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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:25 Sa 06.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
| Aufgabe | Ein Vertreter pendelt zwischen den Städten Berlin, Hamburg und München.
Nach einem Tag in Berlin fährt er mit der Wahrscheinlichkeit 1/2 nach Hamburg oder mit der WSK 1/2 nach München.
Nach einem Tag in Hamburg fährt er mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 nach Berlin und 1/3 nach München.
Nach einem Tag in München fährt er mit der Wahrscheinlichkeit 2/3 nach Berlin und 1/3 nach Hamburg.
Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er nach langer zeit wieder in Berlin |
Hallo!
Ich habe das Prinzip der Rechnung verstanden.
Also erst Wahrscheinlichkeitsmatrix aufstellen, dann EIgenwerte, dann EIgenvektoren, dann Matrix diagonalisieren, S und S' bestimmen sodass
A(Wahrscheinlichkeitsmatrix) = S * D* [mm] S^{-1} [/mm]
und dann [mm] A^{n} [/mm] berechnen für n-> unendlich.
jetzt hab cih nur das Problem, dass ich auf diese Wahrscheinlichkeitsmatrix nicht komme.
Ich hatte erst überlegt diese Variante, aber sie ist nicht quadratisch, deswegen weiss ich nicht was tun... hilfe?
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 2/3 & 0 & 1/3 \\ 2/3 & 1/3 & 0 }
[/mm]
erste Spalte ist berlin, zweite hamburg dritte münchen.
kann mir jemand helfen, wie ich die richtig aufstelle?
danke!
lg
muhmuh
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:31 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & \\ 0 & 1/2 & 1/2 \\ 2/3 & 0 & 1/3 \\ 2/3 & 1/3 & 0 }[/mm]
>
> erste Spalte ist berlin, zweite hamburg dritte münchen.
Du meinst Zeile, oder?
Was zur Hälle ist denn die erste Zeile? Wenn du die löscht, wird es quadratisch ...
SEcki
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:42 Sa 06.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ich habe die erste zeile eingefügt, da ich gelernt habe, dass die erste zeile immer eine 1 0 ... zeile sein muss
da man sich ja an einem anfangsstatus befindet
stimmt das nicht?
ansonsten kann ich es berechnen das stimmt.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:03 Sa 06.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> ich habe die erste zeile eingefügt, da ich gelernt habe,
> dass die erste zeile immer eine 1 0 ... zeile sein muss
> da man sich ja an einem anfangsstatus befindet
??? Und wieso die dann einfügen? Ich kenn mich zu wenig damit aus, als dass ich es genau zerlegen könnte, also lasse ich es unbeantwortet, vielleicht kann ja jemand anders mehr sagen.
Hast du eine Quelle dazu? Wieso muss die erste Zeile so aussehen? Du fängst doch in Belrin an, und es ist doch egal (Markoveigenschaft) für W'keiten, wohin du gehst, ob du dort gerade startest oder ob du wieder dahin zurückkhert bist, bevor du weiter gehst.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 06:55 Mi 10.02.2010 | | Autor: | felixf |
Moin SEcki,
> > ich habe die erste zeile eingefügt, da ich gelernt habe,
> > dass die erste zeile immer eine 1 0 ... zeile sein muss
> > da man sich ja an einem anfangsstatus befindet
>
> ??? Und wieso die dann einfügen? Ich kenn mich zu wenig
> damit aus, als dass ich es genau zerlegen könnte, also
> lasse ich es unbeantwortet, vielleicht kann ja jemand
> anders mehr sagen.
>
> Hast du eine Quelle dazu? Wieso muss die erste Zeile so
> aussehen? Du fängst doch in Belrin an, und es ist doch
> egal (Markoveigenschaft) für W'keiten, wohin du gehst, ob
> du dort gerade startest oder ob du wieder dahin
> zurückkhert bist, bevor du weiter gehst.
ich vermute mal, muhmuh hat hier was verwechselt. Die Matrix, die mit 1,0,0 anfaengt, hat 3 Spalten und $n$ Zeilen, wobei die $i+1$-te Zeile aus der $i$-ten Zeile durch Multiplikation mit der Uebergangsmatrix entsteht. Sprich: die $i$-te Zeile in der Matrix gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit sich der Reisende zum Zeitpunkt $i$ in den Staedten befindet.
Man koennte das als Zustandsmatrix bezeichnen oder sonstwas. Und wenn man $n = [mm] \infty$ [/mm] waehlt, repraesentiert es den ganzen Prozess mit dem Anfangszustand $(1, 0, 0)$ :)
LG Felix
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:04 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Das soll doch sicher eine Übergangsmatrix werden.
In der 1. Zeile stehen dann alle Wahrscheinlichkeiten, die nach Berlin führen.
Also in Zeile 1: B->B, H->B, M->B
In der 2. Zeile: B->H, H->H, M->H
Und die 3. Zeile kriegst du dann sicher selber hin.
Es muss nirgends in der Matrix eine Zeile oder Spalte mit 1 0 0 ... 0 stehen.
Jetzt fragt sich nur noch, wie die Anfangsverteilung aussieht, also in welcher Stadt er zuerst ist (oder ist das auch zufällig?).
Wenn er in Berlin startet, wäre die Verteilung nach einem Tag [mm] A*\vektor{1 \\ 0 \\ 0}, [/mm] wobei A die Matrix ist, die du noch einmal berechnen musst.
Wenn es gleichverteilt und zufällig ist, wo er startet, würde die Verteilung nach einem Tag so aussehen: [mm] A*\vektor{\bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3} \\ \bruch{1}{3}}.
[/mm]
![[anon]](/images/smileys/anon.png "[anon]") Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:17 Sa 06.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ah ok danke,
dann ist es einfach die matrix die ich schon hingeschrieben hatte ohne die erste zeile.
hatte da wohl was falsches im kopf.
er startet in berlin.
hab nun auch die berechnung fertig.
danke!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:22 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Hi, kein Problem!
Aber du musst deine Matrix noch transponieren, damit sie stimmt.
Wie ich schrieb, kommt in die erste Zeile: B->B, H->B, M->B, also 0 [mm] \bruch{2}{3} \bruch{2}{3} [/mm] usw.
Denn wenn du die Matrix mit einem Vektor multiplizierst (z,B. die 1. zeile der Matrix mit der 1. (und einzigen) Spalte vom Vektor, dann erhältst du ja den 1. Eintrag aus dem neuen Vektor. Und das ist ja die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er in Berlin ist. Daher kommt das eben, dass in der 1. Zeile die Sachen stehen, die zu Berlin hinführen.
Teufel
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:34 Sa 06.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hm...
ich muss also in der ersten zeile berlin stehen haben
in der 2.hamburg
und in der 3.münchen
warum kann ich das nicht transponiert für die spalten machen,
gibt es da allgemein für das aufstellen von übergangsmatrizen regeln,
an die ich mich halten muss.
hab nun mehrmals schon richtige gedanken gehabt, aber die matrix dann trotzdem falsch aufgeschrieben.
wäre dankbar für allgemeine tips:)
lg
muhmuh
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:39 Sa 06.02.2010 | | Autor: | Teufel |
Ja also die allgemeine Regel ist eben, dass der Ort, zu dem gereist wird, in jeder Zeile der selbe ist.
Sage wir, dass er in Hamburg startet, also der Startvektor [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ 0} [/mm] ist.
Nach einem Tag sollte der Vektor ja dann so aussehen: [mm] \vektor{2/3 \\ 0 \\ 1/3}.
[/mm]
Nach deiner Matrix wäre der Vektor aber [mm] \vektor{1/2 \\ 0 \\ 1/3}, [/mm] was von den Wahrscheinlichkeiten nicht hinhaut.
Teufel
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 So 07.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
danke,
s ist mir nun klar geworden
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:51 Di 09.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
hallo,
hab nun die sache versucht durchzurechnen, aber stehe vor folgendem problem:
Matrix:
[mm] \pmat{ 0& \bruch{2}{3} & \bruch{2}{3} & \\ \bruch{1}{2} & 0 & \bruch{1}{2} \\ \bruch{1}{2} & \bruch{1}{3} & 0 } [/mm]
wenn ich nun davon die eigenwerte berechne
komme ich auf folgende gleichung:
[mm] -x^{3}+ \bruch{7}9{}x+ \bruch{2}{9} [/mm] = 0
ein eigenwert ist ziemlich klar [mm] x_1 [/mm] = 1
aber die anderne beiden sind komplex
weiss nun nicht, wass ich mit denen tun soll,
[mm] x^{2} [/mm] + 2/9 = 0
-> [mm] x_2,_3 [/mm] = +/- i [mm] *\bruch{1}{3} \wurzel{2}
[/mm]
ich kann ja nun die beiden werte fuer die diagonalmatrix nicht mitnehmen,
hab ich mich nur verrechnet, oder wie gehe ich vor?
danke fuer tips!
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:25 Mi 10.02.2010 | | Autor: | muhmuh |
ah ok danke,
da lag der fehler:)
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Das ist bei Uebergangsmatrizen immer der Fall.
