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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:50 Mi 07.11.2007 | | Autor: | hase-hh |
| Aufgabe | Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach n [mm] \in \IN [/mm] die folgende Behauptung:
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i}) [/mm] > [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] , [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \forall x_{i} \in \IR, x_{i} \ge [/mm] 0 |
Moin!
ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion. Zu obiger Aufgabe habe ich eine Lösung, verstehe aber nicht alle Schritte. Kann mir das vielleicht jemand erklären?! Danke!!!
1. Induktionsanfang hier: [mm] n=n_{0} [/mm] =2
ok, in der Regel fängt man mit n=1 an, hier eben mit 2.
Linke Seite: [mm] \produkt_{i=1}^{2}(1+x_{i}) [/mm] = [mm] (1+x_{1})*(1+x_{2}) [/mm]
= 1 + [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{1}*x_{2} [/mm]
und weil [mm] x_{i} \ge [/mm] 0 sein soll, ist auch [mm] x_{1}*x_{2} \ge [/mm] 0...
Rechte Seite: [mm] \summe_{i=1}^{2} x_{i} [/mm] = [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2}
[/mm]
also: 1 + [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm] + [mm] x_{1}*x_{2} [/mm] > [mm] x_{1} [/mm] + [mm] x_{2} [/mm]
soweit, so gut.
2. Induktionsvoraussetzung n=k und k [mm] \ge [/mm] 2
[mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] > [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm]
ok.
3. Induktionsbehauptung n= k+1
[mm] \produkt_{i=1}^{k+1}(1+x_{i}) [/mm] > [mm] \summe_{i=1}^{k+1} x_{i} [/mm]
bzw.
[mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] * [mm] (1+x_{k+1}) [/mm] > [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} *(1+x_{k+1})
[/mm]
die linke Seite kann ich ausmultiplizieren
[mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] * [mm] (1+x_{k+1}) [/mm] = [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] + [mm] \produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i})* x_{k+1}
[/mm]
aber in der lösung steht für die rechte seite jetzt:
[mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} *(1+x_{k+1})
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] + [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] * [mm] x_{k+1}
[/mm]
das verstehe ich nicht mehr!
ich hätte die rechte seite umgeformt:
= [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] + [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] * [mm] x_{k+1}
[/mm]
also ist hier offenbar [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] durch [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] ersetzt worden, oder nicht?!
dies [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] wird dann noch als [mm] \ge [/mm] 1 abgeschätzt und
man erhält:
[mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] * [mm] (1+x_{k+1}) \ge \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] + [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] * [mm] x_{k+1}
[/mm]
[mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] * [mm] (1+x_{k+1}) \ge \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] + 1* [mm] x_{k+1}
[/mm]
bzw.
[mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] * [mm] (1+x_{k+1}) \ge \summe_{i=1}^{k+1} x_{i} [/mm]
1. Frage: was ist bei der ersetzung [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] durch [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] genau passiert? warum kann man das eigentlich so machen. schliesslich haben wir ja eine ungleichung zu lösen?
2. Frage: die abschätzung. warum kann man das eingesetzte (ersetzte) produkt so abschätzen, und warum kann man dann mit 1 weiterrechnen und nicht mit 2 oder 100 ?
vielen dank für eure hilfe!
gruß
wolfgang
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> Beweisen Sie durch vollständige Induktion nach n [mm]\in \IN[/mm]
> die folgende Behauptung:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i})[/mm] > [mm]\summe_{i=1}^{n} x_{i}[/mm] ,
> [mm]\forall[/mm] n [mm]\ge[/mm] 2 [mm]\forall x_{i} \in \IR, x_{i} \ge[/mm] 0
> Moin!
>
> ich habe eine Frage zur vollständigen Induktion. Zu obiger
> Aufgabe habe ich eine Lösung, verstehe aber nicht alle
> Schritte. Kann mir das vielleicht jemand erklären?!
> Danke!!!
>
> 1. Induktionsanfang hier: [mm]n=n_{0}[/mm] =2
>
> ok, in der Regel fängt man mit n=1 an, hier eben mit 2.
>
>
> Linke Seite: [mm]\produkt_{i=1}^{2}(1+x_{i})[/mm] =
> [mm](1+x_{1})*(1+x_{2})[/mm]
>
> = 1 + [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{1}*x_{2}[/mm]
>
> und weil [mm]x_{i} \ge[/mm] 0 sein soll, ist auch [mm]x_{1}*x_{2} \ge[/mm]
> 0...
>
>
> Rechte Seite: [mm]\summe_{i=1}^{2} x_{i}[/mm] = [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm]
>
>
> also: 1 + [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm] + [mm]x_{1}*x_{2}[/mm] > [mm]x_{1}[/mm] + [mm]x_{2}[/mm]
>
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>
> soweit, so gut.
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> 2. Induktionsvoraussetzung n=k und k [mm]\ge[/mm] 2
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] > [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm]
>
>
> ok.
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>
> 3. Induktionsbehauptung n= k+1
>
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k+1}(1+x_{i})[/mm] > [mm]\summe_{i=1}^{k+1} x_{i}[/mm]
>
> bzw.
>
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] * [mm](1+x_{k+1})[/mm] >
> [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i} *(1+x_{k+1})[/mm]
>
> die linke Seite kann ich ausmultiplizieren
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] * [mm](1+x_{k+1})[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] + [mm]\produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i})* x_{k+1}[/mm]
>
>
> aber in der lösung steht für die rechte seite jetzt:
>
> [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i} *(1+x_{k+1})[/mm]
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] + [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] *
> [mm]x_{k+1}[/mm]
>
> das verstehe ich nicht mehr!
>
> ich hätte die rechte seite umgeformt:
>
> = [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] + [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] *
> [mm]x_{k+1}[/mm]
Hallo,
vorausgesetzt, Du würdest da kein Gleichheitszeichen stehen habe, wäre das auf richtig.
Du hast an diser Stelle jetzt aber das Problem, daß Du plausibel machen mußt, warum [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] * [mm] x_{k+1} \ge x_k+1 [/mm] gilt, und ich fürchte, daß das nicht geingen wird. Insofern ist Deine Umformung nicht zielführend.
Dein Buch macht folgendes:
$ [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] $ * $ [mm] (1+x_{k+1}) [/mm] $ = $ [mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i}) [/mm] $ + [mm] x_{k+1} [/mm] $ [mm] \produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i}) [/mm] $
Nun wird der erste term mit der Ind. Vor. abgeschätzt:
...> [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] + [mm] x_{k+1}*\produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i}).
[/mm]
Da die [mm] x_i [/mm] positiv sind nach Voraussetzung, ist jeder der Faktoren hinter dem Produktzeichen >1, also kann man abschätzen
...> [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] + [mm] x_{k+1}*1=\summe_{i=1}^{k+1} x_{i}
[/mm]
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:16 Do 08.11.2007 | | Autor: | hase-hh |
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> Hallo,
>
> vorausgesetzt, Du würdest da kein Gleichheitszeichen stehen
> habe, wäre das auch richtig.
>
> Du hast an diser Stelle jetzt aber das Problem, daß Du
> plausibel machen mußt, warum [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] *
> [mm]x_{k+1} \ge x_k+1[/mm] gilt, und ich fürchte, daß das nicht
> geingen wird. Insofern ist Deine Umformung nicht
> zielführend.
>
Moin!
das habe ich nun leider überhaupt nicht verstanden.
> Dein Buch macht folgendes:
>
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] * [mm](1+x_{k+1})[/mm] =
> [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] + [mm]x_{k+1}[/mm] [mm]\produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i})[/mm]
ok, das ist die linke seite...
> Nun wird der erste term mit der Ind. Vor. abgeschätzt:
was ist denn der erste term? und wie wird dieser mit der Ind.Vor. abgeschätzt? für die doofen wie mich: bitte viel erklärender text!!
mich vewirrt zunächst, dass hier summen-term durch produkt-term ersetzt wird, oder nicht?! und wie man zu dieser abschätzung kommt?
[ich kann nachvollziehen, dass da [mm] x_{i} \ge [/mm] 0 sein soll, 1+ [mm] x_{i} \ge [/mm] 1 ist. ]
ich soll doch zeigen, dass linke seite größer als rechte seite.
jetzt ersetze ich auf der rechten seite
summen-term durch produkt-term; dann wird für den produkt-term "1" angenommen (warum nicht 2; 100 usw.?) und wird dadurch nicht die rechte seite grob verkleinert und verfälscht dies nicht die ungleichung?
> ...> [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] + [mm]x_{k+1}*\produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i}).[/mm]
>
> Da die [mm]x_i[/mm] positiv sind nach Voraussetzung, ist jeder der
> Faktoren hinter dem Produktzeichen >1, also kann man
> abschätzen
>
> ...> [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] + [mm]x_{k+1}*1=\summe_{i=1}^{k+1} x_{i}[/mm]
>
> Gruß v. Angela
>
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Hallo,
gezeigt werden soll
[mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i}) [/mm] $ > [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] , [mm] \forall [/mm] n [mm] \ge [/mm] 2 [mm] \forall x_{i} \in \IR, x_{i} \ge [/mm] 0
mit vollständiger Induktion.
Wenn ich mich recht entsinne, existiert der Ind. anfang schon.
Induktionsvoraussetzung: es gelte [mm] \produkt_{i=1}^{n}(1+x_{i}) [/mm] > $ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] $ , $ [mm] \forall [/mm] $ n $ [mm] \ge [/mm] $ 2 ,
[mm] x_{i} \ge [/mm] 0
Induktionsschluß:
Im Ind.schluß ist unter der Ind.voraussetzung die die Gültigkeit der Aussage für n+1 zu zeigen, also
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{i}) [/mm] > $ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} x_{i} [/mm] $
Beweis:
Es ist
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{i}) [/mm] =...
und nun muß man obiges so umformen, daß man am Ende ...> $ [mm] \summe_{i=1}^{n+1} x_{i} [/mm] $ erhält.
> > Dein Buch macht folgendes:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{i}) [/mm] =...
> >
> > [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] * [mm](1+x_{k+1})[/mm] =
> > [mm]\produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] + [mm]x_{k+1}[/mm] [mm]\produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i})[/mm]
> > Nun wird der erste term mit der Ind. Vor. abgeschätzt:
>
> was ist denn der erste term?
[mm] \produkt_{i=1}^{k}(1+x_{i})[/mm] [/mm] .
> und wie wird dieser mit der
> [blue]Ind.Vor. abgeschätzt?
>$ [mm] \summe_{i=1}^{n} x_{i} [/mm] $
> mich vewirrt zunächst, dass hier summen-term durch
> [blue]produkt-term ersetzt wird, oder nicht?!
Hier wird lediglich die Induktionsvoraussetzung verwendet. Nichts weiter umgeformt oder gerechnet.
> und wird dadurch nicht die rechte seite grob verkleinert
> und verfälscht dies nicht die ungleichung?
Man muß eben richtig abschätzen, nicht zuviel und nicht zuwenig.
Die Abschätzung oben ist gut, denn man erhält ja das Richtige:
> ...> $ [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] $ + $ [mm] x_{k+1}\cdot{}\produkt_{i=1}^{k} (1+x_{i}). [/mm] $
>
> Da die $ [mm] x_i [/mm] $ positiv sind nach Voraussetzung, ist jeder der
> Faktoren hinter dem Produktzeichen >1, also kann man
> abschätzen
>
> ...> $ [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] $ + $ [mm] x_{k+1}\cdot{}1=\summe_{i=1}^{k+1} x_{i} [/mm] $
Das wollte man am Ende haben.
Zu Deinem Weg:
> > Du hast an dieser Stelle jetzt aber das Problem, daß Du
> > plausibel machen mußt, warum [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] * [mm]x_{k+1} \ge x_k+1[/mm] gilt,
Oh - möglicherweise liegt's an einem Tippfehler: es muß natürlich ... [mm] \ge x_{k+1}
[/mm]
$ [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] $ * $ [mm] x_{k+1} [/mm] $heißen!
Wenn Du hier bist:
[mm] \produkt_{i=1}^{n+1}(1+x_{i}) [/mm] > $ [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] $ + $ [mm] \summe_{i=1}^{k} x_{i} [/mm] $ * $ [mm] x_{k+1} [/mm] $
Mußt Du ja zu ... = [mm] \summe_{i=1}^{n+1} x_{i} [/mm] gelangen,
das bedeutet, daß Du nun
> > plausibel machen mußt, warum [mm]\summe_{i=1}^{k} x_{i}[/mm] * [mm]x_{k+1} \ge x_{k+1}[/mm]
ist, und ich fürchte, es wird Dir nicht gelingen, weil Du nicht geschickt abgeschätzt hast.
Nun beschleicht mich zum Abschluß noch das Gefühl, daß Du die zu beweisende Aussage irgendwie durch Äquivalenzumformungen beweisen wolltest.
Das ist schon für den Beweis v. Gleichungen mit Induktion oft nicht so geschickt, aber Du hast es hier mit einer Ungleichung zu tun, bei welcher abgeschätzt werden muß!
Gruß v. Angela
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