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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:36 Sa 03.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | sind die Aussagen wahr oder falsch:
1. [mm] \exists [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}: \forall [/mm] m [mm] \in \mathbb{N}: n\leq [/mm] m
2. [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \mathbb{N}: \exists [/mm] m [mm] \in \mathbb{N}: n\leq [/mm] m |
Hallo liebe Gemeinde!
1. Wahr. nämlich die 0 bzw 1
2. Wahr. Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger und ein Ebenbild hat.
richtig?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 02:23 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> sind die Aussagen wahr oder falsch:
> 1. [mm]\exists[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}: \forall[/mm] m [mm]\in \mathbb{N}: n\leq m[/mm]
> 2. [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \mathbb{N}: \exists[/mm] m [mm]\in \mathbb{N}: n\leq m[/mm]
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> 1. Wahr. nämlich die 0 bzw 1
ja, das stimmt. (Kurz: Du kannst schreiben, dass [mm] $\inf \IN \in \IN$ [/mm] und daher [mm] $\inf \IN=\min \IN$ [/mm] das gesuchte $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist - so würdest Du die "Fallunterscheidung", ob der Leser/Autor nun [mm] $\IN$ [/mm] mit $0$ beginnen läßt (was ich als [mm] $\IN_0$ [/mm] schreiben würde) oder mit [mm] $1\,$ [/mm] beginnen läßt, ersparen). Du kannst es aber vll. auch direkt aus den Peano-Axiomen herleiten. Jedenfalls ist die Aussage sicherlich war.
> 2. Wahr. Da jede natürliche Zahl einen Nachfolger
Damit bist Du fertig, oder anders formuliert: Für jedes (noch so beliebig große) $n [mm] \in \IN$ [/mm] tut's $m:=n+1 [mm] \in \IN\,.$
[/mm]
(Das mit dem Ebenbild habe ich gerade übrigens nicht verstanden. Ist schon spät, hatte die Aussage auch erst falsch gelesen: Stünde da nämlich $m [mm] \le n\,,$ [/mm] d.h., wäre die Aussage die:
3. "Für jede natürlich Zahl gibt's ne kleinere natürliche Zahl",
dann ist 3. falsch. Denn für [mm] $n=\min \IN$ [/mm] gibt's keinen Vorgänger (d.h. für [mm] $n=0\,$ [/mm] bzw. [mm] $n=1\,,$ [/mm] je nach Definition von [mm] $\IN$).)
[/mm]
Gruß,
Marcel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:31 Sa 03.12.2011 | | Autor: | elmanuel |
dankeschön
mit ebenbild meinte ich nur das es eben immer eine zahl gibt in N die einer gewählten zahl aus N entspricht, weil in der Aussage ja steht größer oder gleich ...
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:40 Sa 03.12.2011 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> dankeschön
>
> mit ebenbild meinte ich nur das es eben immer eine zahl
> gibt in N die einer gewählten zahl aus N entspricht, weil
> in der Aussage ja steht größer oder gleich ...
ahso, jetzt hab' ich's kapiert. Damit hast Du natürlich vollkommen recht - nur das Wort "Ebenbild" hat mich verwirrt. Ich würde da einfach nur schreiben, dass jede natürliche Zahl gleich zu sich selbst ist.
Übrigens wird die Aufgabe damit total trivial: Für jedes $n [mm] \in \IN$ [/mm] ist mit [mm] $m:=n\,$ [/mm] natürlich $m [mm] \ge n\,,$ [/mm] und damit ist die Aussage in total trivialer Weise korrekt. "Minimal schwieiger" wär's, wenn da $n < [mm] m\,$ [/mm] behauptet würde. Dann könnte man etwa $m:=n+1$ setzen (was natürlich im Falle [mm] $\le$ [/mm] genauso möglich wäre). Aber vielleicht ist das der Sinn solcher Aufgaben: Man soll auch Lösungen vertrauen, wenn sie "auch noch so banal" sind ^^
Gruß,
Marcel
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