vollständige induktion < Induktion < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:15 Mi 24.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
Hallo,
ich hab ene Frage und zwar verstehe ich den ablauf der volständigen induktion, ich verstehe jedoch nicht weshalb, wenn beweiesen wird, dass die formel für n+1 gilt gilt, dass sie für alle n gilt..kann das jemand erklären?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:23 Mi 24.09.2008 | | Autor: | algieba |
Hi
Bei der vollständigen Induktion zeigst du ja am Anfang, dass eine Bahauptung für n=1 gilt. Dann beweist du dass es auch für n+1 gilt. Das bedeutet, da du ja schon gezeigt hast, dass sie für n=1 gilt gilt sie auch für n+1 = 1+1 = 2. Dann gilt sie aber auch für n+1 = 2+1 = 3 und dann auch für n+1 = 3+1 = 4 usw. . Deswegen gilt diese Behauptung dann für alle n, da du ewig so fortfahren kannst.
Viele Grüße
algieba
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:49 Mi 24.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
ich habe ja gezeigt, dass sie für n=1 gilt, das das ist korrekt, udn ich kann zeige, dass sie für n+1 gilt, stimmt auch, abe rich hab doch n auf den wert 1 festgestzt, dahe rkann cih nach n+1 oder 1+1 , n doch nicht neu auf 2 definieren um dann wieder n+1 anzuwenden
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:01 Mi 24.09.2008 | | Autor: | algieba |
Doch das kann man machen.
Ich versuche es nochmal anders zu erklären:
Machen wir ein Beispiel:
[mm]1+2+3+4+5+6+...+n = \bruch{n(n+1)}{2}[/mm]
Wenn du n=1 setzt dann stimmt die Formel, also nimmst du an, dass die Formel für alle n>=1 gilt.
Jetzt nimmst du nicht mehr n=1 sondern du wählst n beliebig, und zeigst, dass [mm]1+2+3+4+...+n+(n+1) = \bruch{(n+1)((n+1)+1)}{2}[/mm] ist. Das n ist nicht 1 es ist beliebig. Damit hast du gezeigt, dass wenn die Formel für ein n gilt, sie auch für n+1 gilt, egal was n für eine Zahl ist. Dann kannst du so argumentieren wie in meinem ersten Post.
Hoffentlich hast du es verstanden, sonst frag nochmal dann versuche ich es noch anders zu erklären^^.
Viele Grüße
algieba
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:17 Mi 24.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
also ich abe dich jetzt so verstanden, wollt nru noch mal nachfragen, ob das richtig ist.
Wenn ich die Gültigkeit einer Formel mit n+1 beweise kann ich theoretisch für n ja jede beliebige Zahl einsetzten udn hätte somit eine allegemien Gültigkeit.
Dies wiederstrebt mri jedoch in gewisser weise, da dass Induktionsaxiom auf n=1 zurückgeht und somit deine erklärugn aus dme ersten Post mathematisch korrekter ist oder?
Kannst du vielleicht erklären, warum man, wie schon erwähnt, wenn n=1 gesetzt ist und das ganez auch für n+1 bewiesen ist sagen kann 1+1 =2
also das neue n=2| n+1=2+1=3
hier hängt mein problem.
wenn wir mit dme induktionsanfang n=1 beginnen können wir doch n nicht fortlaufend neu definieren oder?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:22 Mi 24.09.2008 | | Autor: | algieba |
hmmh ich weiß nicht mehr wie ich es noch mal anders erklären soll.
Ich lasse deine Frage mal unbeantwortet, vielleicht kann es jemand anders besser erklären, dass du es dann verstehst.
Gruß
algieba
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:44 Mi 24.09.2008 | | Autor: | piet.t |
Hallo,
nehmen wir doch mal an, wir wollen überprüfen, ob die Behauptung für n=3785 gilt.
Dass sie für n=1 richtig ist haben wir überprüft (Induktionsanfang).
Wenn wir das wissen können wir ja auch nachrechnen, dass die Behauptung für n=2 gilt.
Gilt es für n=2 können wir daraus ja auch nachweisen, dass die Behauptung für n=3 gilt.
So, das ganze machen wir jetzt 3784 mal und sind schon am Ziel - allerdings sieht man schon an diesem Beispiel, dass ein Beweis nach dieser Technik ziemlich aufwändig ist. Daher versucht man, den Beweisschritt von einer Zahl zur nächsten nicht mit konkreten Zahlen zu führen, sondern ausgehend von der Gültigkeit der Behauptung für eine beliebige Zahl n auf die Gültigkeit für n+1 zu schließen. Damit hätten wir alle 3784 Schritte auf einmal abgehandelt.
Wenn man bis zu einer konkreten Zahl beweisen muss ist das also nur eine etwas ökonomischere Schreibweise. Der Clou an der vollständigen Induktion ist aber, dass man , wenn man von 1 ausgehend immer in 1er-Schritten vorwärts geht, man bei jeder natürlichen Zahl früher oder später vorbeikommen muss (das ist nicht wirklich selbstverständlich, darum gibt es ja das "Induktionsaxiom"). D.h. Habe ich einmal den Schritt von n->n+1 allgemein durchgeführt, dann habe ich die Gültigkeit der Behauptung für jede beliebige natürliche zahl nachgeprüft - sei sie 3785 oder535786216984.
Bildlich kann man sich da auch eine Reihe Dominosteine vorstellen: ich stelle die Steine so auf, dass ein Stein wenn er umfällt immer auch den nächsten Stein umwirft (Induktionsschluss). Werfe ich dann den ersten Stein um (Induktionsanfang), dann fallen alle Steine um - und das Induktionsaxiom stellt dabei sicher, dass es keine steine irgendwo abseits der Reihe gibt, die deswegen vielleicht stehen bleiben.
Soweit mal mein Erklärungsversuch...
Gruß
piet
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:28 Mi 24.09.2008 | | Autor: | noobo2 |
hallo,
die 1 hat aber doch ne gewisse sonderstellung aufgrudn des 5 peano axoms oder?
wo ich nicht ganz folgen kann ist der schritt in dem n fortlaufend definiert wird. Also wenn man jetzt davon asugeht, dass man swoeiso beweisen muss, dass die behauptugn für 1 stimt (wegen des axioms) und dann dazu noch ein zweites n nimmt, welches als glaubwürdige grenze, also so wie du in deinem post n=3875 nimmt. So ist mir nicht klar, warum die formel für alle n gilt solbald wir sie für n+1 bewiesen haben.
n=3875 , wir haben bewiesen, dass sie für 3875 gilt und wenn wir sie für n+1 bewiesen haben, ahben wir nicht mehr bewiesen, als, dass sie für 3876 gilt oder? wie kommt der schluss zusatnde, dass sie für alle n gilt? oder weshalb darf ich das n+1 aud 3876 wieder anwenden?
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Hallo noobo2!
> hallo,
> die 1 hat aber doch ne gewisse sonderstellung aufgrudn des
> 5 peano axoms oder?
> wo ich nicht ganz folgen kann ist der schritt in dem n
> fortlaufend definiert wird. Also wenn man jetzt davon
> asugeht, dass man swoeiso beweisen muss, dass die
> behauptugn für 1 stimt (wegen des axioms) und dann dazu
> noch ein zweites n nimmt, welches als glaubwürdige grenze,
> also so wie du in deinem post n=3875 nimmt. So ist mir
> nicht klar, warum die formel für alle n gilt solbald wir
> sie für n+1 bewiesen haben.
> n=3875 , wir haben bewiesen, dass sie für 3875 gilt und
> wenn wir sie für n+1 bewiesen haben, ahben wir nicht mehr
> bewiesen, als, dass sie für 3876 gilt oder? wie kommt der
Im ersten Schritt haben wir damit genau das bewiesen. Jetzt betrachten wir aber als neues n genau die 3876, und da wir gezeigt haben, dass das Ganze auch für n+1 gilt, haben wir damit auch gezeigt, dass es auch für 3877 gilt. Nun wählen wir n=3877, woraus folgt, dass...
Ehrlich gesagt, weiß ich auch nicht, wie man das noch anders erklären soll. Jetzt gab es schon so viele Versuche, und eigentlich sagen sie alle genau das aus, was du wissen willst.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:00 Mi 24.09.2008 | | Autor: | leduart |
wenn man eine Formel fuer alle Zahlen beweisen will, muss man natuerlich auch bei der 1 anfangen, deshalb hat die eine sonderstellung.
Aber wenn dich die ersten 10 Zahlen nicht interessieren, dann kannst du auch bei der z.bsp bei der 11 anfangen:
dasselbe Beispiel wie vorne [mm] 1+2+3+...+11=66=\bruch{11*(11+1)}{2} [/mm] hast du nachgerechnet. jetzt zeigst du, dass wenn die Formel fuer irgend ein n>11 gilt sie auch fuer die naechst groessere Zahl n+1 gilt.Zahlen. Nur in dem sinne hat die 1 ne Sonderstellung. klarer?
Gruss leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:50 Do 25.09.2008 | | Autor: | piet.t |
> hallo,
> die 1 hat aber doch ne gewisse sonderstellung aufgrudn des
> 5 peano axoms oder?
Wohl auch, aber die Sonderstellung kommt meiner Meinung nach eher aus dem 3. Axiom ("1 hat keinen Vorgänger"), deshalb muss man sie eben auch im 5. besonders behandeln.
> wo ich nicht ganz folgen kann ist der schritt in dem n
> fortlaufend definiert wird. Also wenn man jetzt davon
> asugeht, dass man swoeiso beweisen muss, dass die
> behauptugn für 1 stimt (wegen des axioms) und dann dazu
> noch ein zweites n nimmt, welches als glaubwürdige grenze,
> also so wie du in deinem post n=3875 nimmt.
Nein, ich wähle 3785 nicht als glaubwürdige Grenze, sondern ich versuche zu beweisen, dass die Aussage für 3785 wahr ist. und das tue ich, indem ich nacheinander zeige
- Sie gilt für 1
- Wenn sie für 1 gilt, dann ach für 2
- wenn sie für 2 gilt, dann auch für 3
- wenn sie für 3 gilt, dann auch für 4
- wenn sie für 4 gilt, dann auch für 5
- wenn sie für 5 gilt, dann auch für 6
- wenn sie für 6 gilt, dann auch für 7
- wenn sie für 7 gilt, dann auch für 8
....hier kürze ich etwas ab....
- wenn sie für 3784 gilt, dann auch für 3785
> So ist mir
> nicht klar, warum die formel für alle n gilt solbald wir
> sie für n+1 bewiesen haben.
Bis hierher haben wir die Behauptung nicht für alle n beweisen, sondern nur für n=3785 und Zahlen, die wir auf dem Weg dorthin auch für 2,3,4,5,6,7,8,....,3684 (das waren ja alles die Zwischenschritte).
Aber die 3785 war ja willkürlich gewählt, wenn es für 3785 geht, warum dann nicht auch für 625735 oder 23561247358245734? Wir brauchen einfach ein paar mehr Beweisschritte 
> n=3875 , wir haben bewiesen, dass sie für 3875 gilt und
> wenn wir sie für n+1 bewiesen haben, ahben wir nicht mehr
> bewiesen, als, dass sie für 3876 gilt oder? wie kommt der
> schluss zusatnde, dass sie für alle n gilt? oder weshalb
> darf ich das n+1 aud 3876 wieder anwenden?
Beachte: das n und das n+1, die im Induktionsschritt verwendet werden, haben eigentlich nichts mit einem n, das möglicherweise in der Behauptung vorkommt zu tun.
Vielleicht formulier man das Vorgehen bei der Induktion besser so:
Behauptung: Aussage A(n) gilt für alle [mm] n\in \IN
[/mm]
Beweis:
Induktionsanfang: A(1) gilt
Induktionsschritt: Wenn A(x) gilt, dann gilt auch A(x+1)
Was habe ich damit bewiesen? Dass A(n) richtig ist, wenn sich n als 1+1+1+1+1+1.....+1 schreiben lässt - und das lassen sich alle natürlichen Zahlen (das ist im Kern die Aussage des 5. Peano-Axioms).
Gruß
piet
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