vollständige induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Beweisen sie durch vollständige induktion, dass für alle n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
a.) [mm] 4|(5^n [/mm] - 1)
b.) [mm] \bruch{n}{6} [/mm] + [mm] \bruch{n^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{n^3}{3}
[/mm]
|
Hallo, habe hier ein paar Probleme mit der vollständigen Induktion...Ich hoffe jemand kann mir hier helfen?
a) Also hier habe ich ganz normal im induktionsanfang n=1 gesetzt und es hat auch gestimmt....dann kommt der Induktionsschritt und da bin ich mir unsicher....kann es sein, dass es in diesem fall sofort endet wo es anfängt? also dass wenn ich n=n+1 setzte, dann steht doch da [mm] 4|(5^{n+1} [/mm] -1) ? bin ich dann auch fertig?
b.)Induktionsschritt:
[mm] \bruch{(n+1)}{6} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{(n+1)^3}{3}
[/mm]
= [mm] \bruch{n+1}{6} [/mm] + [mm] \bruch{3(n+1)^2}{6} [/mm] + [mm] \bruch{2(n+1)^3}{6}
[/mm]
[mm] =\bruch{(n+1) + 3(n+1)^2 + 2(n+1)^3 }{6}
[/mm]
so weiter komme ich nicht, habe etwas schwierigkeiten mit dem zusammenfassen..ich hoffe es ist auch bis dahin richtig?
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 06:45 Fr 05.02.2010 | | Autor: | glie |
> Beweisen sie durch vollständige induktion, dass für alle
> n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> a.) [mm]4|(5^n[/mm] - 1)
>
> b.) [mm]\bruch{n}{6}[/mm] + [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm]
>
> Hallo, habe hier ein paar Probleme mit der vollständigen
> Induktion...Ich hoffe jemand kann mir hier helfen?
Hallo,
>
> a) Also hier habe ich ganz normal im induktionsanfang n=1
> gesetzt und es hat auch gestimmt....dann kommt der
> Induktionsschritt und da bin ich mir unsicher....kann es
> sein, dass es in diesem fall sofort endet wo es anfängt?
> also dass wenn ich n=n+1 setzte, dann steht doch da
> [mm]4|(5^{n+1}[/mm] -1) ? bin ich dann auch fertig?
Nein du musst zeigen, dass unter der Voraussetzung [mm] $4|(5^n-1)$ [/mm] auch gilt, dass [mm] $4|(5^{n+1}-1)$.
[/mm]
Vielleicht mal ein Anfang:
[mm] $5^{n+1}-1=5*5^n-1=5*5^n-5+4=5*(5^n-1)+4$
[/mm]
Und weil jetzt nach Induktionsvoraussetzung .... gilt, deswegen gilt dann auch ...
>
> b.)Induktionsschritt:
>
> [mm]\bruch{(n+1)}{6}[/mm] + [mm]\bruch{(n+1)^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{(n+1)^3}{3}[/mm]
> = [mm]\bruch{n+1}{6}[/mm] + [mm]\bruch{3(n+1)^2}{6}[/mm] +
> [mm]\bruch{2(n+1)^3}{6}[/mm]
> [mm]=\bruch{(n+1) + 3(n+1)^2 + 2(n+1)^3 }{6}[/mm]
Hier musst du dringend nochmal die Aufgabenstellung überprüfen, da steht gar keine Aussage, also kannst du auch nichts beweisen.
Gruß Glie
>
> so weiter komme ich nicht, habe etwas schwierigkeiten mit
> dem zusammenfassen..ich hoffe es ist auch bis dahin
> richtig?
>
|
|
|
| |
|
> > Beweisen sie durch vollständige induktion, dass für alle
> > n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> >
> > a.) [mm]4|(5^n[/mm] - 1)
> >
> > b.) [mm]\bruch{n}{6}[/mm] + [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm]
> >
> > Hallo, habe hier ein paar Probleme mit der vollständigen
> > Induktion...Ich hoffe jemand kann mir hier helfen?
>
> Hallo,
>
> >
> > a) Also hier habe ich ganz normal im induktionsanfang n=1
> > gesetzt und es hat auch gestimmt....dann kommt der
> > Induktionsschritt und da bin ich mir unsicher....kann es
> > sein, dass es in diesem fall sofort endet wo es anfängt?
> > also dass wenn ich n=n+1 setzte, dann steht doch da
> > [mm]4|(5^{n+1}[/mm] -1) ? bin ich dann auch fertig?
>
> Nein du musst zeigen, dass unter der Voraussetzung
> [mm]4|(5^n-1)[/mm] auch gilt, dass [mm]4|(5^{n+1}-1)[/mm].
>
> Vielleicht mal ein Anfang:
>
> [mm]5^{n+1}-1=5*5^n-1=5*5^n-5+4=5*(5^n-1)+4[/mm]
>
>>hmm, ehrlich gesagt verstehe ich hier gerade gar nicht was gemacht >>wurde?
>
>
> Und weil jetzt nach Induktionsvoraussetzung .... gilt,
> deswegen gilt dann auch ...
>
> >
> > b.)Induktionsschritt:
> >
> > [mm]\bruch{(n+1)}{6}[/mm] + [mm]\bruch{(n+1)^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{(n+1)^3}{3}[/mm]
> > = [mm]\bruch{n+1}{6}[/mm] + [mm]\bruch{3(n+1)^2}{6}[/mm] +
> > [mm]\bruch{2(n+1)^3}{6}[/mm]
> > [mm]=\bruch{(n+1) + 3(n+1)^2 + 2(n+1)^3 }{6}[/mm]
>
> Hier musst du dringend nochmal die Aufgabenstellung
> überprüfen, da steht gar keine Aussage, also kannst du
> auch nichts beweisen.
>
>
>> hmm,das ist aber komisch...also soll [mm]\bruch{n}{6}[/mm] + [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm] [mm] \in \IN [/mm] nicht gehen oder wie?
> Gruß Glie
>
> >
> > so weiter komme ich nicht, habe etwas schwierigkeiten mit
> > dem zusammenfassen..ich hoffe es ist auch bis dahin
> > richtig?
> >
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
> >> hmm,das ist aber komisch...also soll [mm]\bruch{n}{6}[/mm] +
> [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm] [mm]\in \IN[/mm] nicht gehen oder
> wie?
Na, das [mm] $\in\IN$ [/mm] stand da vorher nicht.
Wenn du mal gleichnamig machst, steht da: zz: [mm] $\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\in\IN$
[/mm]
Zeige also: Für alle [mm] $n\in\IN$ [/mm] gilt: [mm] $6\mid (2n^3+3n^2+n)$
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
>
> > >> hmm,das ist aber komisch...also soll [mm]\bruch{n}{6}[/mm] +
> > [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm] [mm]\in \IN[/mm] nicht gehen oder
> > wie?
>
> Na, das [mm]\in\IN[/mm] stand da vorher nicht.
>
> Wenn du mal gleichnamig machst, steht da: zz:
> [mm]\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\in\IN[/mm]
>
> Zeige also: Für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]6\mid (2n^3+3n^2+n)[/mm]
>
> >>also wäre dann dernächste schritt ganz n=1 setzten...das >>>funktioniert dann...anschließend n= n+1 einsetzten:
>>>
[mm] >>>2(n+1)^3 [/mm] + [mm] 3(n+1)^2 [/mm] + (n+1)
>>>
>>>ist das richtig? und wie soll es dann wieter gehen?
>>>
> Gruß
>
> schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:00 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> > Hallo,
> >
> >
> > > >> hmm,das ist aber komisch...also soll [mm]\bruch{n}{6}[/mm] +
> > > [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm] [mm]\in \IN[/mm] nicht gehen oder
> > > wie?
> >
> > Na, das [mm]\in\IN[/mm] stand da vorher nicht.
> >
> > Wenn du mal gleichnamig machst, steht da: zz:
> > [mm]\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\in\IN[/mm]
> >
> > Zeige also: Für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]6\mid (2n^3+3n^2+n)[/mm]
>
> >
> > >>also wäre dann dernächste schritt ganz n=1
> setzten...das >>>funktioniert dann...anschließend n= n+1
> einsetzten:
> >>>
> [mm]>>>2(n+1)^3[/mm] + [mm]3(n+1)^2[/mm] + (n+1)
> >>>
> >>>ist das richtig? und wie soll es dann wieter gehen?
den Kram ausmultiplizieren und so zusammenfassen, dass wiederum zwei Summanden auftauchen: a+b - wobei a wieder deine Induktionsvoraussetzung ist und b durch 6 teilbar.
LG
Herby
|
|
|
| |
|
> Hallo,
>
> > > Hallo,
> > >
> > >
> > > > >> hmm,das ist aber komisch...also soll [mm]\bruch{n}{6}[/mm] +
> > > > [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm] [mm]\in \IN[/mm] nicht gehen oder
> > > > wie?
> > >
> > > Na, das [mm]\in\IN[/mm] stand da vorher nicht.
> > >
> > > Wenn du mal gleichnamig machst, steht da: zz:
> > > [mm]\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\in\IN[/mm]
> > >
> > > Zeige also: Für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]6\mid (2n^3+3n^2+n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >>also wäre dann dernächste schritt ganz n=1
> > setzten...das >>>funktioniert dann...anschließend n= n+1
> > einsetzten:
> > >>>
> > [mm]>>>2(n+1)^3[/mm] + [mm]3(n+1)^2[/mm] + (n+1)
> > >>>
> > >>>ist das richtig? und wie soll es dann wieter gehen?
>
> den Kram ausmultiplizieren und so zusammenfassen, dass
> wiederum zwei Summanden auftauchen: a+b - wobei a wieder
> deine Induktionsvoraussetzung ist und b durch 6 teilbar.
>
>
>>>oh je, oh je.... das habe ich schon total verlernt...ist schon lange her..
>>>aber ich versuchs mal:
>>>
[mm] >>>2n^3 [/mm] + [mm] 6n^2 [/mm] + 6n +3n +6n +6
>>>
>>> ist das richtig so weit? und wie soll das dann weiter gehen?
> LG
> Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:23 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> > Hallo,
> >
> > > > Hallo,
> > > >
> > > >
> > > > > >> hmm,das ist aber komisch...also soll [mm]\bruch{n}{6}[/mm] +
> > > > > [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm] [mm]\in \IN[/mm] nicht gehen oder
> > > > > wie?
> > > >
> > > > Na, das [mm]\in\IN[/mm] stand da vorher nicht.
> > > >
> > > > Wenn du mal gleichnamig machst, steht da: zz:
> > > > [mm]\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\in\IN[/mm]
> > > >
> > > > Zeige also: Für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]6\mid (2n^3+3n^2+n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >>also wäre dann dernächste schritt ganz n=1
> > > setzten...das >>>funktioniert dann...anschließend n= n+1
> > > einsetzten:
> > > >>>
> > > [mm]>>>2(n+1)^3[/mm] + [mm]3(n+1)^2[/mm] + (n+1)
> > > >>>
> > > >>>ist das richtig? und wie soll es dann wieter
> gehen?
> >
> > den Kram ausmultiplizieren und so zusammenfassen, dass
> > wiederum zwei Summanden auftauchen: a+b - wobei a wieder
> > deine Induktionsvoraussetzung ist und b durch 6 teilbar.
> >
> >
> >>>oh je, oh je.... das habe ich schon total
> verlernt...ist schon lange her..
> >>>aber ich versuchs mal:
> >>>
> [mm]>>>2n^3[/mm] + [mm]6n^2[/mm] + 6n +3n +6n +6
> >>>
> >>> ist das richtig so weit? und wie soll das dann weiter
> gehen?
ist nicht richtig - das solltest du nochmal überarbeiten und ggf. deine Rechenschritte zeigen.
LG
Herby
|
|
|
| |
|
> Hi,
>
> > > Hallo,
> > >
> > > > > Hallo,
> > > > >
> > > > >
> > > > > > >> hmm,das ist aber komisch...also soll [mm]\bruch{n}{6}[/mm] +
> > > > > > [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm] [mm]\in \IN[/mm] nicht gehen oder
> > > > > > wie?
> > > > >
> > > > > Na, das [mm]\in\IN[/mm] stand da vorher nicht.
> > > > >
> > > > > Wenn du mal gleichnamig machst, steht da: zz:
> > > > > [mm]\frac{2n^3+3n^2+n}{6}\in\IN[/mm]
> > > > >
> > > > > Zeige also: Für alle [mm]n\in\IN[/mm] gilt: [mm]6\mid (2n^3+3n^2+n)[/mm]
>
> >
> > >
> > > >
> > > > >
> > > > > >>also wäre dann dernächste schritt ganz n=1
> > > > setzten...das >>>funktioniert dann...anschließend n= n+1
> > > > einsetzten:
> > > > >>>
> > > > [mm]>>>2(n+1)^3[/mm] + [mm]3(n+1)^2[/mm] + (n+1)
> > > > >>>
> > > > >>>ist das richtig? und wie soll es dann wieter
> > gehen?
> > >
> > > den Kram ausmultiplizieren und so zusammenfassen, dass
> > > wiederum zwei Summanden auftauchen: a+b - wobei a wieder
> > > deine Induktionsvoraussetzung ist und b durch 6 teilbar.
> > >
> > >
> > >>>oh je, oh je.... das habe ich schon total
> > verlernt...ist schon lange her..
> > >>>aber ich versuchs mal:
> > >>>
> > [mm]>>>2n^3[/mm] + [mm]6n^2[/mm] + 6n +3n +6n +6
> > >>>
> > >>> ist das richtig so weit? und wie soll das dann
> weiter
> > gehen?
>
> ist nicht richtig - das solltest du nochmal überarbeiten
> und ggf. deine Rechenschritte zeigen.
>
> >>okay, dann geht das ausklammern vielleicht so?
>>>
[mm] >>>2n^3 [/mm] + [mm] 2^3 [/mm] + [mm] 3n^2 [/mm] + [mm] 3^2 [/mm] + n+1
>>>
[mm] >>>2n^3+ 3n^2 [/mm] +n +18
>>>
>>>Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben wie ich das machen soll?
>>>
> LG
> Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 09:52 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hallo,
> [mm] 2(n+1)^3+3(n+1)^2+(n+1)
[/mm]
> >>>
> [mm]>>>2n^3[/mm] + [mm]2^3[/mm] + [mm]3n^2[/mm] + [mm]3^2[/mm] + n+1
> >>>
> [mm]>>>2n^3+ 3n^2[/mm] +n +18
> >>>
> >>>Vielleicht könnt ihr mir einen Tipp geben wie ich das
> machen soll?
na sicher, dafür sind wir ja da 
Vorbereitung: [mm] (n+1)^3=[\blue{(n+1)^2}]*(n+1)=[....]*(n+1)=\red{.....}
[/mm]
und anschließend
[mm] 2*\{\red{.....}\}+3*\{\blue{....}\}+(n+1)
[/mm]
LG
Herby
|
|
|
| |
|
> na sicher, dafür sind wir ja da
>
> Vorbereitung:
> [mm](n+1)^3=[\blue{(n+1)^2}]*(n+1)=[....]*(n+1)=\red{.....}[/mm]
>
> und anschließend
>
> [mm]2*\{\red{.....}\}+3*\{\blue{....}\}+(n+1)[/mm]
>
> >>also wäre das dann in diesem fall:
>>> [mm] 2*(n^3+3n^2+3n)+3(n^2+2n+2)+(n+1)
[/mm]
>>>?
>
>
> LG
> Herby
|
|
|
| |
|
>>> danke für die hilfe bis hiehin =)
> fast: [mm]2*(n^3+3n^2+3n+\red{1})+3(n^2+2n+\red{1})+(n+1)[/mm]
>
> ok, jetzt noch die Klammern ausmultiplizieren und ein
> bisschen umsortieren wie bereits angesprochen - dann biste
> fertig
>
>>> also ist das dann [mm] 2n^3+6n^2+6n+2+3n^2+6n+9+n+1
[/mm]
>>> [mm] 2n^3+9n^2+13n+12
[/mm]
>>>
>>> so und wie soll ich das jetzt umsortieren? es muss ja jetzt wieder >>> induktionsansatz rauskommen..
>
>
>
>LG Herby
>
|
|
|
| |
|
Hallo,
warum ist das Zitieren bei Dir so seltsam?
Diese >>>, setzt Du die, oder kommen die automatisch?
> > fast: [mm]2*(n^3+3n^2+3n+\red{1})+3(n^2+2n+\red{1})+(n+1)[/mm]
> also ist das dann [mm]2n^3+6n^2+6n+2+3n^2+6n+9+n+1[/mm]
Prüf' das nochmal. Es stimmt nur fast.
> [mm]2n^3+9n^2+13n+\red{6}[/mm]
= [mm] (2n^3+3n^3 [/mm] +n) + [mm] 6n^2+12n [/mm] +6.
Und nun scharf nachdenken und Induktionsvoraussetzung benutzen.
Gruß v. Angela
>
> so und wie soll ich das jetzt umsortieren? es muss ja
> jetzt wieder induktionsansatz rauskommen..
|
|
|
| |
|
Hallo mathestudent,
könntest du bitte mit etwas mehr Bedacht zitieren.
Du kannst die Teile, die du nicht benötigst, löschen ...
So ist das äußerst mühsam zu lesen, außerdem wird der thread ellenlang und total unübersichtlich.
Danke
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:43 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
> > > Beweisen sie durch vollständige induktion, dass für alle
> > > n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
> > >
> > > a.) [mm]4|(5^n[/mm] - 1)
> > >
> > > b.) [mm]\bruch{n}{6}[/mm] + [mm]\bruch{n^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{n^3}{3}[/mm]
> > >
> > > Hallo, habe hier ein paar Probleme mit der vollständigen
> > > Induktion...Ich hoffe jemand kann mir hier helfen?
> >
> > Hallo,
> >
> > >
> > > a) Also hier habe ich ganz normal im induktionsanfang n=1
> > > gesetzt und es hat auch gestimmt....dann kommt der
> > > Induktionsschritt und da bin ich mir unsicher....kann es
> > > sein, dass es in diesem fall sofort endet wo es anfängt?
> > > also dass wenn ich n=n+1 setzte, dann steht doch da
> > > [mm]4|(5^{n+1}[/mm] -1) ? bin ich dann auch fertig?
> >
> > Nein du musst zeigen, dass unter der Voraussetzung
> > [mm]4|(5^n-1)[/mm] auch gilt, dass [mm]4|(5^{n+1}-1)[/mm].
> >
> > Vielleicht mal ein Anfang:
> >
> > [mm]5^{n+1}-1=5*5^n-1=5*5^n-5+4=5*(5^n-1)+4[/mm]
> >
> hmm, ehrlich gesagt verstehe ich hier gerade gar nicht
> was gemacht wurde?
hier wurde gezeigt, dass [mm] 5^{n+1}-1 [/mm] durch 4 teilbar ist, da [mm] 5^{n+1}-1=5*\blue{(5^n-1)}+\red{4} [/mm] ist. Beide Summanden der rechten Seite sind durch 4 teilbar: Der [mm] \blue{blaue} [/mm] nach Induktionsvoraussetzung und der [mm] \red{rote} [/mm] sowieso. Voilà tout
LG
Herby
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 08:47 Fr 05.02.2010 | | Autor: | Herby |
Hi,
du kannst ja mal just zeigen, dass [mm] 5^{n+1}+7 [/mm] ebenso durch 4 teilbar ist, wenn die Voraussetzung [mm] 4|5^n+7 [/mm] gilt.
LG
Herby
|
|
|
|
![[mussweg]](/images/smileys/mussweg.gif "[mussweg]"){kind=small}
-- bis Dienstag 
