von der Norm induzierte Metrik < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | 1. Sei V ein normierter reeller Vektorraum. Sei d(x;y) = [mm] \parallel [/mm] x-y [mm] \parallel
[/mm]
die von der Norm induzierte Metrik.
Zeigen Sie, dass für alle x;y; z @ V und r € [mm] \IR [/mm] gilt:
(a) d(x;y) = d(x+z;y+z) (Translationsinvarianz)
(b) d(rx; ry) =|r| d (x;y) (Homogenität).
2. Sei nun umgekehrt V ein reeller Vektorraum mit einer translationsinvarianten homogenen Metrik.
Zeigen Sie, dass durch
[mm] \parallel [/mm] x [mm] \parallel
[/mm]
:= d(x;0V )
eine Norm auf V definiert ist. |
Ich hab ehrlich gesagt keine ahnung wie ich daran gehen soll ...... ich verstehe schon nicht genau was das von der Norm induzierte Metrik heißt. Hoffe irgendjemand kann mir helfen und mir das richtig erklären was das genau heißt und wie ich dann an eine solche aufgabe rangehe
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> 1. Sei V ein normierter reeller Vektorraum. Sei d(x;y) =
> [mm]\parallel[/mm] x-y [mm]\parallel[/mm]
> die von der Norm induzierte Metrik.
> Zeigen Sie, dass für alle x;y; z @ V und r € [mm]\IR[/mm]
> gilt:
> (a) d(x;y) = d(x+z;y+z) (Translationsinvarianz)
> (b) d(rx; ry) =|r| d (x;y) (Homogenität).
> 2. Sei nun umgekehrt V ein reeller Vektorraum mit einer
> translationsinvarianten homogenen Metrik.
> Zeigen Sie, dass durch
> [mm]\parallel[/mm] x [mm]\parallel[/mm]
> := d(x;0V )
> eine Norm auf V definiert ist.
> Ich hab ehrlich gesagt keine ahnung wie ich daran gehen
> soll ...... ich verstehe schon nicht genau was das von der
> Norm induzierte Metrik heißt. Hoffe irgendjemand kann mir
"Norm induzierte Metrik" etwa "Norm erzeugt Metrik"
> helfen und mir das richtig erklären was das genau heißt
> und wie ich dann an eine solche aufgabe rangehe
1.
a) [mm]d(\red{x};\blue{y})=||\red{(x)}-\blue{(y)}||=\ldots=||\green{(?)}-{\color{RawSienna}(?)}||=d(\green{x+z};{\color{RawSienna}y+z})[/mm].
b) Ein Axiom der Norm hilft hier weiter
2.
[mm] $||x||:=d(x;\vec{0})$. [/mm] Jetzt gehst du die Axiome der Norm durch:
N1) Definitheit [mm] $||\cdot||>0$ [/mm] folgt aus???
N2) Homogenität folgt aus 1.) (b)
N3) Dreiecksungleichung ist eine kleine Rechnung.
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