht?
Nein, das ist ein super Beweis!
> kann mir bitte jemand helfen?
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:16 Mo 01.09.2008 | | Autor: | isabell_88 |
ach so, das wars schon?
danke für den hinweis
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Hallo nochmal,
hmm, du musst es halt nur noch aufschreiben, damit der Beweis "rund" wird:
[mm] $a_{k+1}=...=q\cdot{}\left(a_1\cdot{}q^{k-1}\right)=a_1\cdot{}\left(q^{\red{1}}\cdot{}q^{\blue{k-1}}\right)=a_1\cdot{}q^{\blue{k-1}\red{+1}}=a_1\cdot{}q^{(k+1)-1}$
[/mm]
So in etwa, du warst also echt fast fertig
Gruß
schachuzipus
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