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| Aufgabe | Es seien a1,a2,....,an Elemente eines Körpers K.
Zeigen Sie durch vollständige Induktion:Die Summe dieser n Zahlen
ak [mm] \varepsilon [/mm] K hängt nicht von der Klammerbildung und der Rheienfolge (Umordnung) ab. |
Hallo Leute,
Ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zurecht ich schreibe mal meine bisherigen Gedankengänge auf:
Die Summe der n Zahlen soll nicht von der Klammerbildung oder Rheienfolge abhängen damit sollte wohl Assoziativität und Kommutativität gemeint sein.
Ein Axiom das helfen könnte: m+(n+1):=(m+n)+1
[mm] a1+a2.....+an=ak=\summe_{i=a1}^{an} [/mm] i (mein Induktionsanfang glaube aber nicht das das stimmt )
Für den Induktionsbeweis brauche ich einen Induktionsanfang,Induktionshypothese,Induktionsschritt
Beim Induktionsschritt folgere ich aus n zu n+1 ?
Ist ein Induktionsbeweis eigentlich dasselbe wie die vollständige Induktion?
Sorry aber bin ersti und nach 2 Wochen Uni noch ziemlich ratlos und die Übungsblätter fallen mir echt schwer hoffe ihr könnt mir den Weg weisen :)
- Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:21 Fr 23.10.2015 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Es seien a1,a2,....,an Elemente eines Körpers K.
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion:
Sind dir die Schritte der Induktion bewusst?
Den Induktionsanfang würde ich hier einmal mit zwei und mit drei Summanden beginnen lassen, nämlich zu zeigen, dass [mm] a_{1}+a_{2}=a_{2}+a_{1} [/mm] (Warum das Gilt, überlege mal selber, beachte dass wir in einem Körper sind) und außerdem, dass [mm] (a_{1}+a_{2})+a_{3}=a_{1}+(a_{2}+a_{3})
[/mm]
Dann ist die Induktionsvoraussetzung ja die Tatsache, dass du die ersten n Summanden beliebig tauschen darfst.
Dann musst du im Induktionsschritt zeigen, dass du dann auch die ersten n+1 Summanden beliebig tauschen darfst.
Also beginne mal
[mm] a_{1}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}
[/mm]
Klammern setzen
[mm] =(a_{1}+\ldots+a_{n})+a_{n+1}
[/mm]
Vertauschen, warum das gilt, überlege mal selber, die ebgründung hast du in ähnlicher Form schonmal im Induktionsanfagn gegeben
[mm] =a-{n+1}+(a_{1}+\ldots+a_{n})
[/mm]
Nun wende mal die Ind-Voraussetzung auf die Klammer an und schmücke das ganze noch ein bisschen mit erklärenden Worten.
Das ist ein schönes Problen, bei dem man sich in der Formalsprache fürchterlich verrennen kann, mit ein bisschen Text aber sehr einfach argumentieren kann.
Marius
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:45 Fr 23.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Marius!
> Dann ist die Induktionsvoraussetzung ja die Tatsache, dass
> du die ersten n Summanden beliebig tauschen darfst.
>
> Dann musst du im Induktionsschritt zeigen, dass du dann
> auch die ersten n+1 Summanden beliebig tauschen darfst.
>
> Also beginne mal
> [mm]a_{1}+\ldots+a_{n}+a_{n+1}[/mm]
> Klammern setzen
> [mm]=(a_{1}+\ldots+a_{n})+a_{n+1}[/mm]
> Vertauschen, warum das gilt, überlege mal selber, die
> ebgründung hast du in ähnlicher Form schonmal im
> Induktionsanfagn gegeben
> [mm]=a_{n+1}+(a_{1}+\ldots+a_{n})[/mm]
> Nun wende mal die Ind-Voraussetzung auf die Klammer an und
> schmücke das ganze noch ein bisschen mit erklärenden
> Worten.
Mit dieser Vorgehensweise kannst du den Spezialfall
[mm] $((\ldots(a_1+a_2)+\ldots)+a_{n-1})+a_n=a_n+(a_{n-1}+(\ldots+(a_2+a_1)\ldots))$
[/mm]
begründen, deckst aber nicht beliebige Umklammerungen und Umordnungen ab.
> Das ist ein schönes Problen, bei dem man sich in der
> Formalsprache fürchterlich verrennen kann, mit ein
> bisschen Text aber sehr einfach argumentieren kann.
Das sehe ich anders. Ein sauberer Beweis ist offenbar ziemlich technisch und für Erstsemester zu aufwendig. Gedanken zur Beweisidee findet man unter ![[]](/images/popup.gif) diesem Link.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:32 Fr 23.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hallo mathnoob9 und herzlich ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]") !
Wie ich in meiner Mitteilung zu Marius' Antwort bereits angedeutet habe, erscheint mir diese Aufgabe zu schwer für das erste Semester.
Ich würde dir daher empfehlen, nicht viel Zeit mit dieser Aufgabe zu verschwenden, sondern an den Grundlagen zu arbeiten, die dir offenbar Schwierigkeiten bereiten.
> Es seien a1,a2,....,an Elemente eines Körpers K.
> Zeigen Sie durch vollständige Induktion:Die Summe dieser
> n Zahlen
> ak [mm]\varepsilon[/mm] K hängt nicht von der Klammerbildung und
> der Rheienfolge (Umordnung) ab.
> Ich komme mit der Aufgabe nicht so ganz zurecht ich
> schreibe mal meine bisherigen Gedankengänge auf:
Gut, nur dadurch können Antwortgeber hier zielgerichtet helfen. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Die Summe der n Zahlen soll nicht von der Klammerbildung
> oder Rheienfolge abhängen damit sollte wohl
> Assoziativität und Kommutativität gemeint sein.
[mm] $a_1,\ldots,a_n$ [/mm] sind Elemente eines Körpers K und damit im Allgemeinen im engeren Sinne keine Zahlen.
Eine Verknüpfung + auf einer Menge M heißt assoziativ, wenn
$(a+b)+c=a+(b+c)$
für alle [mm] $a,b,c\in [/mm] M$ gilt.
Überhaupt nicht selbstverständlich ist, dass dann auch das sogenannte "verallgemeinerte Assoziativgesetz" gilt, also dass man auch bei mehr als 3 Summanden beliebig umklammern kann.
Beispiel: Ist eine Verknüpfung + auf M assoziativ, so gilt auch
$(a+b)+(((c+d)+e)+f)=(a+((b+c)+d))+(e+f)$
für alle [mm] $a,b,c,d,e,f\in [/mm] M$.
Eine Verknüpfung + auf $M$ heißt kommutativ, falls
$a+b=b+a$
für alle [mm] $a,b\in [/mm] M$ gilt.
Überhaupt nicht selbstverständlich ist, dass man bei Verknüpfungen, die sowohl kommutativ als auch assoziativ sind, auch bei mehr als zwei Summanden die Reihenfolge beliebig ändern kann ("verallgemeinertes Kommutativgesetz").
Beispiel: Sei $+$ eine assoziative und kommutative Verknüpfung auf $M$. Dann gilt
(*) $a+b+c+d=c+b+d+a$
für alle [mm] $a,b,c,d\in [/mm] M$.
(Aufgrund des allgemeinen Assoziativgesetzes kann eine Klammerung in (*) entfallen.)
In dieser Aufgabe soll nun gezeigt werden, dass die Addition in einem beliebigen Körper dem verallgemeinerten Assoziativgesetz und dem verallgemeinerten Kommutativgesetz genügt.
Verständnisfrage: Was weißt du über Assoziativität und Kommutativität der Addition in beliebigen Körpern? (Dazu benötigst du die Definition eines Körpers.)
> Ein Axiom das helfen könnte: m+(n+1):=(m+n)+1
Das ist offenbar ein kleiner Ausschnitt aus einer Definition, kein Axiom.
Vermutlich hast du diesen Ausschnitt einer rekursiven Definition der Addition natürlicher Zahlen übernommen.
In der vorliegenden Aufgabe geht es um die Addition eines Körpers, nicht die Addition natürlicher Zahlen.
> [mm]a1+a2.....+an=ak=\summe_{i=a1}^{an}[/mm] i (mein
> Induktionsanfang glaube aber nicht das das stimmt )
Wenn du [mm] $a_1+a_2+\ldots+a_n$ [/mm] mit dem Summenzeichen [mm] $\sum$ [/mm] darstellen willst, muss es wie folgt heißen:
[mm] $a_1+a_2+\ldots+a_n=\sum_{i=1}^na_i$.
[/mm]
Auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens stehen nur unterschiedliche Schreibweisen für die gleiche Summe.
Mit der vorliegenden Aufgabe hat dies nichts zu tun.
Ich schlage dir vor, diese Seite zum Thema Summenzeichen zu studieren.
> Für den Induktionsbeweis brauche ich einen
> Induktionsanfang,Induktionshypothese,Induktionsschritt
Ja.
Zunächst mal brauchst du für jedes [mm] $n\in\IN$ [/mm] eine Aussage A(n).
Dann ist vollständige Induktion eine Methode zum Beweis, dass für JEDES [mm] $n\in\IN$ [/mm] die Aussage A(n) gilt.
In der vorliegenden Aufgabe könnte man wählen (wie in der Aufgabenstellung sei dabei K ein beliebig vorgegebener Körper):
$A(n):=$"Für Summen von n Summanden aus K gelten verallgemeinertes Assoziativ- und verallgemeinertes Kommutativgesetz."
> Beim Induktionsschritt folgere ich aus n zu n+1 ?
Du zeigst unter der Annahme "$A(n)$ gilt", dass dann auch $A(n+1)$ gelten muss.
> Ist ein Induktionsbeweis eigentlich dasselbe wie die
> vollständige Induktion?
Mit einem Induktionsbeweis meint man üblicherweise einen Beweis, der vollständige Induktion verwendet.
Wie gesagt: Wenn du Induktionsbeweise üben möchtest, suche dir besser andere Aufgaben zu diesem Thema als die vorliegende.
Viele Grüße
Tobias
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:03 Fr 23.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
Hier eine Präzisierung von verallgemeinerten Assoziativ- und Kommutativgesetzen.
Diese Darstellung richtet sich nicht an den Fragesteller, sondern an fortgeschrittenere Leserinnen und Leser.
Sei $+$ eine Verknüpfung auf einer Menge M.
Sei [mm] $m\in\IN\setminus\{0\}$ [/mm] und [mm] $n\in\IN$ [/mm] mit [mm] $n\ge [/mm] m$.
Dann sei [mm] $\sum_{i=m}^na_i$ [/mm] für Elemente [mm] $a_m,\ldots,a_n\in [/mm] M$ wie folgt per Rekursion nach $n$ definiert:
[mm] $\sum_{i=m}^m a_i:=a_m$
[/mm]
[mm] $\sum_{i=m}^{n}:=(\sum_{i=m}^{n-1}a_i)+a_n$ [/mm] für $n>m$.
(Ich habe mich also quasi für eine bestimmte Klammerung als Grundlage dieser Definition entschieden.)
Def.: Die Verküpfung $+$ genügt dem verallgemeinerten Assoziativgesetz, falls für alle [mm] $n\in\IN$, $m\in\{1,\ldots,n-1\}$ [/mm] und [mm] $a_1,\ldots,a_n\in [/mm] K$ gilt:
[mm] $\sum_{i=1}^na_i=(\sum_{i=1}^ma_i)+(\sum_{i=m+1}^na_i)$.
[/mm]
Proposition: $+$ genügt dem verallgemeinerten Assoziativgesetz genau dann, wenn $+$ assoziativ ist.
Def.: Die Verküpfung $+$ genügt dem verallgemeinerten Kommutativgesetz, falls für alle [mm] $n\in\IN$, [/mm] alle Bijektionen [mm] $\sigma\colon\{1,\ldots,n\}\to\{1,\ldots,n\}$ [/mm] und alle [mm] $a_1,\ldots,a_n\in [/mm] K$ gilt:
[mm] $\sum_{i=1}^na_i=\sum_{i=1}^na_{\sigma(i)}$.
[/mm]
Proposition: $+$ genügt dem verallgemeinerten Kommutativgesetz genau dann, wenn $+$ assoziativ und kommutativ ist.
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Dann nutze ich auch die Möglichkeit, etwas dazu sagen, ohne mich an den Fragesteller zu richten. Mit dem verallgemeinerten Assoziativgesetzen zu tun hat die monadische Sichtweise auf algebraische Strukturen. Klassischerweise besteht ja ein Monoid aus einer nullstelligen Operation und einer zweistelligen Operation, welche per Neutralitäts- und Assoziativitätsaxiom kompatibel gemacht werden. Anschließend kann man für jedes $n$ die $n$-stellige Operation [mm] $(x_1,\dots,x_n)\mapsto \prod x_i$ [/mm] einführen und zeigen, dass alles schön miteinander verträglich ist.
Wenn man Monaden mag, stellt man sich lieber vor, dass man a priori für jedes $n$ eine $n$-stellige Verknüpfung hat und fordert als Axiom das verallgemeinerte Assoziativgesetz. In abstrakter Sprach heißt das dann, dass ein Monoid ein Modul einer speziellen Monade, der Wortmonade ist (die spielt auch in der Informatik eine Rolle, allgemein sind Monaden wichtig in der theoretischen Informatik).
Es gibt einen für die universelle Algebra wichtigen Satz, dass jeder Vergissfunktor zwischen algebraischen Kategorien monadisch ist. Insbesondere ist jede algebraische Kategorie monadisch über der Kategorie der Mengen. In einem Vektorraum sind dann z.B. die primitiven Operationen nicht mehr Vektoraddition, Nullvektor, Inverser Vektor und Skalarmultiplikation, sondern für jedes $n$ hat man eine Operation "$n$-fache Linearkombination". Die primitive Operationen in kommutativen Ringen sind polynomielle Ausdrücke.
Sehr viele Resultate, die überhaupt erst dafür sorgen, dass Algebra so schön funktioniert, ergeben sich sehr leicht aus der allgemeinen Theorie der Monaden. Beispielsweise die Existenz freier algebraischer Strukturen, die Existenz von Limites, Kolimites, und so weiter.
Gleichzeitig sind lustigerweise Monaden selbst ein bisschen wie eine algebraische Struktur, nämlich Monoide. Eine Monade in einer Kategorie [mm] $\mathcal{C}$ [/mm] kann man definieren als ein Monoid-Objekt in der monoidalen Kategorie der Endofunktoren auf [mm] $\mathcal{C}$. [/mm] (Allgemeiner kann man auch die monoiade Kategorie der Endo-1-Morphismen eines 0-Morphismus in einer 2-Kategorie betrachten, und man kann auch höherkategorielle Monaden definieren.)
Falls jemand einen Link anklicken möchte, hier ein Link.
Liebe Grüße,
UniversellesObjekt
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Hey Leute danke für eure Antworten habe den Beweis mal für das Assoziativgesetz allerdings weiss ich nicht ob das auch so für einen Körper stimmt bzw. die Aufgabenstellung.
n=3 (a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)
Ax1(n+0=n)
[mm] Ax2(n+\sigma m=\sigma(n+m)
[/mm]
vollst. Ind über a3
Ind.Anf.
(a3=0)
(a1+a2)+0=a1+a2 (Ax1)
=a1+(a2+0) (Ax1)
Ind.Schritt:
Schließen von a3=i auf [mm] a3=\sigma(i)
[/mm]
Ind.Annahme:
[mm] (a1+a2)+\sigma(i)=a1+(a2+i)
[/mm]
zu [mm] zeigen:(a1+a2)+\sigma(i)=a1+(a2+\sigma(i))
[/mm]
[mm] (a1+a2)+\sigma(i)=\sigma((a1+a2)+i) [/mm] (Ax2)
=Hey Leute danke für eure Antworten habe den Beweis mal für das Assoziativgesetz allerdings weiss ich nicht ob das auch so für einen Körper stimmt bzw. die Aufgabenstellung.
n=3 (a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)
Ax1(n+0=n)
[mm] Ax2(n+\sigma m=\sigma(n+m)
[/mm]
vollst. Ind über a3
Ind.Anf.
(a3=0)
(a1+a2)+0=a1+a2 (Ax1)
=a1+(a2+0) (Ax1)
Ind.Schritt:
Schließen von a3=i auf [mm] a3=\sigma(i)
[/mm]
Ind.Annahme:
[mm] (a1+a2)+\sigma(i)=a1+(a2+i)
[/mm]
zu [mm] zeigen:(a1+a2)+\sigma(i)=a1+(a2+\sigma(i))
[/mm]
[mm] (a1+a2)+\sigma(i)=\sigma(a1+a2)+i) [/mm] (Ax2)
[mm] =\sigma(a1+(a2+i)) [/mm] (Ind. Annahme)
[mm] =a1+\sigma(a2+i) [/mm] (Ax2)
[mm] =a1+(a2+\sigma(i)) [/mm] (Ax2)
q.e.d
Ist die Antwort ausreichend bzw. wo liegt mein Fehler?
Ein großes Dankeschön an den Matheraum
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(Antwort) fertig | | Datum: | 03:27 Fr 30.10.2015 | | Autor: | tobit09 |
> Hey Leute danke für eure Antworten habe den Beweis mal
> für das Assoziativgesetz allerdings weiss ich nicht ob das
> auch so für einen Körper stimmt bzw. die
> Aufgabenstellung.
Hast du meine für dich bestimmte Antwort nicht richtig studiert?
Wenn du darin nicht alles verstehst, frage bitte konkret nach.
Dein Nachschlagen der Definition eines Körpers sollte ergeben haben, dass die Addition in jedem Körper per Definitionem (!) assoziativ ist.
In der Aufgabe geht es jedoch wie gesagt nicht um die Assoziativität der Körperaddition in K, sondern um die Gültigkeit des verallgemeinerten Assoziativgesetzes (was damit gemeint ist, habe ich in besagter Antwort beschrieben) für die Körperaddition in K.
> n=3 (a1+a2)+a3=a1+(a2+a3)
> Ax1(n+0=n)
> [mm]Ax2(n+\sigma m=\sigma(n+m)[/mm]
Es nützt wenig, die Axiome in dieser Formulierung zu nutzen, ohne zu wissen, was die darin enthaltenen Zeichen bedeuten sollen.
Anscheinend bezeichnet hier n eine beliebig vorgegebene natürliche Zahl (NICHT etwa ein Element eines beliebigen Körpers K).
[mm] $\sigma(n)$ [/mm] bezeichnet den Nachfolger der natürlichen Zahl $n$.
$+$ bezeichnet hier die gewöhnliche Addition natürlicher Zahlen und NICHT etwa die Addition eines beliebigen Körpers K.
> vollst. Ind über a3
>
> Ind.Anf.
> (a3=0)
> (a1+a2)+0=a1+a2 (Ax1)
> =a1+(a2+0) (Ax1)
> Ind.Schritt:
> Schließen von a3=i auf [mm]a3=\sigma(i)[/mm]
> Ind.Annahme:
> [mm](a1+a2)+\sigma(i)=a1+(a2+i)[/mm]
> zu [mm]zeigen:(a1+a2)+\sigma(i)=a1+(a2+\sigma(i))[/mm]
> [mm](a1+a2)+\sigma(i)=\sigma(a1+a2)+i)[/mm] (Ax2)
> [mm]=\sigma(a1+(a2+i))[/mm] (Ind. Annahme)
> [mm]=a1+\sigma(a2+i)[/mm] (Ax2)
> [mm]=a1+(a2+\sigma(i))[/mm] (Ax2)
> q.e.d
>
> Ist die Antwort ausreichend bzw. wo liegt mein Fehler?
Dein Fehler liegt im Ignorieren der Aufgabenstellung!
Das ist ein korrekter Beweis, dass die gewöhnliche Addition natürlicher Zahlen assoziativ ist.
Mit der vorliegenden Aufgabenstellung hat er nichts zu tun.
Viele Grüße von einem etwas ratlosen Tobias...
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