was für kurven sind das < Sonstiges < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:26 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
| Aufgabe | Gegeben sind die Kurven: k1: [mm] 9x^2+16y^2 [/mm] = 144 und k2: 3x= 12-4y
a) Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven und fertige eine Skizze an. Um welche Kurven handelt es sich?
b) Berechne die Volumen der Drehkörpers bei Rotation um die y-Achse.
c) Berechne das Volumen des Drehkörpers bei Rotation um die x-Achse. |
a ) ich weiß schon mal das k1 eine Ellipse ist. Bei k2 hab ich noch nicht so einen Plan soll mich aber zum berechnen des Schnittpunktes nicht weiter stören.
So ich hab die zwei Kurven mal gleichgesetzt.
[mm] \wurzel{\bruch{144-9x^2}{16}} [/mm] = [mm] \bruch{12-3x}{4} [/mm]
[mm] \bruch{144-9x^2}{16}= (\bruch{12-3x}{4}) [/mm] ^2
[mm] \bruch{144-9x^2}{16} [/mm] = [mm] \bruch{144-72x+9x^2}{16}
[/mm]
[mm] 144-9x^2 [/mm] = 144 - 72x + [mm] 9x^2
[/mm]
so wenn ich so weiterrechne komm ich nicht auf x= 4 (was ich ja schon aus meiner Wertetabelle weiß dass das der Schnittpunkt ist )
ich hab sogar schon überlegt was falsch sein könnte (2 vorzeichen)
damit ich auf
288= 72x
x= 4
komme aber irgendwie find ich nach 4 mal rechnen immer noch nicht den Fehler
kann mir jemand weiterhelfen?
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> Gegeben sind die Kurven: k1: [mm]9x^2+16y^2[/mm] = 144 und k2: 3x=
> 12-4y
> a) Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven und
> fertige eine Skizze an. Um welche Kurven handelt es sich?
>
> b) Berechne die Volumen der Drehkörpers bei Rotation um
> die y-Achse.
>
> c) Berechne das Volumen des Drehkörpers bei Rotation um
> die x-Achse.
> a ) ich weiß schon mal das k1 eine Ellipse ist. Bei k2
> hab ich noch nicht so einen Plan soll mich aber zum
> berechnen des Schnittpunktes nicht weiter stören.
> So ich hab die zwei Kurven mal gleichgesetzt.
für mich sieht das 2. aus wie eine gerade ;)
>
> [mm]\wurzel{\bruch{144-9x^2}{16}}[/mm] = [mm]\bruch{12-3x}{4}[/mm]
>
> [mm]\bruch{144-9x^2}{16}= (\bruch{12-3x}{4})[/mm] ^2
>
> [mm]\bruch{144-9x^2}{16}[/mm] = [mm]\bruch{144-72x+9x^2}{16}[/mm]
>
> [mm]144-9x^2[/mm] = 144 - 72x + [mm]9x^2[/mm]
>
sieht gut aus bis hierhin. wenn ich die pq formel anwende komme ich auf x=0 und x=4
> so wenn ich so weiterrechne komm ich nicht auf x= 4 (was
> ich ja schon aus meiner Wertetabelle weiß dass das der
> Schnittpunkt ist )
>
> ich hab sogar schon überlegt was falsch sein könnte (2
> vorzeichen)
> damit ich auf
>
> 288= 72x
>
> x= 4
>
> komme aber irgendwie find ich nach 4 mal rechnen immer noch
> nicht den Fehler
>
> kann mir jemand weiterhelfen?
>
>
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:46 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ja auf das wär ich auch mal gekommen!
aber da dachte ich das sei auch falsch da ja laut wertetabelle bei 0 kein SChnittpunkt vorliegt. kann ich das dann ignorieren ?
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> ja auf das wär ich auch mal gekommen!
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> aber da dachte ich das sei auch falsch da ja laut
> wertetabelle bei 0 kein SChnittpunkt vorliegt. kann ich das
wie kommst du denn darauf?
> dann ignorieren ?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:56 Mo 11.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
naja wenn ich in k1: x= 0 einsetzte komm ich auf ± 3 und bei k2: x= 0 ist y= 1,7
das kann ja dann gar kein Schnittpunkt sein. Aber ich kann das ja nicht irgnorieren das ich wenn ich gleichsetzte diesen SChnittpunkt bekomme?!
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> naja wenn ich in k1: x= 0 einsetzte komm ich auf ± 3 und
genau
aber k2 war doch:
3x= 12-4y
wenn nun x=0 ist steht da
0=12-4*y
damit das wahr ist, muss y=3 sein
und somit ist bei 0 auch ein schnittpunkt mit dem y-wert 3
> bei k2: x= 0 ist y= 1,7
>
> das kann ja dann gar kein Schnittpunkt sein. Aber ich kann
> das ja nicht irgnorieren das ich wenn ich gleichsetzte
> diesen SChnittpunkt bekomme?!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:40 So 17.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
bin jetzt draufgekommen das meine Wertetabelle für k2 falsch war und jetzt weiß ich das hier bei x = 0 und x = 4 Schnittpunkte vorliegen.
ich wollte nochmal nachfragen was k1 für eine Kurve ist da ich auch hier in meiner Deutung als Ellipse falsch lag. Jedoch wüsst ich nicht welche Kurve das sonst ist !
kann mir da jemand helfen?
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Hallo, achte auf die mathematische Schreibweise, die Schnittstellen liegen bei [mm] x_1=0 [/mm] und [mm] x_2=4, [/mm] die Schnittpunkte sind [mm] P_1(0;3) [/mm] und [mm] P_2(4;0), [/mm] k1 ist eine Ellipse, wurde doch in keiner Antwort als falsch genannt, Steffi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:15 So 17.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
nein das hätte ich so aus meiner Zeichnung gesehen. Meine k1 geht ja nicht in den positiven bereich und sieht quaso wie eine halbe Ellipse aus.
Ist das also dann auch eine Ellipse auch wenn sie so aussieht?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:51 So 17.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich hab mir mal das Volumen bei drehung um die x - Achse ausgerechnet:
π [mm] \integral_{0}^{4}{\bruch{144-9x^2}{16} dx} [/mm] = π [mm] \bruch{144x}{16} [/mm] - [mm] \bruch{9x^2}{16*3} [/mm] = 24π
π [mm] \integral_{0}^{4}{9-4,5x + \bruch{9x^2}{16} dx} [/mm] = 9x - [mm] \bruch{4,5x^2}{2} [/mm] + [mm] \bruch{9x^3}{16*3} [/mm] = 12π
Vges: 24π-12π = 12π
stimmt das so? habe leider keine Lösung!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:20 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Loddar |
Hallo Laura!
Das Ergebnis sieht gut aus. auch wenn sich in Deiner Darstellung einige Fehler eingeschlichen haben.
> π [mm]\integral_{0}^{4}{\bruch{144-9x^2}{16} dx}[/mm] = π [mm]\bruch{144x}{16}[/mm] - [mm]\bruch{9x^2}{16*3}[/mm] = 24π
Es muss [mm] $9*x^{\red{3}}$ [/mm] im rechten zähler lauten.
Zudem fehlen um die bieden Brüche ein Klammerpaar und die Darstellung mit den Integrationsgrenzen.
> π [mm]\integral_{0}^{4}{9-4,5x + \bruch{9x^2}{16} dx}[/mm] = 9x - [mm]\bruch{4,5x^2}{2}[/mm] + [mm]\bruch{9x^3}{16*3}[/mm] = 12π
Auch hier die fejlenden Integrationsgrenzen. Und hinter dem ersten Gleichheitszeichen unterschlägst Du ganz das [mm] $\pi$ [/mm] .
Gruß
Loddar
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> nein das hätte ich so aus meiner Zeichnung gesehen. Meine
> k1 geht ja nicht in den positiven bereich und sieht quaso
> wie eine halbe Ellipse aus.
> Ist das also dann auch eine Ellipse auch wenn sie so
> aussieht?
das klingt nach dem fehlenden [mm] \pm [/mm] nach dem wurzelziehen?
gruß tee
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 23:21 So 17.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ja die vermutung hab ich auch schon gehabt. Hab mir in diversen Kurvenzeichner die Kurve zeichnen lassen und die haben mir immer diese halbe ellipse ausgespuckt.
Da sieht man wieder dass man sich auf sowas nicht verlassen kann!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 23:30 So 17.10.2010 | | Autor: | fencheltee |
> ja die vermutung hab ich auch schon gehabt. Hab mir in
> diversen Kurvenzeichner die Kurve zeichnen lassen und die
> haben mir immer diese halbe ellipse ausgespuckt.
>
> Da sieht man wieder dass man sich auf sowas nicht verlassen
> kann!
>
>
naja kommt drauf an wie man es eingibt. manche plotter können ja nur explizite funktionen plotten. da muss man als mensch quasi beide teilellipsen eingeben.
dieser plotter
http://www.padowan.dk/graph/
kann jedoch unter "funktion" - "relation einfügen" auch mit impliziten gleichungen/ungleichungen arbeiten
gruß tee
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:13 So 17.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ich hab mal eine Frage bezüglich Volumsberechnung mit Integral: ich kenne das so:
Rotation um die x - achse:
$ [mm] V_y [/mm] \ = \ [mm] \pi\cdot{}\integral_{y_1}^{y_2}{x^2 \ dy} [/mm] $
Rotation um die y-Achse:
$ [mm] V_x [/mm] \ = \ [mm] \pi\cdot{}\integral_{x_1}^{x_2}{y^2 \ dx} [/mm] $
hier im forum wurde mir auch schon diese möglichkeiten vorgeschlagen aber als ich einmal ein Volumen um die y -achse berechnet habe mit obriger Formel hat man mir erklärt das dies nicht korrekt sei sondern hier die Formel
V = 2 [mm] \pi \cdot \int_a^b [/mm] (x [mm] \cdot [/mm] f(x)) [mm] \, \mathrm{d}x [/mm]
anzuwenden sei. Das hat mich sehr verwirrt. ich habe mir dann mein Volumen mit dieser Formel ausgerechnet und es kam nicht das selbe heraus was mich weiter verwirrt hat. Vielleicht hab ich mich verrechnet aber da müsste doch eigentlich das selbe herauskommen oder? Denn ich nehme mal nicht an das man in der Schule die falsche Formel lernet?!
Sind jetzt beide Formel richtig und komme ich bei beiden auf das selbe Endergebniss?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 00:29 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Sax |
Hi,
die erste Formel für [mm] V_y [/mm] Ist jedenfalls richtig.
Wenn man darin dy durch f'(x) dx substituiert kommt man auf
[mm] V_y [/mm] = [mm] \integral_{x_1}^{x_2}{x^2 *f'(x) dx}
[/mm]
Vielleicht nur ein Tipp- / Abschreib- / ?-Fehler
Gruß Sax.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:02 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
ok jetzt wo ich weiß das das stimmt wie ich das gelernt habe kann ich mich ja ndlich aufs ausrechnen stürzen.
Nur tue ich mir jetzt sehr schwer zu sehen was sich um die y - Achse drehen würde.
ich könnte mir vorstellen:
ich weiß ja das bei rotation um die y - Achse immer 2 Volumina (eine im negativen und eine im Positiven Bereich) zu berechnen sind. und diese sind die Flächen die an der y - achse anliegen also im negativen bereich wäre das eigentlich nur die ellipse (k1) von 0 - 4 ?
und im positiven Bereich k1 0-4 - k2 0-4
kann das so stimmen.
und jetzt hat sich mir auch noch die Frage gestellt ob ich das richtig gemacht habe bei dem Volumen um die x - Achse. ich hab da das k1 0-4 - k2 0-4 genommen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:33 Mo 18.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
Welches Volumen wisst du denn genau ausrechen?
Wenn du die Gerade drehst, kriegst du nen Kegel, dessen volumen kannst du ohne Integral ausrechnen. Wenn du um die x- Achse drehst musst du über [mm] y^2*dx [/mm] integrieren, bei der Drehung um die y- Achse über [mm] x^2*dy.
[/mm]
um das volumen der ganzen Ell zu kriegen kannst du bei Drehg um die X achse von -4 bis +4 int. oder von 0 bis 4 und dann verdoppeln.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:41 Mo 18.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
sorry das wär meine Konkrete Angabe:
Gegeben sind die Kurven: k1: $ [mm] 9x^2+16y^2 [/mm] $ = 144 und k2: 3x= 12-4y
a) Berechne die Schnittpunkte der beiden Kurven und fertige eine Skizze an. Um welche Kurven handelt es sich?
b) Berechne die Volumen des Drehkörpers bei Rotation um die y-Achse.
ich tu mir da leider schwer herauszufinden welches bzw. welche das sind und weiters auch bei den Grenzen.
Kann mir das jemand vielleicht anschaulich erklären?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:59 Mo 18.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
"des Drehkörpers ist nicht eindeutig. aber du kannst ja alle 3 möglichen schnell ausrechnen
1. nur die Ellipse : integriere [mm] \pi*x^2dy [/mm] von -3 bis +3 für [mm] x^2 [/mm] natürlich aus der Ellipsengl einsetzen.
2. berechne das volumen des Kegels, den die Gerade beschreibt: Radius 4 Höhe 3
3. zie die 2 voneeinander ab. dann hast du alle 3 möglichen Drehkörper.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:53 Di 19.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
[Dateianhang nicht öffentlich]
so sehen die Kurven bei mir aus
ich kann mir eigetlich nur vorstellen das hier das Rotationsvolumen um die y- achse zusammensetzt:
im positiven Bereich:
V Gerade von 0 bis 4
plus
V ellipse im Negativen bereich also von -4 bis 0
kann das so stimmen ?
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:45 Di 19.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
dein Volumen scheint sinnreich, obwohl es ja in der Aufgabe nicht angegeben ist.
es wär ja auch das Volumen von dem rechten oberen Teil möglich.
Da alle Rechnungen dieselben integrale erfordern, schreib auf, welche Figur du rotierst und rechne es aus. wenn der Auftraggeber ne andere meinte hätte er es deutlich sagen sollen.
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:52 Di 19.10.2010 | | Autor: | Laura_88 |
Danke für die Antwort!
ich hab jetzt mal "meinen Weg" für die Rotation um die y - Achse berechnet.
im positiven Bereich hab ich ja da das gute das ich nicht mit integral rechnen muss sondern das mit der Volumsformel für den Kegel ausrechnen kann. ich habe r= 4 und h= 3 => V = 16π
im Negativen brauch ich mir ja nur das volumen der Ellipse ausrechen:
ich hab [mm] x^2 [/mm] in die Integralformel eingesetzt : 16 - [mm] \bruch{16y^2}{9}
[/mm]
integriert ergibt das dann 16x- [mm] \bruch{16y^3}{27}
[/mm]
als Grenzen hab ich - 4 und 0 eingesetzt.
es ergibt sich komischer weiße kein negatives Volumen was normalerweiße im negativen Bereich so ist. Ich komm da auf [mm] \approx [/mm] 37,9 π
Die Volumen addiere ich und komme dann auf ein Gesamtvolumen von [mm] \approx [/mm] 53,92π
Wäre jemand so nett und kontrolliert mir das ich habe leider keine Lösung zu diesem Bsp. !
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:38 Di 19.10.2010 | | Autor: | leduart |
Hallo
y läuft von -3 bis 0
du integrierst ja nicht über x sondern über y.
also ist noch ein Fehler drin.Aber dein $16y- [mm] \bruch{16y^3}{27} [/mm] $ ist richtig, du musst nur noch die -3 einsetzen .
arbeite mit Brüchen statt gerundeten Zahlen.
Gruss leduart
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