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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:04 Sa 01.12.2007 | | Autor: | theeye3 |
| Aufgabe | | Sei A [mm] \subseteq [/mm] M. Dann ist [mm] Z:=\{A,M \backslash A\} [/mm] eine Zerlegung von M, die wiederum eine Äquivalenz ~z induziert. Geben sie #~z in Abhängigkeit von m:= #M und a:=#A an. |
Mir fehlt so die richtige Idee für die Aufgabe.
Das eine Zerlegung gleich einer Äquivalenzrelation ist, dass ist klar.
Aber bei der in der Aufgabe angegeben Zerlegung habe ich schon ein Verständnisproblem. Ich dachte immer eine Zerlegung ist eine Teilmenge einer Menge dessen Elemente äquivalent sind. Aber inder Zerlegung Z sind ja doch zwei Teilmengen gegeben oder nicht. Wie kann dies eine Zerlegung sein.
Und bei der Kardinalität der Äquivalen z müsste sie ja die gleiche Kardinalität haben wie die Zerlegung Z. Da aber dort die Menge A und die Menge M - die Menge A enthalten sind müsste doch die Kardinalität wie bei M sein.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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> Sei A [mm]\subseteq[/mm] M. Dann ist [mm]Z:=\{A,M \backslash A\}[/mm] eine
> Zerlegung von M, die wiederum eine Äquivalenz ~z
> induziert. Geben sie #~z in Abhängigkeit von m:= #M und
> a:=#A an.
> Mir fehlt so die richtige Idee für die Aufgabe.
> Das eine Zerlegung gleich einer Äquivalenzrelation ist,
> dass ist klar.
> Aber bei der in der Aufgabe angegeben Zerlegung habe ich
> schon ein Verständnisproblem. Ich dachte immer eine
> Zerlegung ist eine Teilmenge einer Menge dessen Elemente
> äquivalent sind. Aber inder Zerlegung Z sind ja doch zwei
> Teilmengen gegeben oder nicht. Wie kann dies eine Zerlegung
> sein.
>
> Und bei der Kardinalität der Äquivalen z müsste sie ja die
> gleiche Kardinalität haben wie die Zerlegung Z. Da aber
> dort die Menge A und die Menge M - die Menge A enthalten
> sind müsste doch die Kardinalität wie bei M sein.
Wie wärs mit folgender Interpretation der Aufgabenstellung: Die Zerlegung [mm] $\{A,M\backslash A\}$ [/mm] von $M$ ergibt eine relativ langweilige Äquivalenzrelation [mm] $\sim [/mm] z$ die $M$ also nur in zwei Teilmengen $A$ und [mm] $M\backslash [/mm] A$ von je bezüglich [mm] $\sim [/mm] z$ äquivalenten Elementen zerlegt. [mm] $\sim [/mm] z$ ist (in der mengentheoretischen Reduktion des Relationenbegriffes) zudem eine Menge von Paaren, [mm] $\subseteq M^2$. [/mm] Soll [mm] $\sim [/mm] z$ die der diskunkten Zerlegung [mm] $\{A,M\backslash A\}$ [/mm] von $M$ entsprechende Äquivalenzrelation sein, so muss sie jeweils nur zwischen Elementen von $A$ bzw. nur zwischen Elementen von [mm] $M\backslash [/mm] A$ gelten:
[mm]\sim z := \left\{(x,y)\in M^2\mid \text{entweder } x,y\in A\right \text{ oder } x,y\in M\backslash A\}=A^2\cup (M\backslash A)^2[/mm]
Nun wirst Du nach der Kardinalität von [mm] $\sim [/mm] z$ gefragt, also nach der Kardinalität dieser Menge von Paaren aus [mm] $M^2$.
[/mm]
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:23 Sa 01.12.2007 | | Autor: | theeye3 |
Also da würde ich jetzt schließen, dass die Kardinalität der Äquivalenzrelation sich aus [mm] m^2+a^2 [/mm] errechnen lässt oder?
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> Also da würde ich jetzt schließen, dass die Kardinalität
> der Äquivalenzrelation sich aus [mm]m^2+a^2[/mm] errechnen lässt
> oder?
Nicht ganz, denn die Kardinalität von [mm] $\left|A^2\cup (M\backslash A)^2\right|$ [/mm] ist doch
[mm]\left|A^2\cup (M\backslash A)^2\right|=\left|A^2\right|+\left|(M\backslash A)^2\right|=|A|^2+|M\backslash A|^2=a^2+(m-a)^2[/mm]
Ob ich die Aufgabe aber tatsächlich richtig interpretiert habe, ist wieder eine andere Frage...
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