vorgehen < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen sie das die Reihe [mm] \summe_{i=1}^{\infty} \bruch{cos(n\pi)}{n} [/mm] konvergent ist und bestimmmen sie den Grenzwert der Reihe [mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{4^{n}}{5^{n+1}} [/mm] |
Bei der ersten Reihe weiß ich garnicht nach welchem Kriterium ich anfange sie zu untersuchen. Währe nett mir das mal zu zeigen. Bei der zweiten wollte ich das Wurzelkriterium ansetzen und bin dann wie folgt vor gegangen:
[mm] \wurzel[n]{|a_{n}|}=a_{n}^{\bruch{1}{n}}
[/mm]
[mm] \summe_{i=0}^{\infty} \bruch{4^{n}}{5^{n+1}}
[/mm]
[mm] (\bruch{4^{n}}{5^{n+1}})^{\bruch{1}{n}}=\bruch{4^{n*\bruch{1}{n}}}{5^{{n+1}*\bruch{1}{n}}}=\bruch{4^1}{5^{1+\bruch{1}{n}}}
[/mm]
und da verließen sie ihn. Was mache ich nun weiter. mi dieser Potenz [mm] 5^{...} [/mm] komm ich nicht weiter oder laß ich mich da durch die +1 irritieren.
Danke für den Tipp
Gruß niesel
|
|
| |
|
Hallo Georg,
also zur ersten Reihe würde ich mal sagen, dass [mm] cos(n\pi) [/mm] immer im Wechsel die Werte [mm] \pm1 [/mm] annimmt, du hast also quasi die alternierende harmonische Reihe [mm] \summe_{n=1}^{\infty}\bruch{(-1)^n}{n} [/mm] dort stehen, und die ist bekanntlich konvergent.
Die zweite Reihe würde ich ein wenig umformen, und zwar wie folgt:
[mm] \summe_{n=0}^{\infty}\bruch{4^n}{5^{n+1}}=\bruch{1}{5}\summe_{n=0}^{\infty}\left(\bruch{4}{5}\right)^n [/mm]
Kommste damit weiter?
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
so nun doch noch mal eine frage
ich habe nun durch das wurzelkriterium [mm] \bruch{4}{5} [/mm] heraus bekommen. Nun haben wir ja die [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (ausgeklammert) werden die noch dazu mutlipliziert oder bleiben die [mm] \bruch{4}{5} [/mm] nun stehen?
Gruß georg
|
|
|
| |
|
Hi nochmal,
mit dem Wurzelkriterium bekommst du ja lediglich die Konvergenz heraus, aber die ist ja nach der Umformung klar, denn das ist eine geometrische Reihe [mm] \summe q^n [/mm] mit [mm] q=\bruch{4}{5} [/mm] < 1 und mithin konvergent 
Und der GW der geom. Reihe ist [mm] \bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}.
[/mm]
Das ganze noch mal [mm] \bruch{1}{5} [/mm] (hatten wir ja ausgeklammert) und fertig ist die Laube
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:18 Do 22.03.2007 | | Autor: | babo |
> Und der GW der geom. Reihe ist [mm]\bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}.[/mm]
>
> Das ganze noch mal [mm]\bruch{1}{5}[/mm] (hatten wir ja
> ausgeklammert) und fertig ist die Laube
Hallo, wie kommt man den zum diesen GW ??
|
|
|
| |
|
Moin,
Der Wert der endlichen geometrischen Reihe [mm] \summe_{k=0}^{n}q^k [/mm] ist [mm] \bruch{1-q^{n+1}}{1-q}
[/mm]
die (unendliche) geometrische Reihe [mm] \summe_{k=0}^{\infty}q^k [/mm] kovergiert für |q|<1 somit gegen [mm] \bruch{1}{1-q}
[/mm]
Oben war [mm] q=\bruch{1}{2}, [/mm] also [mm] \bruch{1}{1-\bruch{1}{2}}=2
[/mm]
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
Ach ne q war [mm] \bruch{4}{5} [/mm] aber egal Hauptsache <1
Also GW: [mm] \bruch{1}{1-\bruch{4}{5}}=5
[/mm]
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:43 Do 22.03.2007 | | Autor: | babo |
Moin, danke für die Blitzantwort...
ich hatte wieder mal ein Brett vor dem kopf ..
Zahlen waren zwar anders, ^^ aber ich hab das Prinzip verstanden...
Vielen Dank!!!!
|
|
|
|
