vorschüssige Zeitrente < Versicherungsmat < Finanz+Versicherung < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:42 Sa 20.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
und zwar habe ich so meine Verständnisprobleme bei den Formeln für Zeitrenten.
Jetzt für den Barwert einer vorschüssigen Rente zum Beispiel die Formel
ä [mm] =1*v^1+1*v^2+...+1*v^n=\bruch{1-v^n}{1-v}.
[/mm]
Jetzt kann ich damit auch schön Beispiele rechnen, zum Beispiel:
Wie kann eine anfallende Erbschaft von 30000 in eine zehnjährige vorschüssige Rente bei einer jährlichen verzinsung von 5% umgewandelt werden?
[mm] 30000=x\cdot{\bruch{1-(\bruch{1}{1+0,05})^{10}}{1-\bruch{1}{1+0,05}}}\Rightarrow [/mm] jährliche Rentenzahlung beträgt [mm] x\approx{3700,13} [/mm] .
Die Formel für ä wurde allerdings in der VL nur an die Tafel geklatscht ohne das diese näher erläutert wurde. Welcher Gedanke bzw. welche Herleitung verbirgt sich hinter dieser Formel
ä [mm] =1*v^1+1*v^2+...+1*v^n=\bruch{1-v^n}{1-v}
[/mm]
für den Barwert einer vorschüssigen Rente?
MfG barsch
|
|
| |
|
Gedanke: Zinseszinsrechnung
Herleitung: geometrische Reihe, Summenformel
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 01:43 Sa 20.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die Antwort.
> Gedanke: Zinseszinsrechnung
> Herleitung: geometrische Reihe, Summenformel
Das stimmt, ja. Aber das meinte ich nicht. Da habe ich mich wohl falsch ausgedrückt, mein Fehler.
Mir geht es vielmehr um die Idee hinter
ä $ [mm] =1\cdot{}v^1+1\cdot{}v^2+...+1\cdot{}v^n=\bruch{1-v^n}{1-v}. [/mm] $
Hätte ich noch nie etwas von Barwert, geschweige denn von dieser Formel für ä gehört, würde ich an das oben genannte Beispiel
> Wie kann eine anfallende Erbschaft von 30000 in eine zehnjährige vorschüssige Rente bei einer jährlichen verzinsung von 5% umgewandelt werden?
ganz anders herangehen, nämlich:
[mm] \text{\red{Edit}}
[/mm]
[mm] K_{10}=30000*1,05^{10}-x*\summe_{i=1}^{9}1,05^i
[/mm]
Jetzt [mm] K_{10}=0 [/mm] setzen und nach x umstellen. Nun komme ich auch auf das gewünschte Ergebnis.
Mein Problem besteht nicht darin, wie ich von
[mm] 1\cdot{}v^1+1\cdot{}v^2+...+1\cdot{}v^n
[/mm]
nach
[mm] \bruch{1-v^n}{1-v}
[/mm]
komme, sondern warum, wenn ich mich mal auf das Beispiel beziehe, der Ansatz
$ [mm] 30000=x\cdot{\bruch{1-(\bruch{1}{1+0,05})^{10}}{1-\bruch{1}{1+0,05}}}$
[/mm]
zum gewünschten Ergebnis führt.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:58 Sa 20.12.2008 | | Autor: | reverend |
Ah, danke für die Erklärung.
Ich teile die Fragestellung, will heißen: da weiß ich auch nicht weiter. Nun gehe ich mal darüber schlafen, vielleicht klärt sich dann noch etwas. Oder auch nicht.
Bis morgen oder so,
rev
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:06 Sa 20.12.2008 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
Wenn du die Polynomdivision
[mm] (1-v^{n}):(1-v) [/mm] ausführst, ergibt sich
[mm] v^{n-1}+v^{n-2}...+v²+v^{1}+1
[/mm]
Das kann man mit vollständiger Induktion relativ schnell zeigen.
Hilft das erstmal weiter?
Marius
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:35 Sa 20.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die Antwort.
> Hallo
>
> Wenn du die Polynomdivision
>
> [mm](1-v^{n}):(1-v)[/mm] ausführst, ergibt sich
>
> [mm]v^{n-1}+v^{n-2}...+v²+v^{1}+1[/mm]
>
> Das kann man mit vollständiger Induktion relativ schnell
> zeigen.
Ja, das hat reverend bereits angedeutet - man kann dies als geometrische Reihe sehen.
Das ist mir bekannt.
Es ist gar nicht so einfach, mein Problem schriftlich eindeutig festzuhalten, merke ich gerade.
Die Frage ist, welcher Gedankengang hinter
ä $ [mm] =1\cdot{}v^1+1\cdot{}v^2+...+1\cdot{}v^n=\bruch{1-v^n}{1-v} [/mm] $
steht, also warum (zum Beispiel) löst
$ [mm] 30000=x*\text{ä}_{10}=x\cdot{\bruch{1-(\bruch{1}{1+0,05})^{10}}{1-\bruch{1}{1+0,05}}} [/mm] $
das oben genannte Beispiel? Also warum komme ich durch Abzinsung [mm] (v=\bruch{1}{1+i} [/mm] ist ja der Diskontierungsfaktor) des unbekannten x (vorschüssige Zeitrente) auf die 30000 .
Ich werde es mir auf jeden Fall heute noch so lange anschauen bis ich es verstanden habe. Sollte jedoch jmd. mein Problem verstanden  und eine Antwort haben, wäre ich dankbar.
Wie heißt es so schön?! - Es gibt keine dummen Antworten, nur blöde Fragen (oder so ähnlich  )
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:00 Sa 20.12.2008 | | Autor: | Josef |
Hallo barsch,
> >
> > Wenn du die Polynomdivision
> >
> > [mm](1-v^{n}):(1-v)[/mm] ausführst, ergibt sich
> >
> > [mm]v^{n-1}+v^{n-2}...+v²+v^{1}+1[/mm]
> >
> > Das kann man mit vollständiger Induktion relativ schnell
> > zeigen.
>
> Ja, das hat reverend bereits angedeutet - man kann dies als
> geometrische Reihe sehen.
>
> Das ist mir bekannt.
>
> Es ist gar nicht so einfach, mein Problem schriftlich
> eindeutig festzuhalten, merke ich gerade.
>
> Die Frage ist, welcher Gedankengang hinter
>
> ä
> [mm]=1\cdot{}v^1+1\cdot{}v^2+...+1\cdot{}v^n=\bruch{1-v^n}{1-v}[/mm]
>
> steht, also warum (zum Beispiel) löst
>
> [mm]30000=x*\text{ä}_{10}=x\cdot{\bruch{1-(\bruch{1}{1+0,05})^{10}}{1-\bruch{1}{1+0,05}}}[/mm]
>
> das oben genannte Beispiel? Also warum komme ich durch
> Abzinsung [mm](v=\bruch{1}{1+i}[/mm] ist ja der
> Diskontierungsfaktor) des unbekannten x (vorschüssige
> Zeitrente) auf die 30000 .
>
Deine angewandte Formel ist mir nicht so geläufig.
Zunächst werden die Formeln bei nachschüssigen Rentenzahlungen bewiesen.
Die erste Rate r der Rente wird n-1 Periode verzinst, die zweite Rate noch n-2 Perioden. die letze Rate wird am Ende der Lauzeit eingezahlt, also nicht mehr verzinst. Deshalb gilt für den Rentenendwert:
[mm] R_n [/mm] = [mm] r*(1+i)^{n-1} [/mm] + [mm] r*(1+i)^{n-2} [/mm] + ... + [mm] r*(1+i)^0. [/mm] Fasst man diese Summanden (geometrische Reihe) mit Hilfe der Formel:
[mm] 1+x+x^2 [/mm] ... [mm] x^{n-1} [/mm] = [mm] \bruch{x^n -1}{x-1} [/mm]
zusammen, erhält man:
[mm] R_n [/mm] = [mm] r*\bruch{(1+i)^n -1}{(1+i) -1}.
[/mm]
Der Rentenbartwert ergibt sich durch Diskontierung um n Zinsperioden:
[mm] R_0 [/mm] = [mm] \bruch{R_n}{(1+i)^n} [/mm] = [mm] r\bruch{1}{(1+i)^n}\bruch{(1+i)^n -1}{i} [/mm] = [mm] r\bruch{1-(1+i)^{-n}}{i}
[/mm]
Der Rentenendwert einer vorschüssigen Rente in Höhe von r, die n-mal gezahlt wird, beträgt:
[mm] R_n [/mm] = [mm] r*(1+i)\bruch{(1+i)^n -1}{i}.
[/mm]
Der Rentenbarwert einer vorschüssigen Rente beträgt:
[mm] R_0 [/mm] = [mm] \bruch{R_n}{(1+i)^n} [/mm] = [mm] r*\bruch{1}{(1+i)^{n-1}}*\bruch{(1+i)^n -1}{i}
[/mm]
Viele Grüße
Josef
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 15:19 Sa 20.12.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
> [mm]=1\cdot{}v^1+1\cdot{}v^2+...+1\cdot{}v^n=\bruch{1-v^n}{1-v}.[/mm]
die Formel ist so falsch: richtig ist:
[mm] 1\cdot{}v^1+1\cdot{}v^2+...+1\cdot{}v^n= \bruch{v-v^{n+1}}{1-v}.[/mm]
[/mm]
> Hätte ich noch nie etwas von Barwert, geschweige denn von
> dieser Formel für ä gehört, würde ich an das oben genannte
> Beispiel
>
> > Wie kann eine anfallende Erbschaft von 30000 in eine
> zehnjährige vorschüssige Rente bei einer jährlichen
> verzinsung von 5% umgewandelt werden?
>
> ganz anders herangehen, nämlich:
>
> [mm]\text{\red{Edit}}[/mm]
>
> [mm]K_{10}=30000*1,05^{10}-x*\summe_{i=1}^{9}1,05^i[/mm]
>
> Jetzt [mm]K_{10}=0[/mm] setzen und nach x umstellen. Nun komme ich
> auch auf das gewünschte Ergebnis.
>
> Mein Problem besteht nicht darin, wie ich von
>
> [mm]1\cdot{}v^1+1\cdot{}v^2+...+1\cdot{}v^n[/mm]
>
> nach
>
> [mm]\bruch{1-v^n}{1-v}[/mm]
>
> komme, sondern warum, wenn ich mich mal auf das Beispiel
> beziehe, der Ansatz
>
> [mm]30000=x\cdot{\bruch{1-(\bruch{1}{1+0,05})^{10}}{1-\bruch{1}{1+0,05}}}[/mm]
Der Ansatz ist auch richtig! wenn du im anderen Ansatz die Doppelbrüche auflöst und ein bissel rumrechnest kommt das gleiche raus.
Die Allgemeine Summenformel für die geom. Reihe fänt bei 0, nicht bei 1 an, vielleicht liegt da dein Rechenfehler, wenn du nicht dasselbe rauskriegst.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:53 Sa 20.12.2008 | | Autor: | barsch |
Hi,
danke für die guten und hilfreichen Antworten. Ich gehöre oft zu der Sorte, die eine gegebene Formel nicht nur so hinnehmen, sondern den Hintergrund dieser Formel verstehen wollen. Und ich denke, es ist mir hier jetzt gelungen.
Habe mir an dem oben genannten Beispiel einmal klar gemacht, was denn da letztendlich passiert.
> Wie kann eine anfallende Erbschaft von 30000 in eine zehnjährige vorschüssige Rente bei einer jährlichen verzinsung von 5% umgewandelt werden?
Jetzt war meine Idee die folgende (auch hier hatte ich mich zuerst vertan):
[mm] K_0=30000 [/mm] (Anfangskapital), x sei die Zeitrente.
[mm] K_1=(30000-x)*(1+i)=(30000-x)*(1+0,05) [/mm] (1. vorschüssige Auszahlung)
[mm] K_2=(K_1-x)*(1+i)=((30000-x)*(1+0,05)-x)*(1+0,05)
[/mm]
[mm] =30000*(1+0,05)^2-x*(1+0,05)-x*(1+0,05)^2 [/mm] (2. vorschüssige Auszahlung)
[mm] \ldots
[/mm]
[mm] K_{10}=K_{0}*(1+i)^{10}-x*\summe_{k=1}^{10}(1+i)^k=30000*(1+0,05)^{10}-x*\summe_{k=1}^{10}(1+0,05)^k [/mm] (10. und damit letzte vorschüssige Auszahlung)
Jetzt soll das Geld nach 10 Auszahlungen aufgebraucht sein, also
[mm] K_{10}=K_{0}*(1+i)^{10}-x*\summe_{k=1}^{10}(1+i)^k=0
[/mm]
Ich stelle nun erst einmal allgemein
[mm] K_{0}*(1+i)^{10}-x*\summe_{k=1}^{10}(1+i)^k=0 [/mm] nach [mm] K_0 [/mm] um:
[mm] \gdw K_{0}*(1+i)^{10}=x*\summe_{k=1}^{10}(1+i)^k
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}*(1+i)^{10}=x*\summe_{k=0}^{9}(1+i)^{k+1}
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}*(1+i)^{10}=x*(1+i)*\summe_{k=0}^{9}(1+i)^{k}
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}*(1+i)^{9}=x*\summe_{k=0}^{9}(1+i)^{k}
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}*(1+i)^{9}=x*((1+i)^{0}+(1+i)^{1}+(1+i)^{2}+(1+i)^{3}+(1+i)^{4}+(1+i)^{5}+(1+i)^{6}+(1+i)^{7}+(1+i)^{8}+(1+i)^{9})
[/mm]
Teilen wir nun durch [mm] (1+i)^{9}:
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}=x*(\bruch{(1+i)^{0}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{1}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{2}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{3}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{4}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{5}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{6}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{7}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{8}}{(1+i)^{9}}+\bruch{(1+i)^{9}}{(1+i)^{9}})
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}=x*(\bruch{1}{(1+i)^{9}}+\bruch{1}{(1+i)^{8}}+\bruch{1}{(1+i)^{7}}+\bruch{1}{(1+i)^{6}}+\bruch{1}{(1+i)^{5}}+\bruch{1}{(1+i)^{4}}+\bruch{1}{(1+i)^{3}}+\bruch{1}{(1+i)^{2}}+\bruch{1}{(1+i)^{1}}+\bruch{1}{(1+i)^{0}})
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}=x*\summe_{k=0}^{9}\bruch{1}{(1+i)^{k}}
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}=x*\summe_{k=0}^{9}(\bruch{1}{1+i})^k
[/mm]
[mm] \gdw K_{0}=x*\summe_{k=0}^{9}v^k [/mm] mit [mm] v=\bruch{1}{1+i} [/mm] Diskontierungsfaktor.
[mm] \gdw K_{0}=x*\bruch{1-v^{9+1}}{1-v} [/mm] (geometrische Reihe)
Jetzt ist mir die Sache doch schon etwas klarer.
Danke.
MfG barsch
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 02:05 So 21.12.2008 | | Autor: | reverend |
Hallo barsch!
Fast schon umgekehrt: danke für die Einstellung Deines nachvollziehbaren Lösungswegs.
Die meisten posten dann gerne "hab's jetzt selbst raus. Danke..."
So ist es viel hilfreicher.
Wie sagt man bei ebay, amazon und Konsorten: gern wieder!
lg,
rev
|
|
|
|
